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2008到2012江苏高考数学填空题及答案


2008:
1.若函数 y ? cos(? x ?

?
6

)(? ? 0) 最小正周期为
2?

?
5

,则 ? ?



.

【解析】本小题考查三角函数的周期公式. T ?

?

?

?
5

? ? ? 10

【答案】10 2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) , 先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是 ▲ . 【解析】本小题考查古典概型.基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1) 3 1 ? 共 3 个,故 P ? 6 ? 6 12 1 【答案】 12 1? i 3.若将复数 表示为 a ? bi ( a , b ? R , i 是虚数单位)的形式,则 a ? b ? ▲ . 1? i 【解析】 本小题考查复数的除法运算. ∵ 【答案】1 4.若集合 A ? { x | ( x ? 1) ? 3 x ? 7, x ? R} ,则 A ? Z 中有
2 2

1? i 1? i

?

?1 ? i ?
2

2

? i , a =0, =1, b ∴ 因此 a ? b ? 1



个元素
2

【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式. ( x ? 1) ? 3 x ? 7 得 x ? 5 x ? 6 ? 0 , 由
∴ A ? ( ? 1, 6) ,因此 A ? Z ? ? 0,1, 2, 3, 4, 5? ,共有 6 个元素.

【答案】6
? ? ? ? ? ? 0 5.已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1, | b |? 3 ,则 | 5 a ? b |?
? ?2 ? ? 【解析】本小题考查向量的线性运算. 5 a ? b ? 5 a ? b





?

?

2

?2 ? ? ?2 ? 25 a ? 10 a ?b ? b

? ? ? 1? 2 2 = 25 ? 1 ? 10 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 49 , 5a ? b ? 7 ? 2?

【答案】7 6. 在平面直角坐标系 xoy 中, D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, 设
E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一

点,则所投点在 E 中的概率是 ▲ 【解析】本小题考查古典概型.如图:区域 D 表示边长为 4 的 正方形的内部(含边界) ,区域 E 表示单位圆及其内部,因 此. P ?

? ? 12
4? 4

?

?
16

【答案】

?

16 7.某地区为了解 70 ? 80 岁的老人的日平均睡眠时间(单位: h ) ,随机选择了 50 位老人 进行调查,下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表: 开始
序号

i 1 2 3 4 5

分组 (睡眠时间)
[4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8)

组中值 ( Gi )
4.5

频数 (人数)

频率 Fi ) (
0.12
0.20

S?0 i?1 输入 Gi,Fi i? i+1 N S? S+Gi·Fi i≥5 Y 输出 S 结束

[8, 9]

5.5 6.5 7.5 8.5

6 10 20 10 4

0.40 0.20

0.08

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图, 则输出 的 S 的值为 ▲ 【解析】由流程图
S ? G 1 F1 ? G 2 F2 ? G 3 F3 ? G 4 F4 ? G 5 F5
? 4.5 ? 0.12 ? 5.5 ? 0.20 ? 6.5 ? 0.40 ? 7.5 ? 0.2 ? 8.5 ? 0.08

? 6.42 【答案】6.42 1 8.设直线 y ? x ? b 是曲线 y ? ln x ( x ? 0 ) 的一条切线,则实数 b 的值是 ▲ 2 1 1 1 ' 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. y ? ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点 x x 2 (2,ln2) ,代入直线方程,得,所以 b=ln2-1. 【答案】ln2-1

9.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A ( 0 , a ), B ( b ,0 ), C ( c ,0 ) , 点 P (0, p ) 在线段 AO 上的一点(异于端点) ,这里 a , b , c , p 均为非零实数,设直线 BP , CP 分别与边 AC , AB 交于点 E , F ,某同学已正确求得直线
? ? OE 的方程为 ? 1 ? 1 ? x ? ? 1 ? 1 ? y ? 0 ,请你完成直线 OF ? ? ? p a? b c? ? ? ?

y A F P E x O C

的方程: (



)x ? ? ?

?1 ? p

?

1? ?y ? 0 。 a? ?

【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可 B 1 1 x y 猜想填 ? . 事实上, 由截距式可得直线 AB: ? ? 1 , c b b a 直线 CP:
x c ? y

?1 1? ?1 1? ? 1 ,两式相减得 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,显然直线 AB 与 CP 的交 p ?b c? ? p a?

