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江苏省栟茶高级中学2012届高三第二次调研测试(数学)


江苏省栟茶高级中学高三第一学期第二次阶段考试数学试卷 数学 I
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 填空题: 1.已知 x, y ∈ R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y = ?1 + i ,则 x + y = ▲ . 4

在x=

π
6

处取得最大值,且最大值为 a3 ,则函数 f ( x ) 的解析式为



. f ( x ) = 3sin(2 x +

π
6

)。

12. 12.如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, 若 BP = 3PA , | OA |= 4 , | OB |= 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°, 则 OP ? AB =

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

2 . 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 ax + 2 y + 3a = 0 和直线 3 x + ( a ? 1) y = a ? 7 平行的充要条件是 ▲ .

-9



a=3

3.用一组样本数据 8, x ,10,11,9 来估计总体的标准差,若该组样本数据的平均数为 10,则总体标 准差 s = ▲ . 2

13. , 13.如图 2 所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端 的数均为

4.阅读下列程序: Read S ← 1 For I from 1 to 5 step 2 S ← S+I End for Print S End 输出的结果是 ▲ .10 10 5.函数 y= log 2 (2 x ? x ) 的单调递增区间是
2

1 ( n≥2) ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 = + , = + , = + ,…, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
则第10行第4个数(从左往右数)为 ▲ .

1 840

.



. (0,1) (写成 (0,1] 也对) 也对)

b b 14. 若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数, 且存在区间 [ a, ] ? D(其中 a < b ) 使得当 x ∈ [ a, ] 时, f ( x) , 14. b b 的值域恰为 [ a, ] ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 [ a, ] 叫做等域区间.如果函数 g ( x) = x2 + m 是 0 ( ?∞, ) 上的正函数,则实数 m 的取值范围

. (?1,? ) .

6.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的 点数分别为 x,y,则 log 2 x y = 1 的概率为 7.设函数 f ( x) = 则 AU B = ▲ .

? x 2 ? 2 x + 15 ,集合 A = { x y = f ( x)} , B = { y y = f ( x)} ,
▲ . [? 5,4]

1 12

3 4

( 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 二、解答题: 本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 解答题: 案写在答题纸的指定区域内. 案写在答题纸的指定区域内.) 15. (本小题满分 14 分) 15. 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a = 1 , b = 2 , cos C = (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos( A ? C ) 的值. 【解】(Ⅰ)∵ c = a + b ? 2ab cos C = 1 + 4 ? 4 × :
2 2 2

8. 以知 F 是双曲线

x2 y 2 ? = 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF + PA 的最小值 4 12

1 . 4

为 ▲ . 9 9.圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器 的水面下降了

5 cm,则这个铁球的表面积为 3



cm 2 . 100π .

3 3 10. + = 1 ,以点 ( x, y ) 为圆心, R = xy 为半径的圆的面积最小时 10.设 x 、y 均为正实数,且 2+ x 2+ y
圆的标准方程为 ▲

∴c = 2 ∴ ?ABC 的周长为 a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5 .

1 =4 4

( x ? 4) 2 + ( y ? 4) 2 = 256 13 .函数 f ( x ) = A sin(2 x + ? )( A > 0, 0 < ? < π ) 3

1 15 ?1? 2 (Ⅱ)∵ cos C = ,∴ sin C = 1 ? cos C = 1 ? ? ? = , 4 4 ?4?

2

11. 11.已知等比数列 {an } 的公比 q = 3 ,前 3 项和 S3 =

15 a sin C 15 = 4 = ∴ sin A = c 2 8
∵ a < c ,∴ A < C ,故 A 为锐角,
2

解法二: VC ? BFG =

1 1 1 1 1 1 VC ? ABE = ? VA? BCE = ? ? ? BC ? BE ? AE = . 4 4 4 3 2 3

17. (本小题满分 15 分) 17. 如图所示,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 α 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口 13 a ( a 为 正常数)海里的北偏东 β 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛,其中 tan α = 挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m( m >

? 15 ? 7 ? ∴ cos A = 1 ? sin A = 1 ? ? ? 8 ? =8 ? ?
2

1 2 , cos β = .现指 3 13

7 1 15 15 11 ∴ cos( A ? C ) = cos A cos C + sin A sin C = × + × = . 8 4 8 4 16
16. (本小题满分 14 分) 16. 1. (本题满分 14 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ⊥ 平面ABE , AE = EB = BC = 2 ,

