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辽宁省沈阳二中2013届高三第四阶段测试(数学文)


沈阳二中高三(13 届)第四次阶段测试 数学试题(文科)
命题人: 黄 岩
说明:1.测试时间:120 分钟

石 莹
总分:150 分

[来源:GkStK.Com]

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷
是符合题目要求的.

(60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

1. 设全集 U ? R ,集合 M ? {x | x2 ? x ? 0} ,N ? {x | y ? lg 2 x ?1} , 则右图中阴影部分所表示的范围是( A. [0, ??) )

1 B. [0, ) ? [1, ??) 2

C. [0, ] ? (1, ??) )

1 2

D. ( ,1]

1 2

2.已知命题 p : 对任意x ? R,有cos x ? 1 ,则( A. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 C. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1

B. ?p:对任意 ? R,有cos x ? 1 x D. ?p:对任意 ? R,有cos x ? 1 x )

3.设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面,下列选项正确的是( A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β

B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β

? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 4.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3 的最大值是( ? x ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 5.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽 样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频[来 源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK] 率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106], 样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102), [102, 104),[104, 106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并 且小于 104 克的产品的个数是( ). 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050



频率/组距

96 98 100 102 104 106 克 第 5 题图

A. 45

B.60

C.. 75

D. 90

6.设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (



55 8 1 1 7.设 a ? 0, b ? 0 ,若 lg a 和 lg b 的等差中项是 0,则 ? 的最小值是( a b
A. B. ? C. D. A.1 B.2 C. 4 D. 2 2

1 8

1 8

57 8



8.已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3, 0) , B(0,3) , C (cos ? ,sin ? ) , ? ? ( 若 AC ? BC ? ?1 ,则 A. ?

? 3?
2 , 2

),

??? ??? ? ?
5 9

1 ? tan ? 的值为( 2sin 2 ? ? sin 2? 9 B. ? C.2 5

) D. ?2

9.已知 ?ABC 为等腰三角形, ?A ? ?B ? 30 ? , BD 为 AC 边上的高,若 AB ? a ,

AC ? b ,则 BD ? (
3 a?b 2 3 C. b ? a 2
A.



B

3 a?b 2 3 D. b ? a 2
B.

A

C

D

10. 过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B, a2 b2

1 1 ? k ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ( ) 3 2 1 9 2 1 2 1 A. ( , ) B. ( ,1) C. ( , ) D. (0, ) 4 4 2 3 2 3 cos B b a ?? a 11. 在△ABC 中, , b, c 分别是角 A、 、 的对边, B C 且 , b= 13, ? c ? 4 , 若 cos C 2a ? c
且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F, 若 则△ABC 的面积为( A. ) B.

3 3 4

3 3 2

C.

3 4

D.

3 2

12.定义在 ?? 1,1? 上的函数 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ;当 x? ? ?1, 0? 时, f ? x ? ? 0 ,若 ? ? ?

? x? y ?

?1? P ? f ? ?? ?5?
A.R>Q>P

?1? ?1? f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ,则 P,Q,R 的大小关系为( ? 11 ? ?2?
B.R>P>Q C. P>R>Q D. Q>P>R



第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.定义运算

a c z i ? ad ? bc ,复数 z 满足 ? 1? i , b d 1 i


则复数 z 的模为_

?2? x , x ? 1 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则满足 f ( x) ? 1 的 x 的 ? log 2 x, x ? 1 ? ?2
取值范围为 。

15.阅读右面程序框图,如果输入的 n ? 5 ,那么输出的 S 的值 为 。

16.在工程技术中,常用到双曲正弦函数 shx ?

e x ? e? x e x ? e? x 和双曲余弦函数 chx ? , 2 2

双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质, 请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确 的类似公式 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、乙 两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 10 30 110 非优秀

3 . 11
合计

行编号, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率. 附: x 2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 p( x 2 ? k ) 0.05???0.01 ) , n1? n2? n?1n?2 k 3.841????????

