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透视解析几何中“角”的处理


透视解析几何中“角”的处理
季剑锋 317000 0576-5183685 冯丹君 317000 13958592895 解析几何中有关角的问题, 涉及的知识点多, 解决方法综合而灵活, 是学习的一个难点, 同时, 又是高考的一个热点。 下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸, 从中透视处理 “角” 的一般思维程序,以展示问题求解的一般策略,并由此建构解决“角”的方法体系,最终击 破难点,轻取热点。

x2 y2 已知:椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,M 是椭圆上的任意 a b
一点,试求∠F1MF2 的最大值。 分析:所求解的目标——角,已学习过的哪些知识(如概念、 公式、定理等)与角相关联?向量的数量积,余弦定理,到角公 式,?? 解法一: M 设 (x,y) MF1 ? (?c ? x,? y) MF1 ? (c ? x,? y) , 由 MF1 ? MF 2 ? MF1 ? MF 2 cos ?F1 MF 2 得: cos ?F1 MF2 =

x2 ? c2 ? y2 ( ? c ? x ) 2 ? y 2 ? (c ? x ) 2 ? y 2

把 y ? b (1 ?
2 2

x2 ) 代入上式,化简得 a2

c2 c2 2 ? a2 ? 2 x2 ? b2 ? c2 ? a2 x ? b2 ? c2 2 2b 2 a = = ?1? cos?F1 MF2 ? a c c c2 c2 | x ? a |?| x ?a | a2 ? 2 x2 a2 ? 2 x2 a a a a
∵ 0 ≤ x ≤ a
2 2

c2 2 ∴ b =a -c ≤ a - 2 x ≤ a2 a
2 2 2 2

?

2b 2 ≤ a2

2b 2 ≤ 2 c2 2 2 a ? 2x a

?1?

2b 2 ? cos?F1 MF2 ? 1 a2

当 x2=0 时,∠F1MF2 取为最大值 arccos( ? 1 ?

2b 2 ) a2

解法二:根据焦半径公式 MF1 ? a ? ex

MF2 ? a ? ex ,由余弦定理得
=

?

cos

| MF1 | 2 ? | MF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 ?F1 MF2 ? 2 | MF1 | ? | MF2 |

(a ? ex) 2 ? (a ? ex) 2 ? (2c) 2 2(a ? ex)(a ? ex)

a 2 ? e 2 x 2 ? 2c 2 ? a 2 ? e 2 x 2 ? 2a 2 ? 2c 2 2b 2 ? ? ?1 ? 2 = (下同解法一) a 2 ? e2 x2 a2 ? e2 x2 a ? e2 x2
解法三:cos ?F1 MF2 ?

| MF1 | 2 ? | MF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | MF1 | ? | MF2 |
1

?

(| MF1 | ? | MF2 |) 2 ? | F1 F2 | 2 ?2 | MF1 | ? | MF2 | 2b 2 ? | MF1 | ? | MF2 | = | MF1 | ? | MF2 | 2 | MF1 | ? | MF2 | 2b 2 2b 2 ?1 ? 2 ?1 | MF1 | ? | MF2 | a
这 里 , 2a=|MF1|+|MF2| ? 2 | MF1 | ? | MF2 |

?

∴|MF1|·|MF2|≤a2

当且仅当|MF1|=|MF2|即(M 位于短轴顶点 B 1 顶点)时等号成立(下略)

评注:定义是构筑知识体系的基础,利用定义解题,如同抓住了“纲” ,能收到“纲举 目张”的效果,可靠而灵巧。 解法四:由椭圆的对称性,可设 M(x,y)为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点,即 0≤x<a,0<y≤b(当 M 位于点 A 2 时 ?F1 MF2 =0) , ?F1 MF2 可看作 MF1 到 MF2 的角

tan∠F1MF2=

K MF 2 ? K MF1 1 ? k MF 2 ? K MF1

y y ? 2cy ? x?c x?c ? 2 y y x ? y2 ? c2 1? ? x?c x?c

2cy 2b 2 cy = ? ? y2 ? c2 2 b4 ? c2 y2 2 2 2 2 a (1 ? 2 ) ? y ? c b ? 2 y b b 2cy
令 g(y)=

(b 4 ? c 2 y 2 ) ? y(?2c 2 y ) b4 ? c 2 y 2 y ,则 g'(y)= ? 4 b4 ? c2 y2 (b 4 ? c 2 y 2 ) 2 (b ? c 2 y 2 ) 2

