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上海市2012学年高二年级第二学期期末数学试卷


上海市 2013 学年高二年级第二学期期末

数学试卷
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 60 分)本大题共有 12 题,每题 5 分,考生应在答题纸上相应编 号的空格内直接填写结果. 1.计算: (1 ? 2i )(3 ? 2i ) ? 2. ? ∈ (

?,

3? ) ,直线 l : x sin ? + y cos? +1=0 的倾角 ? = 2

2 = 1? i

3.一条渐近线方程 3 x +4 y =0,且经过点是 ( 4,6 ) 的双曲线标准方程是 4. 已知复数 z 1 =3+4 i , z 2 = t + i ,且 z1 ? z 2 是实数,则实数 t 等于 5.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,倾斜角为 45° 的直线截得的线段长为 6. 若方程

x2 y2 ? ? 1表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 k ?2 5?k
2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,则圆 C 的方程


x2 y2 x2 y2 8. 已知命题:椭圆 + =1 与双曲线 - =1 的焦距相等.试将此命题推广到一 25 11 9 5
般情形,使已知命题成为推广后命题的一个特例:

9.已知 a ? R ,且 ? ? k? ?

, k ? Z 设直线 l : y ? x tan ? ? m ,其中 m ? 0 , 给出下列 2 结论: ①l 的倾斜角为 arctan(tan ? ) ; ②l 的方向向量与向量 a ? (cos ? ,sin ? ) 共线; ③l 与直线 x sin ? ? y cos ? ? n ? 0 (n ? m) 一定平行;④ 若0 ? a ? 的夹角为

?

?
4

,则 l 与 y ? x 直线

?
4

? ? ;⑤ 若 ? ? k? ?

?
4

, k ? Z ,与 l 关于直线 y ? x 对称的直线 l ? 与 l 互 (写出所有真命题的编号)

相垂直.其中真命题的编号是
2

10.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是 a
11.若点 P 在曲线 C1: y ? 8 x 上,点 Q 在曲线 C2:(x-2)2+y2=1 上,点 O 为坐标原点,
2



| PO | 的最大值是 | PQ |

12.已知 A 、 B 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的公共顶 和双曲线 a 2 b2 a 2 b2

点。 P 是双曲线上的动点, M 是椭圆上的动点( P 、 M 都异于 A 、 B ) ,且满足

AP ? BP ? ?( AM ? BM ) ,其中 ? ? R ,设直线 AP 、 BP 、 AM 、 BM 的斜率分别记为
k1 、 k 2 、 k 3 、 k 4 , k1 ? k2 ? 5 ,则 k3 ? k4 ? ________
二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题 4 分.每题只有一个正确答案,选 择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置. 13.给定四条曲线① x2+y2=

5 x2 y2 y2 x2 ? 1 ;③x 2 ? ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 . ;② ? 2 9 4 4 4
) C.① ② ④ D.① ③ ④

其中与直线 x+y- 5 =0 仅有一个交点的曲线是( A.① ② ③ B.② ③ ④

14.命题甲: “双曲线 C 的方程为 近线方程为 y =±

x2 y2 - =1 ( a >0, b >0 ) ” ,命题乙: “双曲线 C 的渐 a2 b2


b x” ,那么甲是乙的( a
B.必要不充分条件

A.充分不必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件. )

15.设 z 1 , z 2 为复数,则下列四个结论中正确的是( A 若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z12 ? ? z22 ; C z1 ? z2 ?

B 若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0 ; D z1 ? z1 是纯虚数或零.

( z1 ? z2 ) 2 ? 4 z1 z2 ;

2 2 16.在实数集 R 上定义运算 ? :x ? y ? 2 x ? y ? 1 ? y , 则满足 x ? y ? y ? x 的实数对

( x, y) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是(



A.一个圆; B.双曲线; C.一条直线; D.两条直线. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸上与题号对 应的区域写出必要的步骤. 17.(本题满分 12 分)设复数 z ? lg m ? 2m ? 2 ? m ? 3m ? 2 i ,当 m 取何实数时?
2 2

?

? ?

?

(1) z 是纯虚数; (2) z 对应的点位于复平面的第二象限

18. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

?

?

x2 ? y 2 ? 1有两个不 2

同的交点 P和Q .设椭圆与 x 轴正半轴, y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数

k ,使得向量 OP ? OQ与AB 共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由.

19.(本题满分 15 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分. 在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两点(0, ? 3 )、(0, 3 )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直 线 y= kx +1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求 k 的值; (3)若点 A 在第一象限,证明当 k>0 时,恒有 | OA |?| OB | .

