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2013高考复习之线性规划


线性规划
广西灵山县灵山中学 苏焕贵 2012.11.10

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域

? ? x ? 4 y ≤ ?3, 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? ? x ≥ 1.
(5)求可行域的面 积和整点个数.
解:画出可行域如图: 求A出为(5,2),B为(1,1), C为( 1 , 4.4)。

y

5

C
x-4y+3=0

S ? 1 | BC | h 2

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

? 1 ? 3.4 ? 4 ? 6.8. 2
4 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 10

x

练习2

? x ? y ≥ 0, ? 【例2】已知x, y满足 ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?
若 z ? x ? m y(m ? 0) 取得最小值的 点有无穷多个,则m= -1 .

z 1 y ? ? x? m m
? 1 ? 1 ? m ? ?1 m
( ?1, ?1)

(1 , 1) 2 2

(2, ?1)

x? y?6 ?0

?x ? y ? 6 ? 0 ? , 已知 x , y 满足不等式? x ? y ? 0 ?x ? 3 A ?
x? y ?0
?6

练习5

C

y
6

4

求: 2 2 (1).z ? x ? y 最大值和最小值;
?4

2

?2

O

2

N4x B

(2). z
解: (1)

z ? x 2 ? y 2 表示可行域内任一点

? x ? 2 x ? y 最大值和最小值;
2 2
x?3

?2

( x , y ) 到原点 O (0 , 0 ) 的距离的平方.
AC 作垂线,垂足非别为 N 、A. 过 O 向直线 BC、
易知, C ( 3, 9 ) 到 O 距离最大,此时 zmax ? 32 ? 92 ? 90,
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zmin ? 02 ? 02 ? 0.

x? y?6 ?0

5. (2).解:

z ? x 2 ? 2x ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ?1
y
6

C

表示可行域内任一点到定点 M ( ? 1, 0 ) 距离
x? y ?0

4

的平方再减去1.

A
2

过 M 作直线 AB 的垂线,垂足是 P
由直角三角形直角边与斜边关系,容易 判断出

?6

?4

?2

P M

O

2

4

x

?2

z 的最小值是

1 | MP |2 ?1 ? ? , 2

z 的最大值为

B

x?3

| MC |2 ?1 ? 96.

点评:
此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.

练习4

已知

x , y满足不等式

求 :

y?2 z? 的取值范围 x ?1

?x ? y ? 6 ? 0 ? , ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

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y?2 表示可行域内任一点与定点 4. z ? x ?1

x? y?6 ?0

C

y
6

R(-1,-2)连线的斜率,
x? y ?0

4

因为 k RA 所以

5 1 ? ? , k RB ? ? , 2 2
5 2 1 2
?6

A
2

z 的范围为( ? ? , ? ]?[ ? , ? ? ) .

?4

?2

O

2

4

x

点评:

R

?2

B
x?3

此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.

练习:

3、 x、y满足

x+2y?2 2x+y?1 x?0, y?0

变题1:求x2+y2最小值
y ?1 变题2:求 x ? 1 范围

非线性目标函数

二元一次不等式表示的平面区域
y 结论:二元一次不 等式ax+by+c>0在平面 直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0某一侧所有 点组成的平面区域。不 等式 ax+by+c<0表示的 是另一侧的平面区域。 1
O

x+y-1>0
1

x+y-1<0

x

x+y-1=0
探索结论

二元一次不等式表示平面区域
引例:画出不等式2x+y-6<0表 示的平面区域。
y
6

注意:把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
启动几何画板
O

2x+y-6=0
3

x

线性规划
问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:

x ? 4 y ? ? 3 ? ? ?3x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1
求z的最大值与最小值。

探索结论

线性规划
下列条件:

目标函数 (线性目标函数)

问题:设z=2x+y,式中变量满足
x ? 4 y ? ? 3 ? ? ?3x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1
线性约 束条件

求z的最大值与最小值。

二元一次不等式表示平面区域
练习1:画出不等式组

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
表示的平面区域。

x+y=0

y
5

x-y+5=0

O

3

x

x=3

? ? x ? 4 y ≤ ?3, 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? ? x ≥ 1.

(1)若z=2x+y,求z的最值.
5

y C
x-4y+3=0

解:画出可行域如图:
画出直线 2x+y=0 并平移得 点A使Z最大,点B使Z最小。


A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

x ? 4 y ? 3 ? 0 求出A 为(5,2)。 3x ? 5 y ? 25 ? 0

x



x ?1 x ? 4y ? 3 ? 0

2x+y=0 求出B为(1,1)。

Zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12,

Zmin ? 2 ? 1 ? 1 ? 3.

