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研究性学习课题:平面向量在物理中的应用


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研  究  性 学  课篓 题  ●  

在 物  理中, 的 应用 
乎 
新 疆 乌苏第 一 中学  王  勉  如何 将《 大纲 》 中对 学 生 的能 力 要 求切 实 落 实 到  数 学教 学 中, 笔者认 为在数学 教学 中扎 实 开展 研究 性  课 题是行 之有 效 的途 径之一 . 笔 者在 教学 过程 中进 行  课题 研究 时发 现物理 中 的许 多 问题 都与 向量有关 :   ( 1 ) 力、 速度 、 加速 度 、 位 移都是 向量 ;   ( 2 ) 力、 速度 、 加速 度 、 位 移 的合 成 与分 解 就 是 向  量 的加减 法 , 运 动 的叠 加亦用 到 向量 的合 成 ;   ( 3 ) 动量 my是 数乘 向量 ;   ( 4 ) 功定义 即力与 产生位 移 的内积.   下面 , 以“ 向量在物 理 中的应用 ” 这 一 研究性 课题  为例 , 谈谈 自己的做法 与体会 .   批评 过基 础知识 教学 中的“ 一 个定 义 , 三 项 注意 ” 的做  法. 其危 害就是 学 生没 有 经 历 知识 发 生 发 展 的过 程 ,   没有 经历独 立思考 而概 括出概 念 和原理 的机会 , 教学  中的这种“ 掐 头去尾 烧 中段 ” 的做法 , 是 典 型的应 试教  育 的产物 , 与素 质教 育 的 要求 格 格 不 入 , 同时 也违 背  了事 物是互 相联 系的这一 辩证 唯物 主义 的基 本原 理.   事实 上 , 数学 和 生活 是 无法 分 开 的 ( 这 从 数 学 的发 展  史 可 以清楚 地看 到 ) , 生 活 中的道 理 和数 学 中 的道 理  是 相通 的 , 把 生活 中的常识 、 经验、 规 律应 用 到数 学 中   去, 无 疑会 提 高 学 生 理 解 数 学 、 学 习数 学 的 能 力 , 相  反, 把 数学 中习得 的知 识 以及 抽 象 概 括 、 逻辑 思 维 能  《 全E t 制普通 高级 中学数 学教 学 大纲 》 ( 以下 简称  《 大纲 》 ) 教学 目的 中明确 指 出 : 在 数 学 教 学 过程 中注  重 培养学 生数学 地提 出问题 、 分析 问题和 解决 问题 的  能力 , 发 展学生 的 创新 意 识 和 应 用 意识 , 提 高学 生 的  数学 探究 能力 、 数 学建 模 能 力 和 数学 交 流 能 力 , 进 一  步 发展学 生 的数 学实践 能力.   同 时《 大纲 》 明确 了研 究 性 学 习课 题 的 内容 和 课  时, 课题 可 以从 下 面提 供 的参 考课 题 中选 择 , 也可 以   师生 自拟. 参 考课 题 : 数 列在分 期 付款 中的应 用 ; 向量 

在物 理 中的应用 ; 线 性 规 划 的 实 际应 用 ; 多 面体 欧 拉  定理 的发 现等 , 规定课 时不少 于 1 2课时.  
( 上 接第 2 3页 )   8枚硬 币 中掺杂 1枚 假 币 的 问题 , 学 生 的方 法 ( 分 三  组) 当然是 真实 可 行 而且 也 是最 优 的 , 它 与二 分 法 的  “ 矛盾 ” , 并 不能 否认 二分 法 的最 优性 , 因为 , 学 生 的方  法对 多于 8枚硬 币时 的情 况就不 再 优越 了 , 这 正如 小 

概率事 件并不 意 味着不会 发生一 样 . 明天下 雨 的概率  为 0 . 9 8 , 不 下雨 的概率 仅为 0 . 0 2 , 但 第 二天 竟然 没下 
雨 !即 便 如 此 , 也 不 能 否 认 明 天 出 门 带 雨 具 的 明 智  性. 对 于“ 二分 法” 的最优性 , 也可 这样 直 观 的理 解 , 假 