[来源:学优高考网 GkStK] 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin(?x) ? 2 sin 2

?x
2

? m(? ? 0) 的最小正周期为 3? ,当 x ? [0, ? 时, ]

函数 f ( x ) 的最小值为 0。 (1)求函数 f (x) 的表达式; (2)在△ABC,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A 的值。 19.(本小题满分 12 分)

一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M 、 G 分别是 AB 、 DF 的中点. (1)求证: CM ? 平面 FDM ; (2)在线段 AD 上(含 A 、 D 端点)确定一点 P ,使得 GP // 平面 FMC ,并给出证明; (3)一只小飞虫在几何体 ADF ? BCE 内自由飞,求它飞入几何体 F ? AMCD 内的概率. 主视图

左视图
F E

a
2a
俯视图

a a
D A

G C
M B

a
2a

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 的椭圆经过点 2 2 a b

? 6 ,1?.

(1)求该椭圆的标准方程; (2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线 l1 , l 2 分别与椭圆交于 A, B 和 C, D ,是否存在常 数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD ?若存在,求出实数 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

( (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程;
(2) a ? 0 时, f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2, a 的取值范围;[来源:GkStK.Com] 当 若 求 (3)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立, 求 a 的取值范围。

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号,每小题满分 10 分。 22.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF.

23.( 选修 4—4;坐标系与参数方程)

已知圆锥曲线 C: ?

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(? 为参数)和定点 A(0, 3) , F1 , F2 是此圆锥曲线

的左、右焦点。 (1)以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 AF2 的极坐标方程; (2)经过点 F1 ,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点, 求 || MF1 | ? | NF1 || 的值. 24.(选修 4 ? 5 :不等式选讲)

设函数 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | x ? 3| . (1)解不等式 f ( x) ? 6 ; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| 2m ? 1| 的解集不是空集,试求实数 m 的取值范围.

沈阳二中高三(13 届)第四次阶段测试 数学试题(文科)答案
一.选择题 1 C 2 A 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 D[来 源:高 [考∴ 试﹤ 题∴ 库 GkStK] 10 C 11 A 12 B

二.填空题 13. 5 14. (??,0] ? [ 2, ??) 15. 14

16. c h ? x ? y ? ? c hx c hy ? s hx s hy , c h ? x ? y ? ? c hx c hy ? s hx s hy ,

sh ? x ? y ? ? shx c hy ? chx s hy , sh ? x ? y ? ? shx c hy ? chx s hy 四个之一即可.
三.解答题 17.解:(1) 优秀 甲班 非优秀 合计

10

50

60

50[来源:高
乙班

20
30

30
80

[考∴试﹤题 ∴库]

合计

110
????????4 分
2

110 ?10 ? 30 ? 20 ? 50 ? n(ad ? bc)2 (2) K ? ? ? 7.5 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 80 ? 50 ? 60
2

7.5 ? 6.635 ,我们有99%的把握认为成绩与班级有关,达到可靠性要求。???8分
(3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为 ( x, y ) .

所有的基本事件有: (1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 ? 、 (6,6) 共 36个.

事件 A 包含的基本事件有: (3,6) 、 (4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 ( 4,6) 、 (6,4) 共7个

7 ??????? ?12分 36 1 ? cos( ?x) ? ? m ? 2 sin(?x ? ) ? 1 ? m. ???2 18.解:(1) f ( x) ? 3 sin(?x) ? 2 ? 2 6
由古典概型知: P ( A) ? 分 依题意函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即

2?

2x ? ? ) ? 1 ? m. ????4 分 所以 f ( x) ? 2 sin( 3 6

?

? 3? , 解得 ? ?

2 . 3

当x ? [0, ? ]时,

2 x ? 5? 1 2x ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 6 3 6 6 2 3 6 所以f ( x)的最小值为m.依题意, m ? 0. ? 所以f ( x) ? 2 sin( 2x ? ? ) ? 1.???? 6分 3 6
2C ? 2C ? ? ) ? 1 ? 1,? sin( ? ) ? 1. 3 6 3 6

?

(2) f (C ) ? 2 sin(



?
6

?

2C ? 5? 2C ? ? ? ? ? , 所以 ? ? .解得C ? .????8分 3 6 6 3 6 2 2

在Rt?ABC中,? A ? B ?