点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程. 1 1 【答案】 ? c b

10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ?????? 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 ▲ 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n -1)个,即
n ?n
2

2 n ?n?6
2

个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第

n ?n
2

+3 个,即为

2



2 n ?n?6
2

【答案】

2

11.设 x , y , z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3 z ? 0 ,则

y

2

的最小值是



xz
x ? 3z 2

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 x ? 2 y ? 3 z ? 0 得 y ?

,代入

y

2



xz

x ? 9 z ? 6 xz
2 2

4 xz

?

6 xz ? 6 xz 4 xz

? 3 ,当且仅当 x =3 z 时取“=” .

【答案】3 12.在平面直角坐标系 xO y 中,椭圆
? a2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2c,以 O 为圆心, a

为半径作圆 M ,若过 P ?

? , ? 作圆 M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 0 ? c ?



【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以 △OAP 是等腰直角三角形,故
a
2

c
2 2

?

2 a ,解得 e ?

c a

?

2 2



【答案】

13.满足条件 AB ? 2 , AC ?

2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值



【解析】 本小题考查三角形面积公式、 余弦定理以及函数思想. BC= x , AC= 2 x , 设 则 根据面积公式得 S ? ABC =
2 2

1 2

AB ?BC sin B ? x 1 ? cos B ,根据余弦定理得
2
2

cos B ?

AB ? BC ? AC 2 AB ?BC
2

?

4 ? x ? 2x
2

2

4x
2

?

4?x 4x

2

,代入上式得

? 4 ? x2 ? S ? ABC = x 1 ? ? ? ? ? 4x ?

128 ? ? x ? 12 ? 16

? 2x ? x ? 2 ? 由三角形三边关系有 ? 解得 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 , ?x ? 2 ? 2x ?

故当 x ? 2 2 时取得 S ? ABC 最大值 2 2 【答案】 2 2 14.设函数 f ( x ) ? ax ? 3 x ? 1( x ? R ) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x ) ? 0 成立,则实
3

数 a 的值为



【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成 立;当 x>0 即 x ? ? ? 1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 x
2

?

1 x
3

设 g ?x? ?

3 x
2

?

1 x
3

,则 g

'

? x? ?

3 ?1 ? 2 x ? x
4

? 1? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区 ? 2?

?1 ? ?1? 间 ? ,1 ? 上单调递减,因此 g ? x ? max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2? ?2 ?

当 x<0 即 ? ? 1, 0 ? 时,f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ≥0 可化为 a ?
3

3 x
2

?

1 x
3

,g

'

? x? ?

3 ?1 ? 2 x ? x
4

?0

g ? x ? 在区间 ? ? 1, 0 ? 上单调递增,因此 g ? x ? ma n ? g ? ? 1 ? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4

【答案】4

2009:
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。
1.若复数 z1 ? 4 ? 29 i , z 2 ? 6 ? 9 i , 其中 i 是虚数单位, 则复数 ( z1 ? z 2 ) i 的实部为 。
? ? ? ? ? ? o 2. 已 知 向 量 a 和 向 量 b 的 夹 角 为 30 , | a |? 2,| b |? 3 , 则 向 量 a 和 向 量 b 的 数 量 积 ? ? a ?b = 。

3.函数 f ( x ) ? x ? 15 x ? 33 x ? 6 的单调减区间为
3 2

.学科网

4.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A , ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [ ?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6, 2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的 长度恰好相差 0.3m 的概率为 .

6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的 学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:学 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6 . .

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W ?

8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比 为 1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2, 则它们的体积比为 .
3

9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ? 10 x ? 3 上, 且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 10. 已 知 a ?
5 ?1 2

.学科网 , 函 数 f ( x) ? a , 若 实 数 m 、 n 满 足
x

f ( m ) ? f ( n,则 m 、 n 的大小关系为 )

.学科网

11.已知集合 A ? ? x log 2 x ? 2? , B ? ( ?? , a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 ( c , ?? ) ,其中 c = .学科网

12.设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题:学科网 (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 ... (写出所有真命题的序号).学科网

13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1 B 2 与直线 B1 F 相交于点 T,线

段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为

.