7 a )海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装运物资供给 3

F 为 CE 上的点,且 BF ⊥ 平面ACE , AC I BD = G . (Ⅰ)求证: AE ⊥ 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AE // 平面 BFD ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BGF 的体积.
D C

科考船,该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成 的三角形 OBC 的面积最小时,这种补给最适宜. ⑴ 求 S 关于 m 的函数关系式 S (m) ; 北 Z ⑵ 应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜. C A

O G A E 【解】(Ⅰ)证明:Q AD ⊥ 平面 ABE , AD / / BC .∴ BC ⊥ 平面 ABE , : 则 AE ⊥ BC . Q BF ⊥ 平面 ACE , AE ⊥ BF . AE ⊥ 平面 BCE . D 又 则 ∴ (Ⅱ) 证明: 依题意可知: 是 AC 中点. BF ⊥ 平面 ACE , CE ⊥ BF , G Q 则 而 BC = BE .∴ F 是 EC 中点.在 ?AEC 中, FG / / AE ,∴ AE // 平面 BFD . (Ⅲ)解法一:Q AE // 平面 BFD ,∴ AE / / FG ,而 AE ⊥ 平面 BCE . ∴ FG ⊥ 平面 BCE ,∴ FG ⊥ 平面 BCF .Q G 是 AC 中点,∴ F 是 CE 中A 点. F B

B



【 解 】 ⑴ 以 O 为 原 点 , OB 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 直 线 OZ 方 程 为 y = 3x . …………………………2 分 设点 A(x 0 , y 0 ) , 则 x 0 = 13a sin β = 13a ?

3 13

= 3a , y0 = 13a cosβ = 13a ?
2a (x ? m ) . 3a ? m

2 13

= 2a ,

C

即 A(3a,2a ) ,又 B (m,0) ,所以直线 AB 的方程为 y = 上面的方程与 y = 3 x 联立得点 C (

2am 6am , ) 3m ? 7 a 3m ? 7 a

………………………5 分 …………………………8 分

G

F B E

∴ S ( m) =

1 3am 2 7 OB? | y C |= (m > a) 2 3m ? 7 a 3

1 ∴ FG / / AE 且 FG = AE = 1 .Q BF ⊥ 平面 ACE ,∴ BF ⊥ CE . ∴ Rt ?BCE 中, 2 1 1 BF = CF = CE = 2 .∴ S ?CFB = ? 2 ? 2 = 1 . 2 2 1 1 ∴ VC ? BFG = VG ? BCF = ? S ?CFB ? FG = . 3 3

? ? ? 7 49a 2 14 ? 49a 2 14 28a 2 ⑵ S ( m ) = a ?( m ? a ) + + a ? ≥ a(2 + a) = 7 3 3 ? 9 3 3 ? 9( m ? a ) ? ? 3 ? ?
当且仅当 m ?

……………12 分

14 49a 2 时,即 m = a 时取等号, ………………………14 分 7 3 9(m ? a ) 3 1 3am 2 7 答:S 关于 m 的函数关系式∴ S ( m) = OB? | y C |= (m > a) 2 3m ? 7 a 3 7 a= 3

⑵ 应征调 m =

14 a 为何值处的船只,补给最适宜. 3 18. (本小题满分 15 分) 18.

…………………………15 分

设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a5 + a13 = 34,S3 = 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式;
an (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn = ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an + t

【 解 】 :( Ⅰ ) 设 椭 圆 的 方 程 为 b=3……………3 分

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , 当 t = 3 时 ,PQ 的 中 点 为 (0,3), 所 以 a2 b2

(m ≥ 3,m ∈ N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由. ? a5 + a13 = 34, 【解】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ? ……………………2 分 ?3a2 = 9, ? a1 + 8d = 17, ? a1 = 1, 即? 解得 ? ……………………4 分. ? d = 2. ? a1 + d = 3, 故 an = 2n ? 1,Sn = n 2 .

