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820高等代数


2010 年湖南农业大学硕士招生自命题科目试题
科目名称及代码:高等代数(820) 科目名称及代码:高等代数(820) 适用专业 生物数学

考生注意事项:①所有答案必须做在答题纸上,做在试题纸上一律无效; 考生注意事项 ②按试题顺序答题,在试题纸上标明题目序号。 1.(20 分)计算 n 阶行列式

1 2 x1 3 x1 D= ? n ?1 x1 n x1

1 2 x2 3 x2 ? n ?1 x2 n x2

? 1 2 ? xn 3 ? xn ? ? n ?1 ? xn n ? xn

2.(15 分)设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ,n 为任意正整数,证明 f , g n = 1 3.(20 分)证明:设 A 是 m × n 的矩阵,B 是 n × t 的矩阵,证明

(

)

r ( AB ) ≤ min{r ( A), r (B )}
4.(15 分)设 σ ,τ 是线性线性空间 V 的两个线性变换,且 σ 2 = σ ,τ 2 = τ , 证明 στ = τσ = 0 ? (σ + τ ) = σ + τ 。
2

5.(20 分)设数列 {a n }, {bn }满足

?a n = 2a n ?1 + bn ?1 ,且 a 0 = 1 , b0 = 0 , ? ? bn = 5a n ?1 ? bn ?1
求 {a n } , {bn }的通项 6.(20 分)设齐次线性方程组为

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? (1 + a )x1 + x 2 + ? + x n = 0 ? 2 x + (2 + a )x + ? + x = 0 ? 1 2 n (n ≥ 2) ? ??? ? ?nx1 + nx 2 + ? + (n + a )x n = 0 ? 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
7. 20 分) σ 是 n 维线性空间 V 上线性变换, ∈ V ,且 ξ , σ (ξ ), ? , σ k ?1 (ξ ) ( 设 ξ 都不为 0, σ k (ξ ) = 0 ,证明 ξ , σ (ξ ), ? , σ k ?1 (ξ ) 线性无关。 8.(20 分)设 A 为 n 阶实对称矩阵,证明: (1)存在实数 k ,使对一切 x ∈ R n ,有 x T Ax ≤ kx T x ; (2)若 A 正定,则对任意正整数 n, A n 也是对称正定矩阵;

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