14.设 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? a n ? 1( n ? 1, 2, ? ) ,若数列 ? b n ? 有连 续四项在集合 ? ? 53, ? 23,19, 37, 82? 中,则 6q = .学科

一、填空题
1、[解析]考查复数的减法、乘法运算,以及实部的概念。 2、[解析] 考查数量积的运算。
? ? a ?b ? 2 ? 3? 3 2 ? 3

-20

3、[解析] 考查利用导数判断函数的单调性。

f ?( x ) ? 3 x ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
2

由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 ( ? 1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4、[解析] 考查三角函数的周期知识。

3 2

T ? ? ,T ?

2 3

? ,所以 ? ? 3 ,

5、[解析] 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10, 它们的长度恰好相差 0.3m 的 事件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 6、[解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s ?
2

(6 ? 7) ? 0 ? 0 ? (8 ? 7) ? 0
2 2 2 2

2

5

?

2 5

7、[解析] 考查读懂算法的流程图的能力。22 8、[解析] 考查类比的方法。体积比为 1:8 9、[解析] 考查导数的几何意义和计算能力。 y ? ? 3 x ? 10 ? 2 ? x ? ? 2 ,又点 P 在第二象
2

限内,? x ? ? 2 ,点 P 的坐标为(-2,15) 10、[解析] 考查指数函数的单调性。 a ?
f ( m ) ? f ( n ) 得:m<n

5 ?1 2

? (0,1) ,函数 f ( x ) ? a 在 R 上递减。由
x

11、[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 log 2 x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0, 4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。 12、[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) ... 13、[解析] 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。

直线 A1 B 2 的方程为:

x ?a

?

y b

? 1 ;直线 B1 F 的方程为:

x c
2

?

y ?b
2

? 1 。二者联立解得:

T(

x y ac b ( a ? c ) 2 ac b ( a ? c ) , ) ,则 M( , ) 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 上 , a b a?c a?c a ? c 2( a ? c )

c

2 2

(a ? c)

?

(a ? c)

2 2

4( a ? c )

? 1, c ? 10 ac ? 3 a ? 0, e ? 10 e ? 3 ? 0 ,解得: e ? 2 7 ? 5
2 2 2

14、[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ? a n ? 有连续四项在集 合 ? ? 54, ? 24,18, 36, 81? ,四项 ? 24, 36, ? 54, 81 成等比数列,公比为 q ? ?
3 2

, 6q = -9

2010:
一、填空题 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲________ 简析:由集合中元素的互异性有 a+2=3 或 a2+4=3,?a=1 或 a2=-1(舍) ?a=1 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______▲________ 6+4i (6+4i)(2+3i) 26i 简析:由题意?z= = = =2i?|z|=2 13 13 2-3i 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_▲__ 1 简析: 2 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维 的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示, 则其抽样的 100 根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 简析:观察频率分布直方图,知有 0.06×5×100=30 根长度小于 20mm 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函数,则实数 a=_______▲_________ 简析:由偶函数?f(-x)=f(x) ?x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex) ?x(ex+e-x)(1+a)=0 x∈R a=-1 ?
频率 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 长度m O 5 10 15 20 25 30 35 40 组距

x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双 4 12

曲线右焦点的距离是___▲_______ 简析:法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍,此不重点说明; 法二——基本量法求解。 由题意知右焦点坐标为 F(4,0), 点坐标为(3,± 15)?MF=4 M 7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______ 简析:读图知这是计算 S=1+21+22+?+2n 的一个算法,由 S=2n-1?33 且 n 为正整数知 n=5 时跳出循环,此时,输出 S=1+21+22+?+25=63 n←n+1 开始 S←1 n←1 S←S+2n 否 S≥33 是 输出 S 结束

8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,1=16, a 则 a1+a3+a5=____▲_____ 简析:对原函数求导得 y?=2x (x>0),据题意,由 a1=16=24 依次求得 a2=8,a3=4,a4=2,a5=1, 所以 a1+a3+a5=21 9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则 实数 c 的取值范围是______▲_____ 简析: 若使圆上有且仅有四点到直线 12x-5y+c=0 距离为 1, 则圆心到该直线之距应小于 1, |c| 即 <1,解得 c?(-13,13) 13 ? 10、定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1 2 ⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____ 简析:由题意知线段 P1P2 长即为垂线 PP1 与 y=sinx 图像交点的纵坐标。
? 2 2 ?y=6cosx x?(0, ) 由? ?6cosx=5tanx?6cos2x=5sinx?6sin2x+5sinx-6=0 ?2 sinx= ? P1P2= ?y=5tanx 3 3