而 a ? b = 16 ,所以 a = 25 ,故椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 y 2 + = 1 …………………5 分 20 4

(Ⅱ)①解法一:易得直线 AF1 : y = 2 x + 8; AF2 : y = ?2 x + 8 ,

………8 分
2n ? 1 . 要 使 b1 ,b2,bm 成 等 差 数 列 , 必 须 2b2 = b1 + bm , 即 2n ? 1 + t

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 bn =

t ?8 8?t , t ), Q( , t ) ,再由 QR ∥ AF1 ,得 R(4 ? t , 0) ……………8 分 2 2 t 1 5t ? 16 则线段 F1 R 的中垂线方程为 x = ? , 线段 PF1 的中垂线方程为 y = ? x + , 2 2 8
所以可得 P (

3 1 2m ? 1 4 2× = + ,……8 分.整理得 m = 3 + , 3 + t 1 + t 2m ? 1 + t t ?1

…………… 11 分

因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5.当 t = 2 时, m = 7 ;当 t = 3 时, m = 5 ;当 t = 5 时, m = 4 . 故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列. 19. 19.(本小题满分 16 分) (本题文科学生做,理科学生不做)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 ( ?4, 0) , F2 (4, 0) , 本题文科学生做, 理科学生不做) ………………… 15 分

1 5t ? 16 ? ?y = ? 2 x + 8 t 7t ? 由? ,解得 ?PRF1 的外接圆的圆心坐标为 ( ? , ? 2) ………10 分 t 2 8 ? x=? ? 2 ?
经验证,该圆心在定直线 7 x + 4 y + 8 = 0 上…………………………… 11 分 解法二: 易得直线 AF1 : y = 2 x + 8; AF2 : y = ?2 x + 8 ,所以可得 P (

t ?8 8?t , t ), Q( , t ) ,再由 QR ∥ 2 2

A(0,8) ,直线 y = t (0 < t < 8) 与线段 AF1 、 AF2 分别交于点 P 、 Q .
(Ⅰ)当 t = 3 时,求以 F1 , F2 为焦点,且过 PQ 中点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 Q 作直线 QR ∥ AF1 交 F1 F2 于点 R ,记 ?PRF1 的外接圆为圆 C . ① 求证:圆心 C 在定直线 7 x + 4 y + 8 = 0 上; ② 圆 C 是否恒过异于点 F1 的一个定点?若过,求出该点的坐 标;若不过,请说明理由.

AF1 ,得 R(4 ? t , 0) ………………………8 分
设 ?PRF1 的外接圆 C 的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,
2 2

? ? D=t ? (4 ? t ) 2 + (4 ? t ) D + F = 0 ? ? 7 ? 2 则y=? ,解得 ? E = 4 ? t …10 分 (?4) ? 4 D + F = 0 4 ? t ?8 ? t ?8 2 2 ?( ? F = 4t ? 16 ) +t + D + tE + F = 0 ? ? 2 2
y A
所以圆心坐标为 ( ?

t 7t , ? 2) ,经验证,该圆心在定直线 7 x + 4 y + 8 = 0 上 …11 分 2 8 7 2 2 ②由①可得圆 C 的方程为 x + y + tx + (4 ? t ) y + 4t ? 16 = 0 ………13 分 4

P F1 O

Q R F2 x

第 18 题

该方程可整理为 ( x + y + 2 y ? 16) + t ( x ?
2 2

7 y + 4) = 0 , 4

(Ⅰ)当 a > 1 时,求证:函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增; (Ⅱ)若函数 y =| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ∈ [ ?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ e ? 1 ,试求 a 的取值范围. 20. 解: (Ⅰ) f ′( x ) = a x ln a + 2 x ? ln a = 2 x + ( a x ? 1) ln a
x

4 ? ? x + y + 4 y ? 16 = 0 ? x = 13 ? x = ?4 ? ? 则由 ? ,解得 ? 或? , 7 ? x? y+4=0 ? y = 32 ? y = 0 ? 4 ? 13 ?
2 2

………………3 分

由于 a > 1 ,故当 x ∈ (0, +∞ ) 时, ln a > 0, a ? 1 > 0 ,所以 f ′( x ) > 0 , 故函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 故 f ′( x ) = 0 有唯一解 x = 0 所以 x, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表所示: ……………………………5 分 ………………………………7 分 (Ⅱ)当 a > 0, a ≠ 1 时,因为 f ′(0) = 0 ,且 f ′( x ) 在 R 上单调递增,