设我们 所要讨 论 的范 围 的长度 为“ 1 ” , 那 么 排 除 它 的 
1   1   1   1  
1u 

不如排除它的去, 又不如音 , ……更不如寺 , 故一次 
o  厶  1 
厶 

力 运用 到生 活 中去 , 则恰恰 体现 了数学 的应用 价值.   总之 , 二 分法是 课标 中的新增 内容 , 对它 的理 解 、   认 识需要 经过 一定时 间 的实 践 、 摸索 、 反思 、 再认 识 才  能达 到必 要 的深度 和 高 度. 更 重 要 的是 , 应 力 争 从 文  化、 哲学 以及数 学 思想 的高 度 认识 二分 法 的内 涵 , 决  不 能仅仅 停 留在 操作层 面上 , 中庸 思想 以及 事物 的普  遍 联系性 原则 为 我们 学 习理 解 二 分 法 提供 了强 大 的  思 想基础 , 同时取 中思 想与“ 二分法 ” 也 体现 了数 学思 

排 除其 ÷无疑 就 是 最优 的 了 !( 注: 一 次 排 除 更多 部 
分 的反 面恰好 是保 留更 多 的部 分 ) 当然 , 这种 理 解 未  免有些幼 稚和 牵 强. 但 一 个 人 可 以没 有 数 学 , 但 不 能 

没 有现实 生活 , 从 生 活和 学 生 身边 的事 情 出发 , 方 能 
真 正找 到数学学 习 的起 跳板 ( 起 码 对相 当一部 分 中小  学生 来说是 如此 ) , 且不 可拿数 学家 深思 熟 虑后 的“ 思  想” , 生硬地 塞 给涉“ 数” 尚浅 的学 生.“ 过 了星期 三 一  天快 一天 ” 的感受 有谁 会没有 呢 ? 由竞 猜 价格 到找 出 

考 的“ 公平 性” , 是 数学 教学渗 透古 典文 化 与辩证 唯物 
主 义原理 的好素 材.  
参 考 文 献 

掺假 硬 币这些游 戏 , 虽 然它们并 没 有准 确 体现 出二 分 
法 的数学 本质 , 但 它们 为二分法 的学 习所起 的铺 垫 作  用则是 毋庸置 疑的. 人 教社数学 室 主任 章 建跃 博士 曾 

1   卢 钦和 . 方程 近似解 、 二分 法及其 他 [ J ] . 中学数 学月 刊 , 2 0 0 5 , 9   2   吕增 锋 . 本不 该 发 生 的课 堂 “ 意外” [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 
(I - 半 月 ?高 中), 2 0 0 8, 1 ~2  

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研究 内容 : 物 体 的斜 抛运 动.  
教 学 目标 :  

题 3 7  

学生甲: 和数 学 中 的 向量 有关 , 猜想 投 篮 的命 中  率应该 与所用 的力 和投 射角度有 关.   学生乙: 和数 学 中 的 函数 有关 , 投篮 和炮 弹 的命  中率应 该和射 程与射 高有关 , 可 以引入 时 间变量.   教师: 同学 们 已逐 步接 近 问题 的实 质 , 射 程 和物  体 的水平 方 向的位移 有关 , 射高 和物 体 的垂 直方 向的  位 移有关 , 而位 移 、 速度 、 时 间又 有 联 系 , 再 仔 细想 一 
想 解决 问题 的办法.   学生: 可将 速 度 沿水 平 方 向和垂 直 方 向分 解 , 斜 

( 1 ) 在物理 情 境 中学 会 数 学 地 提 出 问题 , 明 确探 
究 方 向;  

( 2 ) 体验数学 活 动的过程 ;  

( 3 ) 培 养创新 精神 和应用 能力 ;  
( 4 ) 以研究 报告 或 小 论 文 等 形式 反 映 研 究 成 果 ,   学 会交流 合作.  
过程 与方法 :  

1 . 创设 物理 情境 引入课题  播 放一段 视 频 : 运 动员 姚 明 在 NB A 赛 场 打 球 的  场景 , 提醒学 生观 察 姚 明投 篮 的 动作 ; 篮 球 场 上 教 练 
员指导 运动员 在练 习投篮 ; 一 门大炮 从炮 口发射 炮 弹 

抛运 动 物 体在 水 平 方 向不 受 力 , 以水平 初 速 度  做  匀速 直线 运动 ; 在竖 直 方 向有 方 向向 上 的初 速度  ,  
且受 到 重 力 的作 用 , 因此做 初 速 度 为  的竖 直 上 抛 
运 动.  