?x2+1,x?0 11、已知函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是____▲____ ?1 ,x<0

简析:设 t=1-x2,当 x<-1 时,t<0,2x<-2;f(1-x2)=1,f(2x)=1? f(1-x2)= f(2x); 当 x>1 时,t<0,2x>2,f(1-x2)=1,f(2x)=(2x)2+1>5,显然不满足 f(1-x2)>f(2x) 当-1?x<0 时,t?0,2x<0,所以 f(1-x2)=(1-x2)2+1?1,f(2x)=1,?f(1-x2)>f(2x) (x? -1); 当 0?x?1 时,t?0,2x?0,所以 f(1-x2)=(1-x2)2+1?1,f(2x)=(2x)2+1, 由 f(1-x2)>f(2x)? (1-x2)2+1>(2x)2+1?x4-6x2+1>0?0?x< 2-1 综上,x?(-1, 2-1) x2 x3 12、设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是_____▲____ y y 简析:由题意知 x,y 均为非 0 的正实数。 由 3?xy2?8 ? x3 ?27 y4 b a tanC tanC 13、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, + =6cosC,则 + =__ a b tanA tanB 1 1 1 x2 1 1 x2 1 x 1 x2 x ? 2? ,又 4? ?9 ? ? 2· ?3,即 ? 3?3 ? 4× ? · 3?9×3? 8 xy 3 y 2 xy y 2 y 2 y y

▲ sin2A+sin2B 简析: 据正、 余弦定理, 由已知等式, 角化边得 3c2=2a2+2b2 ①, 边化角得 =6cosC sinAsinB ② tanC tanC cosA cosB sin(A+B) sin2C 因为 + = tanC( + )=tanC· = ③ tanA tanB sinA sinB sinAsinB sinAsinBcosC 至此,③式还有多种变形,此不赘举,仅以下法解本题。 6sin2C 6c2 6sin2C 6c2 据②式,③式= 2 =4 2 = 2 2 ,又据①式,③式= 2 2 = 2 sin A+sin B a +b sin A+sin B a +b2 14、将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S= 梯形的面积 ,则 S 的最小值是_______▲_______ 简析:如图,△ABC 是边长为 1 的正△,EF∥BC,四边形 BCFE 为梯形; 设 AE=x (0<x<1),则梯形 BCFE 周长=3-x,梯形 BCFE 面积=(1-x2) 所以据题意知: S= (3-x)2 4(3-x)2 = (0<x<1) 3 3(1-x2) 2 (1-x ) 4
E 1-x A

(梯形的周长)2

3 , 4

x F

1 对 S(x)求导,令 S?(x)=0,联系 0<x<1 得 x= , 3 1 1 又 0<x< ,S?(x)<0, <x<1,S?(x)>0 3 3 1 1 32 3 所以 x= 时 S(x)有最小值 S( )= 3 3 3

B

C

2011:
一、填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 ........ 1、已知集合 A ? {? 1,1, 2, 4}, B ? {? 1, 0, 2}, 则 A ? B ? _______, 答案: ?-1, 2? 2、函数 f ( x ) ? log 5 ( 2 x ? 1) 的单调增区间是__________
1 ( +? 答案: - , ) 2

Read a,b If a>b Then m? a Else m? b End If Print m

3、设复数 i 满足 i ( z ? 1) ? ? 3 ? 2 i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_____ 答案:1 4、根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是________ 答案:3 5、 1, 3, 这四个数中一次随机取两个数, 从 2, 4 则其中一个数是另一个的两倍的概率是______

答案:

1 3

6、 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10, 8, 6, 6, 5, 则该组数据的方差 s ? ___
2

解析:可以先把这组数都减去 6 再求方差, 7、已知 tan( x ?

16 5

?
4

) ? 2, 则

tan x tan 2 x

的值为__________

解析:tan x= tan( x ?

?
4

?

?
4

tan( x ? )? tan( x ?

