fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修五1.1.2余弦定理第一课时


1

复习回顾
a b c 正弦定理:sin A ? sin B ? sin C

? 2R

可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

2

二、提出问题
那么,如果在一个三角形(非直角三角形)中,已 知两边及这两边的夹角(非直角),能否用正弦定 理解这个三角形,为什么? A A

c

b c

b

B a C a B C a b c ? ? 不能,在正弦定理 中,已知两边 及这两边的夹角,正弦定理的任一等号两边都有两 个未知量。
3

sin A

sin B

sin C

三、概念形成
在三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A,求BC
C

a2 ? CD2 ? BD2 ? (bsin A)2 ?(c?bcos A)2
a

b c A D

?b2sin2A?c2?b cos A?2bccos A
2 2

?b2?c2?2bccos A
B

当然,对于钝角三角形来说,证明类似,课后 自己完成。

几何法
4

三、概念形成
那么,学过向量之后,能否用向量的方法证明余弦 定理呢?


a ? b?c
| a | ? a ? (b ? c)
2 2 2

C
2

2

2

b
A

a
B

a ? b ? c ? 2b ? c

?| b | ? | c | ?2 | b | ? | c | ? cos A
2 2

c

即: a

2

? b ? c ? 2bc cos A
2 2

向量法

5

由此可明确
2

余弦定理
2 2

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

6

从余弦定理,我们可以得到它的推论
b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac
a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab
应用:已知三条边求角度. 判断三角形。
7

余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

勾股定理与余弦定理有何关系?

8

c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

令C=900

c ? a ?b
2 2

2

勾股定理

令C>90

0

c ? a ?b
2 2

2

C为钝角;

令C<90

0

c ? a ?b
2 2

2

C为锐角.
9

应用一:已知两边和夹角
例1 在△ABC 中, 已知 a=4, c=2 3, B=30° ,

解这个三角形.
【分析】 首先利用余弦定理求出边b,然后

用正弦定理,结合边角关系以及三角形内角 和定理求得另外两角.
10

【解】 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2ac cosB =42+(2 3)2-2×4×2 3×cos30°=4,所以 b =2, a b 4 2 由正弦定理 = ,得 = . sin A sin B sinA sin30° 解得 sinA=1,因此 A=90° ,故 C=60° .

11

【点评】

已知两边及其夹角解三角形时先

利用余弦定理求第三边,后用正弦定理求其

余两角,解是唯一的.

12

自我挑战1 c=5,求: (1)a;

在△ABC中,A=120°,b=3,

(2)sinB+sinC.

解:(1)∵b=3,c=5,A=120° , ∴由余弦定理,得: 1 a =b +c -2bccosA=9+25-2×3×5×(- ) 2 =49.
2 2 2

∴a=7.
13

3 3× 2 bsinA 3 由正弦定理,得 sinB= a = = 3, 7 14 csinA 5 sinC= = 3, a 14 45 ∴sinB· sinC= . 196 4 (2)由(1)可得 sinB+sinC= 3. 7

14

已知三边,解三角形
例2 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,

求最大角和sinC. 【分析】 在三角形中,大边对大角,所以a

边所对角最大.

15

【解】

∵a>c>b,∴A 为最大角.

b2+c2-a2 1 法一:由余弦定理有 cosA= =- , 2bc 2 3 ∴A=120° ,又∵sinA= , 2 c 5 3 5 3 ∴sinC=asinA= × = . 7 2 14

16

a2+b2-c2 法二:(A 的求法同法一)cosC= = 2ab 72+32-52 11 = ,∴C 为锐角. 2×7×3 14 sinC= 1-cos C=
【点评】
2

11 2 5 3 1-? ? = . 14 14

在解三角形时,有时既可用余弦

定理,也可用正弦定理.
17

练习: 在△ABC中, (2)a=3,b=4,c= 37 ,求最大角; (3)a:b:c=1: 3 :2,求A,B,C. 【分析】由条件知,均可用余弦定理.