至落地 . 视 频播放 完后提 出 以下 问题 :  
问题 1 .视 频 中的物体 做什 么运 动?   问题 2 .运 动员 在投掷 篮球 时怎样 才能 获得 更 好  的成绩 ?   问题 3 . 炮弹在 什 么情 况 下 射得 最 远 ?什 么情 况  下 射得 最高 ?( 能 达 到 的 最大 高 度 叫做 射 高 ; 从 抛 出  点到落 地点 的水 平距 离叫做 射程 )   学 生兴趣浓 厚 , 互 相讨 论 , 课 堂气氛 很活跃 .   教师: 为 了解 决这 些 问题 , 我 们共 同探 讨 物 理 中  的斜 抛运 动 , 请 同 学们 根 据 以下 几个 问题 进 行 讨 论 、  
交流:   ’  

师生共 同讨 论达成 共识 : 根据 平 面 向量基 本定 理 

对速 度进行 正 交分 解 , 借 助 平 面 直 角坐 标 系列 出横 、   纵方 向 的距 离与 时间变 量之 间 的关 系 , 利用 函数方 程  的思 想 解 决 问 题 , 实 现 了物 理 情 境 向 数 学 问 题 的 
转化 .   3 . 用数学方法 解决实际问题, 体 验 数 学 活 动 的 
过 程 

为 了进一 步定 性 分 析 斜 抛运 动 中 的射 高 和射 程  的大小 与初速 度 、 抛 射 角 的关 系 , 请 同学 们 用 实验 进  行 探究 . 在实 验 中采 用 控 制变 量 法 , 即先 保 持 初速 度  不变, 探究 射 高 、 射程 与抛 射角 的关 系 ; 再 保 持抛 射 角   不变, 探究 射 高 、 射程 与初速 度 的关 系. 学 生 每六 人 为 


问题 4 . 篮球 在 出手 的一 瞬 、 炮 弹 在 发 射 的一 刻  是 否具有一 定 的初 速度 ?   问题 5 . 这 个 初 速 度 是 沿 水 平 方 向 还 是 其 他 
方 向?  

组 探究 射高 和射程 与初速 度 和抛 射角 的关 系.   为此 笔者事 先 为 每 组 准备 了两 把 型 号不 一 样 的 

问题 6 . 它们 在空 中的运 动轨迹 是什 么样 的?   问题 7 . 这些 物体 在 空 中运 动 的过 程 中受 到 什 么 
力 的作 用 ?  

射水 枪 ( 发 射速度 不一 样 ) , 让 学生做 如下 实验 :  
操作 1 . 探 究射 高 、 射 程 与 抛射 角 的关 系 , 同一 把 

学 生对 问题 进行讨 论 、 交流.  

枪放 在讲 桌的 固定位 置 , 在 同一平 面 内变 换 与水平 方  向 的夹角射 水 , 请 同学们 观察 水柱高 低 、 远近 的变化 ;  
操作 2 .探究射 高 、 射 程 与初 速度 的关 系 , 不 同的 

分析 并归纳 得 出斜 抛运 动 的概念 : 以一定 的初速 
度将 物体 与水 平 方 向成 一定 的角 度斜 向上 抛 出 , 物体  仅在 重力作 用下所 做 的曲线运 动 叫做 斜抛 运 动. 教 师 

枪 放在讲 桌 的 固 定 位 置 , 与 水 平 方 向 的 夹 角 保 持 不  变, 请 同学们 观察水 柱高低 、 远 近的变 化.   学 生观察 完实 验后 , 引导 学生从 数 学 角度考 虑 以 
下 问题 :  

强调 在这里忽 略空 气阻 力对 物体运 动的影 响 , 这是 一 
种理 想状况 .  

2 . 物理情 境转 化成 数学 问题  将 物理量 之间 的关 系抽 象 成数 学模 型 , 旨在 培 养  学生在 物 理情 境 中 学 会 数 学 地 提 出 问题 , 明确 探 究 
方 向.  

( 1 ) 斜 抛 运 动 中物 体 的飞 行 距 离 与 什 么 因素 相 
关 ?能否写 出关 系式 ?  