4 32 , ) ………………16 分 13 13 x2 y2 1 (本题理科学生做,文科学生不做) 已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过 本题理科学生做, 科学生不做) 理科学生做 a b 2 3 点 P(1, 2 )。
所以圆 C 恒过异于点 F1 的一个定点,该点坐标为 (

又函数

x

(?∞, 0)
- 递减

0 0 极小值

(0, +∞)
+ 递增

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M。问点 M 满足什么条件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点,求点 D、E 距离的最大值。
x2 y2 1 3 【解】 (1)∵椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ), : a b 2 2

f ′( x) f ( x)

y =| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) = t ± 1 有三个根, 而 t + 1 > t ? 1 ,所以 t ? 1 = ( f ( x)) min = f (0) = 1 ,解得 t = 2 …………………11 分
( Ⅲ ) 因 为 存 在 x1 , x2 ∈ [ ?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ e ? 1 , 所 以 当 x ∈ [ ?1,1] 时 ,

? a -b = 1 ? a 2 ,即 ∴? 1 9 ? a2 + 4b2 =1 ?
2 2

2 2 ?3a -4b =0 2 ? ?a =4 9 ? 1 ,解得 ?b2=3, ? ? a2 + 4b2 =1 ?

| ( f ( x)) max ? ( f ( x))min |= ( f ( x)) max ? ( f ( x)) min ≥ e ? 1 …………12 分 由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ?1, 0] 上递减,在 [0,1] 上递增,
而 f (1) ? f ( ?1) = ( a + 1 ? ln a ) ? ( + 1 + ln a ) = a ?

所以当 x ∈ [ ?1,1] 时, ( f ( x)) min = f (0) = 1, ( f ( x)) max = max { f (?1), f (1)} ,

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1。 x02 y02 (2)易求得 F(1,0)。设 M(x0,y0),则 4 + 3 =1,

圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0……①。
x02 4 将 y02=3(1- 4 )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< 3 。 (3)设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2。由(2),得 4 64 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = -3(x0+ )2+ 3 3 , 4 8 3 当 x0=- 3 时,DE 的最大值为 2 。
20. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = a + x ? x ln a ( a > 0, a ≠ 1) .
x 2

1 ? 2 ln a , a 1 1 2 1 2 记 g (t ) = t ? ? 2 ln t (t > 0) ,因为 g ′(t ) = 1 + 2 ? = ( ? 1) ≥ 0 (当 t = 1 时取等号) , t t t t 1 所以 g (t ) = t ? ? 2 ln t 在 t ∈ (0, +∞ ) 上单调递增,而 g (1) = 0 , t 所以当 t > 1 时, g (t ) > 0 ;当 0 < t < 1 时, g (t ) < 0 , 也就是当 a > 1 时, f (1) > f ( ?1) ;当 0 < a < 1 时, f (1) < f ( ?1) ……14 分 ①当 a > 1 时,由 f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ? a ? ln a ≥ e ? 1 ? a ≥ e , 1 1 ②当 0 < a < 1 时,由 f ( ?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ? + ln a ≥ e ? 1 ? 0 < a ≤ , a e 1? ? 综上知,所求 a 的取值范围为 a ∈ ? 0, ? U [ e, +∞ ) …………………………16 分 ? e?
数学 II(附加题) (满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. . 【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题作答,每小题 10 分,共计 20 分,解答 ......... 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

1 a

A.选修 4—1:几何证明选讲 . 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA,切点为 A,M 为 PA 的中点, 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点,且∠BMP=100°, ∠BPC=40°,求∠MPB 的大小. 【解】因为 MA 为圆 O 的切线,所以 MA2 = MB ? MC . 又 M 为 PA 的中点,所以 MP 2 = MB ? MC . 因为 ∠BMP = ∠PMC ,所以 ?BMP∽?PMC .
于是 ∠MPB = ∠MCP . 在△MCP 中,由 ∠MPB + ∠MCP + ∠BPC + ∠BMP = 180° ,得∠MPB=20°.……10 分 ……5 分
(第 21—A 题)



1 1 1 + + ≥1 , 3a + 2 3b + 2 3c + 2

1 当且仅当 3a + 2 = 3b + 2 = 3c + 2 ,即 a = b = c = 时,原式取最小值 1. ………10 分 3 [必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分)
(其中 n ∈ N ) 已知 ( x + 1) = a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1) + a3 ( x ? 1) + L + an ( x ? 1) ,
n 2 3 n
?

