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“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手


“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手
恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说 “不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理.但此类问题解法灵活、综 合性强,部分学生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问 题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”,求不等式恒成 立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结,以飧读者.

1. 抓“解集”
对于恒成立问题,不等式的解集虽是一把双刃剑,它常会导致把不等式的 解集与恒成立混为一谈的错误,但如能搞清它们之间的联系与区别,就能把 “解集”作为“恒成立”求解的突破口. 例 1 关 于 1 的 不 等 式 1+(^+1)%+^<0 在 [0 , 9) 上 恒 成 立 , 求 实 数 ^ 的 取 值 范围. 解析:原不等式等价子&+1)(\+00〈0, x^0,即 x<-m, 2 多 0.当 111 多 0 时,不等式解集为空集;当!》<0 时,原不等式解集为 [0,m2),当且仅当[0,9) _@_m<0,(?m<-3. [(),m 2)且乂 0 时,原结论成立,即》12>9

2. 抓“主元”
在错综复杂的各种矛盾中,抓住了主要矛盾,就犹如抓住了一根主线,从 而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中,多变元的干扰,常会使学生思维 的头绪,陷入众多繁复的岔道中,剪不清,理还乱,而如若分清主次,抓住主 元,则犹如抓住一根主线,一目了然. 例 2(2006* 四 川 卷 ( 文 ) ) 已 知 函 数 [_00=\:H:hx-l,g(x):f'(x)-ax-5,
&

其 中 ^&) 是 1’00 的 导 函 数 , 对 满 足 -1 々 <1 的 一 切 实数^的取值范围.

的 值 , 都 有

§

&) 〈 0 , 求

解析:它表面上是一个给出参数 3 的范围,解不等式§00<0 的问题,事实 并非如此.现把以 1 为变量的函数@&)=3 义 2-ax+3a-5,改为以 8 为变量的函 数,即以变量 3 为主元,^q>(a)=(3-x)a+3x2-5(-l^a<l),则对-

l<a^l,恒有 8(乂)〈0,BPq>(a)<0,从而转化为对_1<3<1,中(3)<0 恒成立 问题,又由中(幻是&的一次函数,问题就容易解决了,只需中(1)<0, cp(-l)<0,即 3x2_x 2〈0, 3x2+\-8<0,解方程组得-23 3.抓“厶”
_

二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型,解决这类问题有很多方 法,但万变不离其宗,其最根本的方法,还是利用“二次式中的判别式厶”. 例 3 若不等式-x2+2mx-2m-l<0,xG[0,1]恒成立,求 m 的范围. 解 析 : 不 等 式 要 求 在 ^?[0 , 1] 时 恒 成 立 , 所 以 厶 <0 仅 是 一 个 充 分 条 件 . 按判别式讨论,设^?&)=^2+2mx-2m-l.

(1)
1_2( 2 ) ( I ) A > 0 f(0)<0 0〈0 或(11)厶彡 0 f(l)<0 m>l 解得 12 12.
_ _

厶<0 时,可解得

1. 抓“分离”
由 “ 函 数 极 值 ” 思 想 可 得 , 【 《 >3 成 立 恒 成 立 W f ( x ) min 彳 ⑴ ^^ 恒

a> 「 (x)max. 由 此 , 此 类 问 题 可 化 归 为 求 函 数 最 值 或 值 域 的 问

题,利用这种方法,关键是将参数与未知数进行分离,因此叫分离参数法. 例 4 在厶汕 0 中,己知厂⑶=<sinRsin 且| ? 出)1|<2 恒成立,求实数 01 的取值范围. 解析:由「出)=2sinB[1-cos(TT2+B)] +cos2B=2sinB+2sin215+1-2sin2B=2sinB+1,V O f ( B ) 2 m.*.m>l, m^3,即 mG(1,3]. 例 5(2000 年日本大学入学试题)已知两个函数饩%)=8\2+16x2(n4+R2)+cos2R,

k,g(x)=2x3+ox2+4x,其中 k 为实数.

(1)
围;

若对任意的乂?

[-3,3],都有^)彡 8 ( \ ) 成立,求让的取值范

(2)
求 的取值范围. 解析:(l)$F(x)=g(x)-f(x)=2x

若对任意的义 l、x

2 e [-3,3] , 都 有 f(xl ) ^ g ( x 2) , 让

3-3x2-12 乂+匕问题转化为「(乂)彡 0 在
-

xE[-3,3]上丨旦成立,为此只需?&)在[ 3,3]上的最小值 F(x)min>0 即可.-..卜、' ( x ) = 6 x 2-6x-12=6(x 2 - x _ 2 ) , * F ' ( 义)=0 得叉=2

mx=-l./.F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,/.F(x)min=k-45, 由卜 45 彡 0,解得 k 彡 45. ⑵由题意可知, i x G [ - 3 ,3 ] 时,都有 r ( x ) max^g(x)min. iF'(乂)=16 乂+16=0 得叉=-1../【(-3)=24-匕?(-1)=-8-让,f(3)=120k,...f(x)max=12()_1^,又由 g'(x)=6x 2+10\+4=0,得乂=-1 或乂=-

23,???g(-3)=-21,g⑶=lll,g(-l)=-l,g(-23)=-2827,.?.g(x)min=-21,则 120-k^-21,解得以 41.

2. 抓“图形”
“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事 非”,在不等式恒成立问题中,如若一时难以找出突破口,常可联想到问题中 涉及的函数图像,以形助数,也许会有意想不到的收获. 例 6 已 知 &>0 且 & 乒 1 , f(x)=x2-dx, 当 代 ( -1 , 1) 时 , Wf(x)<12,

试求实数 3 的取值范围. 解 析 : 本 题 其 实 也 是 一 个 恒 成 立 问 题 , 即 函 数 ^ 义 ^^ 在 区 间 )(^(-! , 1) 中恒成立.由士’00=义 2^\<丨 2 得乂 2-121 时,只有&彡 2 才能保证,而 0 6.抓“特征” 不等式恒成立问题和不等式能成立问题,两者“形似质异”,抓住它们的 条件特征,有利于准确解题. 例 7(2006 全 国 卷 11 文 ) 设 &? 尺 , 二 次 函 数 ,&)=&%2-2x-2a.gf(x)>0

的 解 集 为 八 , B={x|l

解析:这是一个在不等式成立的前提下,求参数的范

围问题. 题目的要求与大部分见到的题并不相同,这类题目在试题中出现最多的 是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为题目的条 件是只要集合六,6 的 交 集 不 是 空 集 就 可 以 , 即 只 要 不 等 式 以 \)>() 在 区 间

( 1 ,3 ) 有解就可以,这等价于 f ( x ) m a x > 0 ,在) ( ? ( 1 ,3)成立.

(1)
的图像的对称轴 1&<0,则对义?(1,3), 大,f ( x ) max=f(l)=a-2-2a>0 a<-2.

当&〈0 时,因为?&) ?(1)最

(2)

当&>0 时 100 , max=f(3)=7a

^>0>1>67.











&











是(-oo ;-2)u(67,+°o). 如 果 题 目 的 条 件 不 是 & 门 丨 3# , 而 是 15A, 则 就 化 为 00>0 在 区 间 ( 1 , 3) 恒成立的问题了.


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