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14线面和平面平行的性质定理(14)


直线与平面平行的 性质定理 平面与平面平行的 性质定理

复习回顾:
1.证明直线与平面平行的方法: (1)利用定义:直线与平面没有公共点 (2)利用判定定理:
平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该 直线与此平面平行. a a ?? a // ? b??

?

b

a

b // a 线线平行

线面平行

2.数学思想方法:转化的思想 平面问题 空间问题

3.证明平面与平面平行的方法: (1)利用定义:平面与平面没有公共点 (2)利用判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,则这两个平面平行.
b
β
P

a

a ?? b ?? a ∩b = P a // ? b // ?

?? // ?

?
线面平行 面面平行

巩固训练: 1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外 一点,M,O分别是PD,AC的中点,判断MO 与平面PAB的关系 .
P F A E B O M A P M D O

C

B

C

2.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外 一点,M,K分别是PD,BC的中点,判断MK 与平面PAB的关系 .
P E A B K M D

C

问题引入: 若线面平行,则直线与平面内的直线的 位置关系如何? 无公共点 平行或异面
?

何时平行?
b

a

?

直线与平面平行的性质定理: a∥ ?
?

?∩?=b
a? ?

? a∥ b
?

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 线面平行?线线平行 提醒:欲证“线线平行”,可先证明“线面平 行”。

例题讲解:
例1.有一块木料如图所示,已知棱BC平行于面A'C'. (1)要经过木料表面A'B'C'D' 内的一点P和棱BC将木 料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC有什么关系?

D' A'
E

P D

F

C'

B' B

C

A

思考: 1、两个平面平行,那么其中一个平面内的 直线与另一平面有什么样的关系?

2、两个平面平行,那么其中一个平面内的 直线与另一平面内的直线有什么样的关系?

两个平面平行的性质定理 : 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行.

即:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

线面平行性质定理的应用
(1)如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点,EH∥FG.则 EH 与 BD 的位置关系 平行 . 是________

(2)如图, 已知 AB 与 CD 是异面直线, 且 AB ∥平面 α,CD∥平面 α,AC∩α=E,AD∩α =F,BD∩α=G,BC∩α=H.求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

方法归纳 利用线面平行的性质定理解题的步骤: ①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; ②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面; ③确定交线; ④由定理得出结论.

1.如图所示,四边形 EFGH 为空间四面体 ABCD 的一个截面,若截面为平行四边 形. 求 证 : AB ∥ 平 面 EFGH , CD ∥ 平 面 EFGH;

解:(1)证明:∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF∥HG, ∵HG?平面 ABD, ∴EF∥平面 ABD. ∵EF?平面 ABC, 平面 ABD∩平面 ABC=AB, ∴EF∥AB. ∴AB∥平面 EFGH. 同理可证,CD∥平面 EFGH.

面面平行性质定理的应用
如图,在三棱锥 PABC 中, O, Q 分别是 AB,PA 的中点, G 为△ AOC 的重心,求证: QG∥平面 PBC.

平行性质定理在探索性问题中的应用

已知正三棱柱 ABCA′B′C′中,D 是 AA′上的点, E 是 B′C′的中点,且 A′E∥平面 DBC′.试判断 D 点在 AA′上的位置,并给出证明.

(2015· 启东高一检测 )如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中, D 是 BC 的中点,E 是 A1C1 上的一点,且 A1B∥平面 B1DE, A1E 则 的值为 ________. EC1

[解析] 连接 BC1 交 B1D 于点 F,连接 EF. 则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B?平面 A1BC1, 所以 A1B∥EF, A1E BF 所以 = . EC1 FC1 因为 BC∥B1C1, 所以△BDF∽△C1B1F, BF BD 所以 = . FC1 B1C1 BD 1 A1E 1 因为 D 是 BC 的中点,所以 = ,所以 = . B 1C 1 2 EC1 2

1.应用线面平行性质定理主要是证明线线平行,应用时,需 要经过直线找平面或作平面, 即以平面为媒介证明两线平行, 具体做法是经过已知直线作一个平面和已知平面相交,交线 和已知直线平行.

2.面面平行的性质定理给出了证明线线平行的一种方法,同 时该定理还可推出:“两个平面平行,其中一个平面内的直

线必平行于另一个平面”,即“面面平行?线面平行”.

3.三种平行关系的转化 三种平行关系是紧密相连的,可以任意转化,其相互转化关 系如图所示:

4.证明线线、线面、面面平行的一般思路 “见了已知想性质,见了求证想判定”,也就是说“发现已 知,转化结论,沟通已知与未知的关系”.这是分析问题和 解决问题的一般思维方法,而作辅助线和辅助面往往是沟通 已知和未知的有效手段.


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