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应用均值不等式求最值的几种技巧


20   N0 . 7 1 2 0  C hn ia E caton lno t on du i   n va i  Her d  al 理 论 前 沿   应 用 均 值 不 等 式 求 最 值 的 几 种 技 巧  李 玉 杰  ( 肃 民勤县职 业 中等 专业 学校  甘肃 民勤  7 3 0 ) 甘 3 3 0  a 十 D  广 _  摘 要: 均值不 等式 —  ≥ 4 b( >0 b , a a , >0 当且仅 当 = 时等号成立) a b 是一个重要 的不 等式, 利用它可以求解函数最值及 值域 的问题 。   但是 , 有些题 目必 须进行必要 的 变形 才能利 用均不 等式 求解 , 本文将 讨论 均值 不等式 的应用技, 供 广大师生参考 。 现  ,   关 键词 : 均值不 等式  最值  技巧  中 图分类号 : 7   G 1  2 文献标 识 码 :   A 文章 编号 :    9 9 ( 0 2o () 0 9 - 1 1 7 - 7 5 2 1 ) 3 a一 0 8 0   63 均 值 不等 式  + a b≥ , / (> ,> , 2 a 0b 0 当且仅当 : 时等号成立) / ab   ‘ ? ? fx =4 ( ) x一2 4 +— x — - 5   是 一个 重 要 的 不 等式 , 用 它可 以 求 解 函数 最 值 及值 域 的 问 题 。 利 但  是 , 些 题 目必 须进 行 必 要 的 变形 才 能 利 用 均不 等 式 求 解 , 本 文  有 现 = 一 1   ( 4+j 5 x   — 1  ̄ _ )3 +  4 x 将 讨 论 均 值 不 等 式 的应 用技 巧 , 广 大 师 生 参 考 。 供   ≤一 5 4 )( - x. 5 ) =一2 =1 +3 +3   1常数 的巧 引   例 1 当O x 时 , = ( — x 的最 大 值 。 : < <4 求y x 8 2 )   当且 仅 5 4   — x 即x 时 等 号成 立 。 =l   分 析 : <x 知 8 2 >0 利 用 均 值不 等 式 求最 值 , 由O <4 - x , 必须 和 为  定值 , 或积 为 定 值 , 此题 为 两 个 式 子 的积 的 形 式 , 其 和不 是 定 值 , 但   故 当 x= 1 . 数 fx) 得 最 大 值 1 时 函 ( 取   注意  ̄ 2 + 8 2 ) 8 l x ( — x = 为定 值 , 只需将 y x 8 2 ) 上 一个 系数 即  4 结构 的巧 调  J 故 = (— x 凑 可。   例4 已知a , > , + b , =一 : >0 b O a 2 =1 求t   a  解 : = (— x  y x8 2 ) 1   =   D  的最 小值 。   9 [x 8 2 ) 3 【 —  一 2 (— x 】 - _ ≤" -   1 .  + 8— 2x 2   】 8    ^ = 解 := 一+ =(   )1 (   )(+ b  t   一+ ?= 一+ ? 2 ) a a   O   a   D   a   D   。   当且 仅 当2 =8 xt , p = 取 等 号  x -2 l R x 2  ̄ , ‘ . . 2 b + a  _ 6+2=3 a +2 b 当x 2 函数y x 8 2 ) 最 大值 为2  = , =

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