(2)若z=2x-y,求z的最值.
5

y C
x-4y+3=0

解:画出可行域如图: 画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大,点 C使Z最小。 由

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

x ? 4y ? 3 ? 0

3x ? 5 y ? 25 ? 0

可得A为(5,2)

x

x ?1 由 可得C为(1,4.4) 3x ? 5 y ? 25 ? 0

zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 8

zmin ? 2 ?1 ? 4.4 ? ?2.4

3, ? ?x ? 4y ≤ ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤y25. ? ? x ≥ 1. 5 C

(3)若z=x2+y2,求z的最值.
解:画出可行域如图:
z ? x 2 ? y 2 表示可行域内的点
x ? 4y ? 3 ? 0 求出A 为(5,2)。 3x ? 5 y ? 25 ? 0
B
O
1 x=1

x-4y+3=0

A
5

3x+5y-25=0

x

(x,y)到原点的距离的平方, 由图可得点A使Z最大,点B 使Z最小。




x ?1 x ? 4y ? 3 ? 0

求出B为(1,1)。

zmax ? 29.

? zmin ? 2,

? ? x ? 4 y ≤ ?3, 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? ? x ≥ 1.
解:画出可行域如图:

(4)若 z ?
y
5

y , 求z 的最值. x

z?

(x,y)与原点连线的斜率, 由图可得点C使 Z最大,点A使Z最小。

y , x 表示可行域内的点

C
x-4y+3=0

A B


3x+5y-25=0

x ? 4y ? 3 ? 0 求出A 为(5,2)。 3x ? 5 y ? 25 ? 0

O

1 x=1

5

x

x ?1 由 可得C为(1,4.4) 3x ? 5 y ? 25 ? 0

zmax ? kOC

? 4.4 ? 4.4, 1

zmax ? kOA ? 2 ? 0.4. 5

x-y+5≥0
练习3、 求二元一次不等式组 y≥2 0≤x≤2 所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为
1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2

y
5

C x-y+5=0
D

2A -5

B
2

y=2

o

x

x=2

? x ? y ≥ 0, 【练习】已知x, y满足 ? ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?
若 z ? x ? my 取得最大值的点有无穷多个, 则m= 1.
y ? ? 1 x? z m m
① m ? 0 时,? ② m ? 0 时,

1 ? ?1 ? m ?1 m

?

[例3] 某校食堂以面食和米食为主,面食 每百克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位 ,售价0.5元;米食每百克含蛋白质3个单 位,含淀粉7个单位,售价0.4元.学校要 给学生配制成盒饭,每盒至少有8个单位 的蛋白质和10个单位的淀粉,应如何配制 盒饭,才既科学又使费用最少?

?

解析:这是一个最优化问题,应先设出目标变量和关 键变量并建立目标函数,然后根据目标函数的类型, 选择合适的方法求最值。目标函数往往是一元二次函 数或分式函数或三角函数或二元函数。如是一元二次 函数一般用配方法求最值,如是三角函数一般用化一 角一函数的方法求最值,如是分式函数一般用基本不 等式法求最值,如是二元函数一般用线性规划法求最 值,有时也可用基本不等式法求最值。

解:设每份盒饭中面食为x百克,米食为y百克, 费用z元。

目标函数为:z=0.5x+0.4y
6x ? 3y ? 8
线性约束 条件为:

4 x ? 7 y ? 10 x ? 0, y ? 0
0.5x+0.4y=0 A

画出可行域如图:

画出直线 0.5x+0.4y=0 并平移得点A使Z最小。 求出点A 为

所以每份盒饭中有面食 百克,米食为 百克,费用 最省。

? 13 14 ? ? , ? ? 15 15 ?

13 15

14 15

[练习] 某工厂生产甲、乙两种产品, 每生产1 t产品需要的电力、煤、劳动 力及产值.如下表所示:
品 种 甲 乙
?

电力(千 劳动力( 煤(吨) 度) 人) 4 3 5 6 6 3

产值(千 元) 7 9

该厂的劳动力满员150人,根据限额每天用 电不超过180千度,用煤每天不得超过150 t ,问每天生产这两种产品各多少时,才能 创造最大的经济效益?

解:设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,可得产值z千元。 目标函数为:z=7x+9y

4 x ? 6 y ? 180
线性约束条件为:

3x ? 6 y ? 150 5 x ? 3 y ? 150

画出可行域如图:

画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P 为
150 100 , ) 7 7

(

所以每天生产甲产品 效益最大。

150 100 吨,乙产品 7 7

吨时,

补充练习:

x ? 0, ? ? 在不等式组 ? y ? 0, ? ? 4 x ? 3 y ? 12

【1】已知点 A(0, 0), B(1, 2), C(5, 1), D(2, -1),其中 所表示的平面区域

内的整点个数是(

).

9+2(7+5+3+1)= 41

41 【2】满足 | x | + | y | ≤4 的整点的个数是______. y ?4 4 ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -4 ? ? ? ?o ? ? ? ? ? x ? ? ??? ? ? 4 ? ??? ? ??? -4? o 3 x


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