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人教版高中数学课件 第三册:抛物线的几何性质2


抛物线的简单几何性质

一、抛物线的范围: y2=2px
Y

?X ? 0
X

?y取全体实数

二、抛物线的对称性
Y

y2=2px

关于X轴对称 没有对称中心
X

三、抛物线的顶点
Y

y2=2px

X

定义 :抛物线 与对称轴的交点, 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点

四、抛物线的离心率
Y

y2=2px

X

所有的抛物 线的离心率 都是 1

五、抛物线开口方向的判断

y ? 2 px
2

X + ,x轴正半轴,向右 X - ,x轴负半轴,向左 y + ,y轴正半轴,向上 y - ,y轴负半轴,向下

y ? ? 2 px
2

x ? 2 py
2

x ? ? 2 py
2

六、抛物线开口大小 y y2=2px
l
A

o

· F
B

过焦点且垂直于对称轴的直线 x 被抛物线截得的线段AB叫做抛 物线的通径, 长为2p
A( p 2 , p )、B( p 2 ,? p )

P越大,开口越阔

图形

标准方程
2

范围

对称性

顶点

离心率 e=1

y ? 2 px x ? 0 , 关于x 轴 ( 0 , 0 ) 对称,无 ( p ? 0) y ? R 对称中心
x ? 0 , 关于x 轴 y ? ?2 px 对称,无 ( 0 , 0 ) y ? R 对称中心 ( p ? 0)
2

e=1

x ? 2 py y ? 0 , 关于y 轴 对称,无 ( p ? 0) x ? R 对称中心
2

( 0 , 0 ) e=1 ( 0 , 0 ) e=1

x ? ?2 py y ? 0 , ( p ? 0) x? R
2

关于y 轴 对称,无 对称中心

例3

已知抛物线关于

x 轴对称,它的顶点在坐

标原点,

并且经过点

( 2 , ? 2 2 ), 求它的标准方程。
x 轴对称,它的顶点在原
2

解:因为抛物线关于

点,并且经过

点 M ( 2 , ? 2 2 ), 所以,可设它的标准方

程为 y ? 2 Px ( P ? 0 )
2

因为点 M 在抛物线上,所以

( ? 2 2 ) ? 2 P ? 2,即 p ? 2
2

因此,所求抛物线的标

准方程是 y ? 4 x

例4

斜率为 1的直线 l 经过抛物线

y ? 4 x 的焦点 F , 且与
2

A , B 两点,求线段 p 解:由题意可知, p ? 2 , ? 1, 2 准线 l : x ? ? 1 .

抛物线相交于

AB 的长。

y

A’

A O F B
x

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), A , B 到 准线 l 的距离分别为 d A,dB.

由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x 2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x 2 ? 2

例4

斜率为 1的直线 l 经过抛物线 A , B 两点,求线段
为 F (1, 0 ),

y ? 4 x 的焦点 F , 且与
2

抛物线相交于

AB 的长。

由已知得抛物线的焦点

y

所以直线 AB 的方程为 y ? x ? 1

A’

A O F B
x

代入方程 y ? 4 x , 得 ( x ? 1) ? 4 x ,
2 2

化简得 x ? 6 x ? 1 ? 0 .
2

?

x1 ? x 2 ? 6 AB ? x1 ? x 2 ? 2 ? 8

B’

?

所以,线段

AB 的长是 8。

拓展: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

y ? 4x

2

C H O D F A E

B

分析:运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷.

x

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB| y =|AF|+|BF| C B =|AD|+|BC| =2|EH| E H 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.
O D F A
x

抛物线的焦点弦的特征
1、已知AB是抛物线y2=2px的任意一条焦点弦,且A (x1,y1)、B(x2,y2) 1)求证:y1y2=-P2,x1x2=p2/4。 2)设θ为直线AB的倾斜角,求证:当θ=90o时,取得 ︱AB︱的最小值2p。 3)若弦AB过焦点,求证:以AB为直径的圆与准线相 切。
4) AB ? x1 ? x2 ? P

例 5、已知抛物线顶点在原点,以 x 轴为 2 2 对称轴且与圆 x +y =4 相交的公共弦长 为 2 3 ,求抛物线的方程。
y A O B x

抛物线的几何性质特点
(1)只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸, 但没有渐进线。
(2)只有一条对称轴,没有对称中心。 (3)只有一个顶点,一个焦点,一条准线。 (4)离心率e是确定的,即e =1 (5)一次项系数的绝对值越大,开口越大

课堂小结
(1)抛物线的简单几何性质
(2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 (3)应用性质求标准方程的方法和步骤

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程

3、注重数形结合的思想。


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