⑴求 a0 及 S n = a1 + a2 + a3 + L + an ; ⑵试比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,并说明理由.
n 2

B.选修 4—2:矩阵与变换

4.解:⑴取 x = 1 ,则 a0 = 2 ;取 x = 2 ,则 a0 + a1 + a2 + a3 + L + an = 3 ,
n n

?1 a ? 已知二阶矩阵 A = ? ? 对应的变换将点 (?2,1) 变换成点 (0, b) ,求实数 a, b 的值 ?3 4 ?
C.选修 4—4:坐标系与参数方程

∴ S n = a1 + a2 + a3 + L + an = 3 ? 2 ;
n n

------4 分
n

⑵要比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,即比较: 3 与 ( n ? 1)2 + 2n 的大小,
n 2 n 2

1 椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上。离心率为 ,点 P ( x, y ) 是椭圆上的一个动点, 2
若 2 x + 3 y 的最大值为 10 ,求椭圆的标准方程.

当 n = 1 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;
n n 2

当 n = 2,3 时, 3 < ( n ? 1)2 + 2n ;
n n 2

1 x y C.解:离心率为 ,设椭圆标准方程是 2 + 2 = 1 , 21 C 2 4c 3c
它的参数方程为 是参数 ) ? x = 2 cos θ (θ ? ? y = 3 sin θ ………5 分

2

2

当 n = 4, 5 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;
n n 2

------5 分
2

猜想:当 n ≥ 4 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ,下面用数学归纳法证明:
n n

由上述过程可知, n = 4 时结论成立, 假设当 n = k , ( k ≥ 4) 时结论成立,即 3 > (k ? 1)2 + 2k ,
k k 2

2 x + 3 y = 4c cos θ + 3c sin θ = 5c sin(θ + ? ) 最大值是 5c ,
依题意 5c = 10 , c = 2 ,椭圆的标准方程是 x 2

两边同乘以 3 得: 3 而

k +1

> 3 ?(k ? 1)2k + 2k 2 ? = k 2k +1 + 2(k + 1) 2 + [(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2] ? ?


16
D.选修 4—5:不等式选讲
若正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求

+

y2 =1 12

………10 分

(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2 = (k ? 3)2k + 4(k 2 ? k ? 2) + 6 = (k ? 3)2 k + 4(k ? 2)(k + 1) + 6 > 0 3k +1 > ((k + 1) ? 1)2k +1 + 2(k + 1) 2

1 1 1 + + 的最小值. 3a + 2 3b + 2 3c + 2

即 n = k + 1 时结论也成立, ∴当 n ≥ 4 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n 成立。
n n 2
2

------9 分

【解】因为正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 所以,

( 3a1+ 2 + 3b1+ 2 + 3c1+ 2 ) ??(3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2)??≥(1 + 1 + 1) ,…………5 分

综上得, 当 n = 1 时, Sn > (n ? 2)2 + 2n ;
n 2

当 n = 2,3 时, Sn < (n ? 2)2 n + 2n 2 ; 当 n ≥ 4, n ∈ N ? 时, Sn > (n ? 2)2 n + 2n 2 ------10 分 版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

23. (本小题满分 10 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一 个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望 解:
2 2 (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 2 种,

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

C42 ? 2 2 8 = . 4 27 3
1 . 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) =

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

1 2 8 P4 (2) = C42 ( ) 2 ( ) 2 = . 3 3 27
(II)ξ的所有可能值为 1,2,3.又

………………………3 分

3 1 = , 4 27 3 C 2 (C 1 C 3 + C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P (ξ = 2) = 3 2 4 4 4 2 = (或P (ξ = 2) = 3 4 = ) 27 27 3 3 P (ξ = 1) = P (ξ = 3) =
1 2 1 C3 C4 C2 4 C 2 A3 4 = (或P (ξ = 3) = 4 4 3 = ). 9 9 34 3

………………………8 分

综上知,ξ有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

Eξ = 1 ×

1 14 4 65 + 2× + 3× = . 27 27 9 27

………………………10 分


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