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新人教A版高中数学(选修4-5)《反证法与放缩法》ppt课件


三 反证法与放缩法

么n a ? n b ?n ? N , n ? 2?" 我们很难从条件和已有 事 实直接推证出结论 .这时可以采用如下方法 : 假设n a ? n b不成立, 那么必有n a ? n b , 或n a ? n b .
如果n a ? n b , 那么a ? b; 如果n a ? n b , 那么由性质

前面我们曾经研 究过不等式的基本 性 质 .可以发 现 ,6 条性质中 , 有的可以由实数大小关系的基 本 事实直接推出 .例如, 对于性质?3? " 如果 a ? b, 那么 a ? c ? b ? c" , 我们可以这样来证明 : 由a ? b得a ? b ? 0, 于是?a ? c ? ? ?b ? c ? ? a ? b ? 0, ?6?"如果a ? b ? 0, 那 所以a ? c ? b ? c. 但对于性质

?5?有a ? b.这些都与a ? b ? 0矛盾.于是, n a ? n b 成立.

像这样的方法, 即先假设要证的命题不成立, 以此为出发点, 结合已知条件, 应用公理、定 义、定理、性质等, 进行正确的推理, 得到和 命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等 )矛盾的结论, 以说明假设不 正 确 , 从而证明原命题成立 .我们把它称为 反 证法 ?reductionto absurdity? . 对于那些直接 证明比较困难的命题常常用反证法证明 .

例1 已知x, y ? 0, 且x ? y ? 2, 试证 : 1? x 1? y , 中至少 y x 有一个小于 2.
分析 要证的结 论与条件之间的 联系不明显 , 直接 由条件推出结论 的线索不够清晰 .

另外, 如果从正面 证明, 需要对某一 个分式小于 2或两 个分式都小于 2等 进行分类讨论 ,而 从反面证明, 则只 要证明两个 分式 都不小于2是不可 能的即可. 于是考 虑用反证法 .

1? x 1? y 证明 假设 , 都不小于 2, 即 y x 1? x 1? y ? 2 ,且 ? 2. y x

因为x, y ? 0, 所以1 ? x ? 2 y, 且1 ? y ? 2 x. 把这两个不等式相加 , 得 2 ? x ? y ? 2?x ? y ?, 从而 x ? y ? 2. 这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾. 1? x 1? y 因此, , 都不小于 2是不可能的 , 即 y x 原命题成立 .

假设a, b, c不全是正数 , 这时需要逐个讨论a , b, c不是正数的情形 .但 注意到条件的特点 (任 分析 要证的结论与 意交换a, b, c 的位置不 ), 我们 条件之间的联系不明 改变命题的条件 (例 显, 直接由条件推出结 只要讨论其中一个 论的线索 不 够清晰, 于 如a ), 其他两个(例如b, c)与这种情形类似 . 是考虑采用反证法 .

例 2 已知 a, b, c 为实 数 , a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? 0, abc ? 0, 求 证 : a ? 0, b ? 0, c ? 0.

证明 假设 a, b, c 不全是正数 , 即其中至少有 一个不是正数 .不妨先设 a ? 0.下面分 a ? 0和 a ? 0 两种情况讨论 .

?1? 如果 a ? 0, 则 abc ? 0, 与abc ? 0 矛盾. 所以
a ? 0 不可能 . ?2? 如果 a ? 0, 那么由 abc ? 0, 可得 bc ? 0. 又因为 a ? b ? c ? 0.所以 b ? c ? ?a ? 0.

于是 ab ? bc ? ca ? a?b ? c ? ? bc ? 0, 这和已知 ab ? bc ? ca ? 0 相矛盾 . 因此, a ? 0也不可能 .综上所述 , a ? 0.
同理可证 b ? 0, c ? 0. 所以原命题成立 .

证明不 等式时, 通过把不等式中的某 些部分放大 或缩小, 简化不等式, 从而达到证明的目的 .我们把 这种方法称为放缩法.

例 3 已知a, b, c, d ? R? , 求证 a b c d 1? ? ? ? ? 2. a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
a b c d 分析 若把 ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c 直接通分相加则会使运 算非常复杂, 不易达到证明 的目的, 分析此式的形式特点 , 可以通过适当放缩 ,使 不等式简化 , 从而得出证明 .

证明 因为 a, b, c, d 都是正数 , 所以

a a a ? ? a?b?c?d a?b?d a?b b b b ? ? , a?b?c?d b?c?a b?a c c c ? ? , a?b?c?d c?d ?b c?d d d d ? ? , a?b?c?d d ?a?c d ?c

把以上四个不等式相加, 得 a?b?c?d a b ? ? ? a?b?c?d a?b?d b?c?a c d a?b c?d ? ? ? , 即 c?d ?b d ?a?c a?b c?d

a b c d 1? ? ? ? ? 2. a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
用放缩法证明不等式 , 关键是放、缩适当 .例如上 述过程中 , 如果把和式的4 项分母依次缩为 a, b, c, d , 那么和放大为 4, 显然太大了 .

|a?b| |a| |b| 例4 已知a, b是实数, 求证 ? ? . 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b |
|a?b| 分析 将不等式左边用 替代, 得到 1? | a | ? | b | |a|? |b| |a| |b| ? ? , 1? | a | ? | b | 1? | a | 1? | b | 这个不等式是很容易证 明的 , 所以, 如果能证明 |a?b| |a|? |b| ? , 那么原不等式就可以得 1? | a ? b | 1? | a | ? | b | 到证明 .

证明 因为0 ?| a ? b |?| a | ? | b |, 所以 |a?b| 1 1 ?1? ?1? 1? | a ? b | 1? | a ? b | 1? | a | ? | b |

|a|? |b| |a| |b| ? ? ? 1 ? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | |a| |b| ? ? . 1? | a | 1? | b |

在上述过程中 , 我们证明了 |a?b| |a|? |b| ① ? . 1? | a ? b | 1? | a | ? | b | x 如果令 f ? x ? ? , x ? ?0,???, 那么从 1? x 函数的观点看 , 只要证明函数 f ? x ?为增
函数, 就可以由0 ?| a ? b |?| a | ? | b | 得到
① 式成立, 而f

? x ?为增函数是容易证的 .

x 观察函数 f ? x ? ? , x ? ?0,???的单调性. 1? x

上面介绍了证明不等式 的几 种 常用方法, 除以上方法外 , 还有其他一些方法 , 如在第 四讲中要介绍的数学归 纳法等 . 应该注意, 不等式 证 明与数学上所有其他证明问题 一样 , 没有一种适用于所有问 题 的统一方 法, 应该对具体问题的特点 作具体分析, 选 择合适的方法.


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