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高二数学复习(七)函数的概念及其表示


高二数学复习(七)函数的概念及其表示
知识梳理
1、函数的概念:_____________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 记作:_________,x∈A.其中,x 叫做_______,x 的取值范围叫做函数的_______; 与 x 的值相对应的 y 值叫做_______,函数值的集合叫做函数的_______. 2、定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域方法: (1)分式:_________; (2)偶次方根:_________; (3)对数式:_________;(4)指数、对数式的底:_________. (5) 指数为零:_________, (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部 分都有意义的 x 的值组成的集合. 3、值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 ;(2)配方法;(3)代换法 4、函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为 纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 平移变换、伸缩变换、对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 5、分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、 的复合函数。 g

典型例题
题型一 函数的基本概念

x2 ?1 例 1、设有函数组:① f ( x) ? , g ( x) ? x ? 1 ; x ?1
② f ( x) ?

x ? 1 ? x ?1 , g ( x) ? x2 ?1 ;③ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ?1 ;

④ f ( x) ? 2 x ? 1 , g (t ) ? 2t ? 1 .其中表示同一个函数的有_______________. 题型二 函数的定义域

例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ? 1 ; 2? x

② f ( x) ?

x log 1 (2 ? x)
2

例 3、已知 f ( x ? 1) 的定义域为(1,3) ,则 f ( x ? 1) 的定义域为____________ 题型三 集合的值域

例 4、求下列函数的值域:

x2 ( x ? R) ; (1) y ? ? x ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ; (2) y ? 2 (3) y ? x ? 2 x ? 1 . x ?1
2

题型四

求函数解析式

例 5、甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离 都是 2km,甲 10 时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y(km) 与时间 x(分)的关系.试写出 y ? f ( x) 的函数解析式. y 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 例5 x

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0), ? 若f (a) ? a. 求实数 a 的取值范围。 例 6、设函数 f ( x) ? ? ?1 ( x ? 0). ?x ?

例 7、设 f (x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x)

例 8、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x

例 9、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

例 10、设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f (x)

1 x

课后练习
1. 设有函数组:① y ? x , y ?

x 2 ;② y ? x , y ? 3 x3 ;③ y ? x , y ?

x ; x

④y??

?1 ??1

( x ? 0), x x ,y? ;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg . 10 x ( x ? 0),

其中表示同一个函数的有__________. 2. 设集合 M ? {x 0 ? x ? 2} , N ? { y 0 ? y ? 2} ,从 M 到 N 有四种对应如图所示: y 2 y 2 y 2 y 2

O

1 ①

2

x

O

1 ②

2

x

O

1 ③

2

x

O

1 ④

2

x

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 3.写出下列函数定义域:



(1) f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域为__________;(2) f ( x) ?

1 的定义域为____________; x ?1
2

( x ? 1)0 1 (3) f ( x ) ? x ? 1 ? 的定义域为__________; (4) f ( x) ? 的定义域为_______. x x ?x

y (5) f (x) ?
4. 函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3x) 的定义域为_____________________.
1 ( x ? R ) 的值域为________________. 1 ? x2

5. 函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域为_____________.

g 6. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 , ( x) ? 3x ? 5 , f ( ( ) 则 gx
7. 设函数 f ( x ) ?

? ________;g ( f ( x)) ? __________.

1 2 , g ( x) ? x ? 2 , 1? x
; f [ g ( x)] ? . ___.

则 g (?1) ? ______; f [ g (2)] ?

8. 已知函数 f ( x ) 是一次函数,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,则 f (1) ? __

?| x ? 1| ?2,| x |? 1, 1 ? 9. 设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=_____________. 2 ?1 ? x 2 , | x |? 1 ?
10.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于________.

1 2

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 11. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? ? ? 2 x ( x ? 0) ?3 x 2 ? 4( x ? 0) ? 12. 若函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?
13. 已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ?



1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) =________________ 2 2 x

14. 如图所示的图象所表示的函数解析式为 __________________________. 15. 记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A;(2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

16. 已知 A ? ? x y ? 1 ? 2 x ?

? ?

2x ? 1 ? 2 ?, B ? y y ? x ? 2 x ? 1 ,求 A ? B 与 A ? B . x?2?

?

?

17. 已知 f ?x ? 是 二次函数,且满足 f ?0? ? 1, f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 2 x ,求 f ?x ? .


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