? ?
4

) ?1 ? ) ?1

1

3 tan 2 x

,

tan x



4

tan x (1- tan x) 4 = ? 2 tan x 2 9 2 1- tan x
2 x

2

8、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x ) ? 两点,则线段 PQ 长的最小值是________
2 2 解析:4,设交点为 ( x , ) , ( ? x , ? ) ,则 PQ ? x x

的图象交于 P、Q

4 2 2 (2 x ) ? ( ) ? 4 x

9、函数 f ( x ) ? A sin( wx ? ? ), ( A, w , ? 是常数, A ? 0 , w ? 0 ) 的部分图象如图所示,则
f ( 0 ) ? ____

解析:由图可知: A ?

2,
2 3

T 4

?

7 12

? ?
6 2

?
3

?

?
4

, ? ? 2, 2 ?

?
3

? ? ? k? ,? ? k? ?

2 3

?,

f (0) ?

2 sin( k ? ?

?) ? ?

?
3

7 12

?

?

2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 10、已知 e1 , e 2 是夹角为 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e 2 , b ? k e1 ? e 2 , 若 a ? b ? 0 ,则 3 k 的值为

解析:由 a ? b ? 0 得:k=2
?2 x ? a, x ? 1 11、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ? ,若 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ,则 a 的值为 ?? x ? 2a, x ? 1

? ?

________ 解析: a ? 0, 2 ? 2 a ? a ? ? 1 ? a ? 2 a , a ? ?
3 2

, a ? 0, ? 1 ? a ? 2 a ? 2 ? 2 a ? a , a ? ?
x

3 4

12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x ) ? e ( x ? 0 ) 的图象上的动点,该图 象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点

的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 解析:设 P ( x 0 , e 0 ), 则 l : y ? e
x x0

? e 0 ( x ? x 0 ),? M (0, (1 ? x 0 ) e 0 ) ,过点 P 作 l 的垂线
x x

y?e
t?
t ?
'

x0

? ?e

? x0

( x ? x 0 ), N (0, e
x0

x0

? x0 e
x0

? x0

)
x0 (e
? x0


?e 0)
x

1

2 1

[(1 ? x 0 ) e
(e
x0

?e

x0

? x0 e

? x0

]?e

?

1 2

2

?e

? x0

)(1 ? x 0 ) ,所以,t 在 (0,1) 上单调增,在 (1, ?? ) 单调减, t max ?

1

1 (e ? ) 。 2 e

13、设 1 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ,其中 a 1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a 6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 解析:由题意: 1 ? a1 ? a 2 ? a1 q ? a 2 ? 1 ? a1 q ? a 2 ? 2 ? a1q ,
2 3

? a 2 ? q ? a 2 ? 1, a 2 ? 1 ? q ? a 2 ? 2
2

, 1 , , ,? q ? a 2 ? 2 ? 3 , ? a 2 ? 1a1 ? ? a 2 a 2 1 a 22? 而
3

的最小值分别为 1, 3; q min ? 2, ?
2

3

3。

14、设集合 A ? {( x , y ) |

m 2

? ( x ? 2 ) ? y ? m , x , y ? R} ,
2 2

B ? {( x , y ) | 2 m ? x ? y ? 2 m ? 1, x , y ? R} ,

若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________ 解析:当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条平行
2 ? 2m ? 1 2 2 2

? 线之间,

? m ? (1 ?

2 )m ?

?0 , 因为 A ? B ? ? , 此时无解; m ? 0 时, 当

集合 A 是以(2,0)为圆心,以
? ? 必有 ? ? ?
2 ? 2 m ?1 2 2?2m 2

m 2

和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行线之间,

?m

?

2 ?1 2

?m?

2 ? 1 .又因为

m 2

? m ,?
2

1 2

?m?

2 ?1

?m

2012:
4 6} 1.已知集合 A ? {1 ,2 ,4} , B ? {2 , , ,则 A ? B ?

▲ .

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.
b 3.设 a , ? R , a ? b i ?
11 ? 7i 1 ? 2i

(i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值

开始 k←1

为 ▲ .

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 5.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 ▲ . 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . k2-5k+4>0 Y 输出 k 结束 (第 4 题) 7.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , D1 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ▲ 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . D 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,BC ? 2 , 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .
1] 10.设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ ? 1 , 上,

N

k←k +1

C1
B1

cm3.
x
2

A1
y
2 2

D
? 1 的离心率

?

C B

m

m ?4

A (第 7 题) F

C

??? ?

????

??? ?

??? ?

E

? ax ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? , A B , ≤ x ≤ 1, 0 ?2? ?2? ? (第 9 题) ? x ?1

则 a ? 3b 的值为 ▲ . 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?
? ?