20.(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分. 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D 与双曲线
x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l ,使得向量 DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样 4 12

的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 若直线 l: x ? m y ? c ? 0 与抛物线 y ? 2 x 交于 A、B 两点,O 点是坐标原点。
2

(1)当 m=-1,c=-2 时,求证:OA⊥ OB; (2)若 OA⊥ OB,求证:直线 l 恒过定点;并求出这个定点坐标。 (3)当 OA⊥ OB 时,试问△ OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。

上海市 2012 学高二年级第二学期期末

数学试卷
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 60 分)本大题共有 12 题,每题 5 分,考生应在答题纸上相应编 号的空格内直接填写结果. 1.8+3 i 4. 2. 2 ? - ? 5.3p 3.

y2 x2 - =1. 27 48
2 2

3 4

6.k<2 或 k>5

7. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

x2 y2 x2 y2 8. 椭圆 2 + 2 =1 与双曲线 2 - 2 =1 (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 的焦距相等 a c b d 4 7 1 9.② ④ 10. 11. 12. ? 5 7 9
二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题 4 分.每题只有一个正确答案,选 择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置. 13.D 14. A 15. D 16. D 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸上与题号对 应的区域写出必要的步骤. 17.(本题满分 12 分)(1) z 是纯虚数当且仅当 ? 解得, m ? 3
2 ? ?lg m ? 2m ? 2 ? 0

?
2

?

? ?m ? 3m ? 2 ? 0



2 ? ?lg m ? 2m ? 2 ? 0 (2)由 ? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

?

?

?? 1 ? m ? 1 ? 3 , 或1 ? 3 ? m ? 3 ?? ?m ? ?2或m ? ?1
所以当 ? 1 ? m ? 1 ? 3或1 ? 3 ? m ? 3 时,

z 对应的点位于复平面的第二象限。
18. 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
由两方程方程,知 x1 ? x2 ? ?

4 2k , 1 ? 2k 2

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

2 2 , 1 ? 2k 2

由 A(

2,0), B(0,1), 得 AB ? (? 2,1) .

∴OP ? OQ与AB 共线等价于 x1 ? x2

? ? 2( y1 ? y2 ), 将②③代入,解得 k ?

2 . 2

由k ? ?

2 2 或k> , 故不存在符合题意的常数 k . 2 2

19.(本题满分 15 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, ? 3 ),(0, 3 )为焦点,长半轴为 2 的椭圆, 它的短半轴 b ?

22 ? ( 3)2 ? 1 ,
2

故曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1. 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 ? 消去 y 并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0, 4 ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 , x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

若 OA ? OB ,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

1 3 3k 2 2k 2 ? ? ? 1 ? 0 ,化简,得-4k2+1=0,所以 k ? ? . 2 2 2 2 k ?4 k ?4 k ?4

(3)证明:

| OA |2 ?| OB |2 =x12+y12-(x22+y22)
6k ( x1 ? x2 ) d. k2 ? 4

=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22) =-3(x1-x2)(x1+x2) ?

因为 A 在第一象限,故 x1>0. 由 x1 x2 ? ?

3 知 x2<0,从而 x1-x2>0. k ?4
2

又 k>0,故 | OA |

2

? | OB |2 ? 0 ,

即在题设条件下,恒有 | OA |?| OB | . 20.(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分.

(1)圆 M ∵ AM

2 : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 .

? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内.
? CA ,且 CM ? R ? r ,

设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r 即

CM ? CA ? 8 ? AM . ∴ 圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 .∴b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . a2 b2 x2 y2 ? ? 1. ∴ 所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12 ? y ? kx ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ? 48 ? 0 y2 ? ? 1 . ? ? 16 12 8km 2 2 2 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? .△ 1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 4m ? 48 ? 0 . 2 3 ? 4k

?

?

?

??

?



? y ? kx ? m, ? 2 2 2 消去 y 化简整理得: 3 ? k x ? 2kmx? m ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1 . ? ? 4 12 2km 2 2 2 设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y4 ? ,则 x3 ? x 4 ? ,△ 2 ? ?? 2km? ? 4 3 ? k m ? 12 ? 0 . ② 2 3?k ∵DF ? BE ? 0 ,∴( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 8km 2km 4 1 ? ? ∴? .∴2km ? 0 或 ? .解得 k ? 0 或 m ? 0 . 2 2 2 3 ? 4k 3?k 3 ? 4k 3?k2 当 k ? 0 时,由① 、② 得 ? 2 3 ? m ? 2 3 ,∵m ?Z,,∴m 的值为 ? 3,?2 ?1, 0 ,1 , 2,3 ;
由 ? x2

?

?

?

??

?

当 m ? 0 ,由① 、② 得

? 3 ? k ? 3 ,∵k ? Z,,∴k ? ?1, 0, 1 .

∴ 满足条件的直线共有 9 条.

21.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ?

?x ? m y? c ? 0 2 得 y ? 2my ? 2c ? 0 2 ? y ? 2x

可知 y1+y2=-2m y1y2=2c ∴ x1+x2=2m2—2c x1x2= c2, (1) 当 m=-1,c=-2 时,x1x2 +y1y2=0 所以 OA⊥ OB. 2 (2) 当 OA⊥ OB 时,x1x2 +y1y2=0 于是 c +2c=0 ∴ c=-2(c=0 不合题意),此时,直线 l:

x ? m y ? 2 ? 0 过定点(2,0).
(3) 由题意 AB 的中点 D(就是△ OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

D(m 2 ? c,?m) 而(m2—c+

1 1 2 ) -[(m2—c)2+m2 ]= ? c 4 2

由(2)知 c=-2

∴ 圆心到准线的距离大于半径,故△ OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。


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