在其定义域内恒正,,故 tan∠F1MF2 在(0, b] 单调递增,当 y=b 即 x=0 时,就是点 M 位于上 顶点 B2,∠F1MF2 达到最大值 。 (下略) 上述探索异途同归:在点 M 从右顶点 A2 往上顶点 B2 移动过程中,∠F1MF2 逐渐增大, 并且当 M 位于顶点 B2 时达到最大。 变式:已知椭圆

*

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,M 是椭圆上任意一点,A1、A2 是椭圆的左、 a2 b2

右顶点,求∠A1MA2 的最大值。 分析:|MA1|、|MA2|不是焦半径,公式|MA1|=a+ex、定义|MA1|+|MA2|=2a 不能用,并
2 2 且 |MA1|= ( x ? a ) ? y 不能通过配成完全平方而化简。故前三种解法都不可行。

解:tan∠A1MA2=

K MA2 ? K MA1 1 ? K MA2 ? K MA1

y y ? 2ay ? x?a x?a ? 2 2 x ? y2 ? a2 y 1? 2 x ? a2

2

?

2ay y2 a (1 ? 2 ) ? y 2 ? a 2 b
2

?

2ab2 ? c2 y

tan∠A1MA2 在(0, b] 单调递增,当 y=b 时,即点 M

位于上 B2 时∠A1MA2 最大,其值为 ? ? arct an

2ab 。 ? c2

至此,凸现了处理角的常用方法:到角公式,余弦定理, (向量)数量积的定义。

x2 y2 引伸1:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两端点是 A1 、 A2 ,且在椭圆上存在 a b
点M,使 ?A1 MA2 ? 1200 ,则椭圆离心率e的取值范围为( A. (0,1) )

B. (0,

6 ] 3

C. [

6 ,1) 3

D.不能确定,因结论不仅仅与e有关
0

解: C。 选 在椭圆上存在点 M, ?A1 MA2 ? 1 0 使 2

2 ? ?A1 B2 A2 ? 1 0 0 ? ?OB2 A2

? 600 ,

a a 1 6 ? tan ?OB 2 A2 ? tan ?60 0 ? 3 即 3 ? 故e ? ? b 3 a2 ? c2 1 ? e2

引伸 2:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 为其上的动点,则当∠F1MF2 为钝角 9 4

时,点 M 横坐标的取值范围是_______. 解:找出分界点 P: ?F1 PF2 ? 90 的横坐标即可。
0

3 x2 y2 ? ? 1 联立的方程组 x ? ? 解 x ? y ?5且 9 4 5
2 2

x ? (?

3 5

,

3 5

)

在“有着适度潜在距离”的相关问题之间建立精当的序列关系,会将知识结构化、网络 化,使得知识体系简约,易于理解,可以避免因知识繁杂而不得要领,并且结构化、网络化 的知识给联想提供线索和桥梁,具有迁移和应用的活力。 参考文献: 《新课程实施中的数学课堂教学设计》 章建跃 04、4 E-mail: jijianfeng11@163.com

3

[*详细理由如下:
(一)当 b>c 时,∴b2>c2 且 b2≥y2>0 在 ?0, b? 上单调递增 (二)当 b=c 时 ∴b4>c2y2 ∴tan∠F1MF2=

2b 2 cy 为正且 b4 ? c2 y 2

∴锐角∠F1MF2 在 y=b 时取得最大值, arc tan

2bc b ? c2
2

? 2 ? (Ⅱ)当 0<y<b 时,b4-c2y2>0,锐角∠F1MF2∈ (0, ) ∴当 y=b 时,∠F1MF2 取得最大值 2
(Ⅰ)当 y=b 时,tan∠F1MF2 不存在,即∠F1MF2= (三)当 b<c 时, (Ⅰ)当 0<y<

b2 时,b4>c2y2 c

tan∠F1MF2=

b2 2b 2 cy 为正且在(0, )上单调递增 c b4 ? c2 y 2

∴锐角∠F1MF2∈ (0,

?
2

)

? b2 (Ⅱ)当 y= 时,tan∠F1MF2 不存在,即∠F1MF2= 2 c
(Ⅲ)当

b2 b2 <y≤b 时,tan∠F1MF2 为负 且在 ( , b ] 上单调递增。∴钝角∠F1MF2 ∈ c c

? 2bc ( , ? ? arctan 2 ] 2 b ? c2
∴∠F1MF2 在 x=b 时取得最大值 所以,当 y=b 时,即点 M 位于上 B2 时∠F1MF2 最大。]

4


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