( 2 ) 你 研究 出 的 有关 射程 、 射高 , 发射角 、 初 速 度  等 数学关 系式是 什么 ?   ( 3 ) 当初 速 度 大 小 确 定 时 , 飞行 距 离 最 大 值 ( 射 
程、 射高 ) 与发射 角的关 系是 什 么?  

教师 : 我们 已经 了解 了斜 抛 运 动 , 看 出它 的运 行  轨迹 是一条 曲线 , 我 们 把 这样 的 曲线 称 为 抛 物线 . 用  什么 方法研究 这 类运 动较 方 便 ?其 中涉 及 的 物 理 量  与数 学 中 的哪 些 知 识 相 关 ?如 何 解 决 问题 2和 问 

( 4 ) 当发射 角 大小 确 定 时 , 飞 行 距 离最 大 值 与初 
速度 的关 系是 什么?  

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不妨 设斜抛 物体 的初 速度为 V o , 与水平 方 向 的夹  角为 0 , 飞行 时间为 t , 如图建 立直角 坐标 系 , 设 曲线上 

准确 , 不过投 掷运 动 员 要取 得 好 成 绩 应 该 参考 它 , 据  此可对 有关运 动员 进行科 学有效 的训 练.   学 生代 表 3 : 在实际生活中, 运 动 员 的力 量 是 确 

任一 点 P的 坐标为 ( z,  ) , 要 求学 生 首 先做 出受 力分 
析图, 根据 图形 列 出水 平 方 向 的速  v }  

定的, 一 种器械 生产 出来 , 性 能也 是稳 定 的 , 因此 我们 

度与 位移公式和 竖直 方向的速度   } 一 趴
与位 移公式 r 要求 小组 合作完 成.  
… 一  

 
.一  

认 为把 初 速 度 。看做 定 值 , 根据 角 度 的变 化来 研 究 

射 程 和 射 高 更 具 有 现 实 意 义. 对 z   一T v o C O S   0  


小组 1很快 列 出数 学 公式 :  
一 V 0 C O S   0,   一  o s i n   一 g£ ,  

n  Z0 v ; s i



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v ̄   s i n" 0



n   '   在 L L   抛射 刁   角 , 1 1   小 J ’ 于 J  4 5 。 范 f 匕I 围 上 . 内, r  '  


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z —   0 c O s   0   一   s i n   ? f 一 号  .  
小组 4 从 公式 中看 出 : 当   一 0时 , 物体 达 到 最 

随着抛 射角 的增大 , 射程增 大 , 射 高 也增 大 ; 当抛 射角  等于 4 5 。 时, 射 程达到 最大 ; 当抛射 角超过 4 5 。 , 随着抛 

射 角的增 大 , 射 程反 而减小 , 射高 仍增 大 ; 当抛 射 角等  于9 O 。 时, 射程为 0 , 而射 高达到 最大.  
学生 代表 4 : 我们 组 有个 疑 问 , 所 有 的斜 抛 运 动  是 否都 可分解 为 水平 方 向和 竖 直 方 向 的分 运 动? 许  多学 生答 可 以. 该 生 又 问如 果 站 在斜 坡 上 抛 掷 小球 ,   轨迹是 什 么?如何 进行 分解 ?学 生各 持 己见 , 讨 论 非  常热 烈 , 笔者在 黑板上 画图示 意 , 并未 言语 , 学 生恍 然  大悟 : 斜抛 运动均 可 以分解为 水平 方 向和 竖直 方 向的 

高点 , 所 用 时间 £ 一 
g  

, 物体 自最高 点 自由落下 所 

需时 间与上 升到 最高点 所需 时间相 等 , 因此物 体 飞行 

时间为 r 一2 £ 一  
g 

, z … 一T v 。 。 o   一叠 
g 

小 组 2的同学 另辟蹊 径 : 当  一0时 , 物 体 达到 最  远点 , 也 可求 得 £ 一  
g  

, z … 的表达 式 同上.  

教 师 引导 学 生 分 析数 据 : 当初 速度 大 小 确定 时 ,   当 一4 5 。 时 射程 最大 , 当发射 角大小 确定 时 ,  。 越大  射程 越 大.   小组 4 : 当物体 达到 最高 点时, £ 一 
g  
一  

分运 动 , 但 也可 以分解 为其他 方 向的一 对互 相垂 直 的 
分运 动 , 要具 体 问题 具体 分析.  