返回目录18

(2)显然角C最大, a 2 ? b 2 ? c 2 32 ? 4 2 ? 37 1 ? cos C ? ? ?? , 2ab 2 ? 3? 4 2 ? c ? 120?. (3)由于a : b : c ? 1 : 3 : 2, 可设a ? x, b ? 3 x, c ? 2 x. 由余弦定理得 b 2 ? c 2 ? a 2 3x 2 ? 4 x 2 ? x 2 3 cos A ? ? ? , 2bc 2 2 ? 3x ? 2 x π 1 ? A ? .同理 cos B ? . 6 2 π π ? B ? .? C ? . 3 2
返回目录19

【评析】(1)余弦定理可解两类三角形问题:一类是已

知三边;另一类是已知两边及其夹角.
(2)对于题中的第(3)小题,根据已知条件,设出三 边的长,然后由余弦定理求解,是解题的关键,在求出角A后,

也可用正弦定理求角B,但要注意讨论解的情况.

返回目录20

根据下列条件解三角形. (1)b=8,c=3,A=60°; (2)a=20,b=29,c=21.

解:已知两边和夹角,已知三边解三角形,根据余 弦定理来求. (1)根据余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=82+32-2×8×3cos60°=64+924=49. ∴a=7,由推论得
a 2 ? b 2 ? c 2 7 2 ? 82 ? 32 13 cos C ? ? ? ? 0.928 6 2ab 2? 7?8 14
返回目录21

∴C=22°, ∴B=180°-60°-22°=98°. (2)根据余弦定理的推论得
b 2 ? c 2 ? a 2 29 2 ? 212 ? 20 2 cos A ? ? ? 0.724 1. 2bc 2 ? 29 ? 21 ? A ? 44?, a 2 ? c 2 ? b 2 20 2 ? 212 ? 29 2 又 cos B ? ? ? 0, 2ac 2 ? 20 ? 21

∴B=90°,∴C=90°-44°=46°.

返回目录22

小结:
1.利用余弦定理解三角形
a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
余弦定理能解决的问题:

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

1、已知两条边和夹角,解三角形。 2、已知三条边,解三角形。判断三角形的形状。

23

2. 余弦定理与三角形的形状

△ABC是钝角三角形 ? a
△ABC是锐角三角形

2

? b2 ? c2
2 2

? a ?b ?c
2
2

△ABC是直角角三角形 ? a

? b2 ? c2

24


更多相关文章:
2015高中数学 第1部分 1.1.2余弦定理课时跟踪检测 新人...
2015高中数学 第1部分 1.1.2余弦定理课时跟踪检测 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二) 一、选择题 余弦定理 1. 在△ABC 中, 角 A...
高中数学必修五1.1.2余弦定理
高中数学必修五1.1.2余弦定理_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五1.1.2余弦定理的课件和教案1.1.2 余弦定理 蕲春三中 刘芳 1.1.2 余弦定理 ...
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理测试(教师版)
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理测试(教师版) - 1.2 余弦定理 (检测教师版) 时间:40 分钟 班级: 一、 选择题(共 6 小题,每题 5 分,共 30 分)...
【优选整合】人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理学案(...
【优选整合】人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理学案(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。【优选整合】人教B版高中数学必修三必修五学案(含答案) ...
高中数学(人教A版必修5)作业1.1.2余弦定理
高中数学(人教A版必修5)作业1.1.2余弦定理 - 技能演练 基础强化 1.在△ABC 中,a2+b2<c2,则这个三角形一定是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 解析 2 2 2...
高中数学 第一1.1.2余弦定理(一)导学案新人教A版必修5
高中数学 第一1.1.2余弦定理(一)导学案新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。1.1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论; 2.能够初步...
高中数学必修5第一余弦定理
高中数学必修5第一章余弦定理_数学_高中教育_教育专区。广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献1.1.2 余弦定理(一)教学目标 1. 知识与技能:掌握余弦定理...
高中数学新人教A版必修5教案1.1.2余弦定理
高中数学新人教A版必修5教案1.1.2余弦定理 - 余弦定理 教学分析 一、教学导图 余弦定理 语言叙述 变作形用 温故引新特例激疑 类比探究理性演绎 类...
最新人教版高中数学必修5第一章“余弦定理”教案1
最新人教版高中数学必修5第一章“余弦定理”教案1 - 1.1.2 余弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量...
...数学(理)必修五(普通班)同步练习:1.1.2余弦定理(1)(...
人教版数学(理)必修五(普通班)同步练习:1.1.2余弦定理(1)(含解析)_数学_高中教育_教育专区。人教版数学(理)必修五(普通班)同步练习:1.1.2余弦定理(1)(...
更多相关标签:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图