? ? ?? 4 ? ? 的值为 ? ? ,则 sin ? 2? ? 12 ? 6? 5 ?

▲ .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .
b ? 13.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b ( a , ? R ) 的值域为 [0 , ? ) ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的
m 解集为 ( m , ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ .
c 14.已知正数 a ,b ,c 满足:5 c ? 3 a ≤ b ≤ 4 c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则

b a

的取值范围是 ▲ .

1. {1, 2, 4, 6}

2.15

3.8

4.5

5. 0, 6
1

?

?

6.

3 5

7.详解:连接 AC 交 BD 于点 O ,则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 S BB D D ? AO ? 6 .
3
1 1

c a ?b b m ?4 ? ? 1 ? 2 ,? 5 ? 1 ? , >0 .m ? 2 . m 2 2 a a a m ??? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ???? ? 9.详解:由 AB ? AF ? 2 得 AB ?( AD ? DF ) ? 2 ,? AB ?DF ? 2 ,
2 2 2 2 2

8.详解:? e 2 ?

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AE ? BF ? ( AB ? BE ) ?( BC ? CF ) ? AB ?CF ? BE ?BC ??? ???? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? ? AB ?( CD ? DF ) ? 2 ? AB ?CD ? AB ?DF ? 2 ? 2

法二:建立直角坐标系,利用坐标运算求解 10.详解:由题 f ( ) ? f ( ? ) , f ( ? 1) ? f (1) ,解得 ?
2 2 1 1
3 ? ?b ? ? a ? 1 , ? a ? 2 , 2 ? ?b ? ?4 , ?b ? ?2 a , ?

则 a ? 3b ? ? 10 . 11.详解:由 ? 为锐角及 cos ? ? ?
?
? sin( 2? ?

?

?? 4 ? ? ? ? 知0 ? ? ? ? , 6? 5 6 3
) ? 2? 3 5 ? 4 5 ? 24 25

?
3

) ? 2 sin( ? ?

?
6

) cos( ? ?

?
6

, cos( 2? ?
) ? cos( 2? ?

?
3

) ? 2 cos (? ?
2

?
6

) ?1?

7 25

? sin( 2? ?

?
12

) ? sin[( 2? ?

?
3

)?

?
4

]?

2 2

[sin( 2? ?

?
3

?
3

)] ?

17 2 50



kt 12.详解:由题圆 C: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 , C (4 , , r ? 1 ,设 M (t , ? 2) 为另一圆的圆心, 0)

2] 所以 CM ? (t ? 4) 2 ? ( kt ? 2) 2 ? [0 , ,则 (1 ? k 2 ) t 2 ? (8 ? 4 k ) t ? 16≤ 0 关于 t ? R 有解,故

3 3 m 13.详解:由题 ? ? a 2 ? 4 b ? 0 (1), x 2 ? ax ? b ? c ? 0 的根为 m , ? 6 , m ? m ? 6 ? ? a (2) ,

? ? (8 ? 4 k ) t ? 64(1 ? k ) ≥ 0 ,则 0≤ k ≤
2 2 2

4

, ∴k 的最大值是

4



m ( m ? 6) ? b ? c (3),由(1) (3)得 c ?

a

2

4

? (m ? 6m ) ?
2

a

2 2 ? ( m ? 3) ? 9 ,由(2) m ? 3 ?

?a 2



4

故c ? 9 .
c 14.详解:由题 a ,b ,c >0, 5c ? 3a ≤ b ≤ 4 c ? a , ln b ≥ a ? c ln c , ? 5

c a

? 3≤

b a

≤4

c a

? 1,

b b c x c ln ≥ a ,令 x ? ,y ? ,则 5 y ? 3≤ x≤ 4 y ? 1 且 y ln ≥ 1 , ? 0 ,y ? 0 , x c a a y
y ln x y
1 y ≥ 1 化为 x ≥ y e ,令 t ?

1 y

,则 x ≥

e t

t

,令 u ?

e t

t

,则 u ? ?

e ( t ? 1)
t

t

2

u , t ? 1, ? ? 0 ,

u 0 ? t ? 1 , ? ? 0 ,所以 t ? 1 , (t ) 增, 0 ? t ? 1 , ( t ) 减,则 u m in ? e ,结合图形 u u

b a

? x ? [e , . 7]


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