正待 总结下课 , 又有学 生提 出 问题 : 老师 , 如果 站 
在 电梯 上抛掷 小球 , 又应 当怎样 分 析? 一 时教 师竟然  被 问住 了 , 略 微思 考 片 刻 , 只 能 回答 需 要 知 道 电梯 的  速度, 向学生请 教 有 关 物 理知 识 时 , 物 理 课 代 表说 要 

,  



当初速度 大 小确 定 时 , 0 ( 0 。 <0  ̄9 0 。 ) 越 大 

厶g 

射高越 大 , 当发 射角大 小确定 时 ,   。 越大, 射 高越 大.  
4 . 总结 交流 , 合作学 习  

分 电梯启 动 时刻 、 行 进 中、 停 止 时刻 三种 情况 , 电梯 在 
三种 情 况 的加 速 度不 一 样 , 因此 速 度 也 不一 样. 下 课 

通 过对 以上 问题 的研究 , 你 对 一般 的斜 抛 物体 运  动得 出什么结 论 , 研 究 过 程 中用 到哪 些 数 学 知识 , 从  中有 什么收 获 , 还有 哪 些 疑 问需 要 进 一 步 研 究 ; 每 一 
个小组 派一名 代表 做总结 陈述 , 同学之 间 可 以相 互讨  论 交流 , 课后每 个 小组 写一 篇 小 论 文. 下 面是 个 别 小  组 的发 言提纲 :  

后, 学生 意犹未 尽 , 于是笔者将 此 题 留为 作业 , 要求 学  生按 小组 合作 完成 , 老师 可 以联 系 物理 实 验 室 , 想 做  实验 的学 生可 以去做 相关实 验 , 三 天后 上交小论 文.   在研究 性学 习 的教 学实践 中 , 笔者 体 会到 研究 性 
学 习是 师生 共 同探 索新 知的学 习过程 , 是 师生 围绕 问  题 共 同完成 研究 内容 的 确定 、 方 法 选 择 的过程 , 是解 

学生 代表 1 : 我 们理 解 所谓 斜 抛运 动 就 是 将 物体 
用一 定 的初 速度 沿斜 上方抛 出去 , 仅 在重 力 作用 下物 

决 问题 相互 合作 和 交 流 的过 程 , 具有开放性、 探 究性  和实 践性 的特点. 在这个 过程 中促 进学 生有 效探 究是  需 要一 些条件 的 , 就 内部 条件 而 言 学 生 的求 知 欲 、 好  奇心、 兴 趣等 内在 的学 习 动机 是 前 提 , 较 高 水平 的认 
知 技能 、 思维 品质 及 意 志 品质 也 是 必 需 的 ; 就外 部 条  件 而言 ,主要有 以下几点 :  

体所 做 的运 动 , 它 的轨 迹 是 曲线 , 但 我 们 研究 它 时却  可 以分解为 水平 方 向和竖 直方 向上 的 直 线运 动 来 解 
决, 即化 曲为直 , 化繁为简, 化 未知 为 已知 , 充 分 运 用 

了数学 中化 归与转 化 的思想 方法 , 这是 我 们感 受最 深 
的一点 .  

学 生代表 2 : 在 前 面 的探 究 实 验 中 , 我们 所 探 究  的是忽 略空气 阻 力 且抛 体 的抛掷 点 和落 回点 在 同 一  水平线 上 , 这 种情况 下射 程是 以抛射 角为 4 5 。 时最 大 ,   但在实 际生活 中投 篮 、 踢足球、 掷 标 枪 等 运 动 项 目都  存在一 个实 际问题 , 投 掷点 和落 地点 不在 同一水 平 线  上, 且有 空气 阻力 , 所 以在 实 际生 活 中这 个 结 论并 不 

( 1 ) 必 须将 学 生置 于有 意 义 的 情境 中 , 并 引导 他  们提 出 问题 或者 向他们 提 出恰 当的探究任 务 ;  
( 2 ) 必须 为学生 开展探究提 供必要 的时 间和空间 ,  

并在资料 、 材料 、 设备和指导方面提供恰 当的支持 ;  
( 3 ) 必 须组 织有 效 的交 流 与 表 达 , 帮助 学 生 在 自   己探究 的基 础上加 深认 识 , 达 到教学 目标.  


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