?
2

,2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C ), ?1? 5 .????10分 2

? 2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0, 解得 sin A ? ? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

5 ?1 .????12分 2

19.解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1) ? FD ? 平面ABCD, CM ? 平面ABCD,? FD ? CM ,

在矩形ABCD中,CD= 2a, AD= a,M为AB中点,DM = CM = 2a,?CM ? DM ,
? FD ? 平面FDM , DM ? 平面FDM ,FD ? DM = M ? CM ? 平面FDM ????4 分
(2)点 P 在 A 点处. ???????????????????????5 分 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM ∴面 GSA//面 FMC,而 GA ? 面 GSA,∴GP//平面 FMC ????????????9 分 (3) VF ? AMCD ?

1 1 S AMCD ? DF ? a 3 , 3 2

VADF ?BCE ? a3 ,
1 2
?????12 分

由几何概型知,小虫飞入几何体的概率为 VF ? AMCD : VADF ? BCE ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? , 20.解:(1)由题可知 ? ,即 a2 2 a 2
由此得 a ? 2b ,故椭圆方程是
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1, 2b 2 b
1 ? 1 ,解得 b 2 ? 4 , 2 b

将点

? 6,1?的坐标代入,得 26 b

2

?

x2 y2 ? ? 1 .?????????4分 故椭圆方程是 8 4
(2)问题等价于

1 1 1 1 是否是定值问题. ? ? ? ,即 ? AB CD AB CD

椭圆的焦点坐标是 ?? 2,0? ,不妨取焦点 ?2,0? ,当直线 AB 的斜率存在且不等于零时, 设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程是 y ? k ?x ? 2? , 代入椭圆方程并整理得 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0

?

?

设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 8 , x1 ? x2 ? .?????????6分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

根据弦长公式, AB ? 1 ? k

2

?x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2

? 8k 2 ? 8k 2 ? 8 ? ? 4? = 1? k ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? ?
2

2

= 1? k ?
2

32 k 2 ? 1

?1 ? 2k ?

?

2 2

? = 4 2 ?k

2

?1
2

?

1 ? 2k

?????????8分

1? ? 4 2 ?1 ? 2 ? 2 1 ? k ? ? 4 2 k ?1 以 ? 代换 k ,得 CD ? 2 k k2 ? 2 1? 2 k

?

?

?????????9 分

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

所以

1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 3 k 2 ?1 3 2 ? ? ? ? ? AB CD 4 2 k 2 ? 1 4 2 k 2 ? 1 4 2 k 2 ? 1 8

?

?

?

?

?

?

?

?

即 AB ? CD ?

3 2 AB ? CD . 8

?????????10 分

当直线 AB 的斜率不存在或等于零时, AB, CD 一个是椭圆的长轴长,一个是通径长度, [来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK] 此时

3 2 1 1 1 2 2 3 2 ,即 AB ? CD ? AB ? CD . ? ? ? ? 8 AB CD 4 2 8 8
3 2 ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD .??????12 分 8
2

综上所述,故存在实数 ? ?

21.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ?( x) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 .所以切线方程是 y ? ?2.

1 . ??????1 分 x

??????????3 分

( ? (2)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) .
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? GkStK][来源:学优高考网 GkStK]

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) [来源:学优高考网 x x

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? ? ? 0, x x
所以 x ? 当0 ?

1 1 或x? . 2 a

????????4 分

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意 综上 a 的取值范围 a ? 1 (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x , ??????7 分

( ? 只要 g (x) 在 0, ?) 上单调递增即可.

??????????8 分

1 2ax2 ? ax ? 1 而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? ? x x
当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 ( ? ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) 上单调递增;????9 分 x

( ? 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,
只要 2ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,则需要 a ? 0 ,????????????10 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1),对称轴 x ? 只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 ,即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 . ??????????????????12 分 ????2 分

1 ?0, 4

22.解:(1)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,?PD ? 4 , 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,

PC AC , ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 (2)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF , 2 ?1 ? EF ? ? 2 ,? EF ? BE . 2

? ?PAC ∽ ?CBA,?

????4 分[来 ????6 分 ????8 分 ????10 分

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆,其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 23.解:(1)C: 4 3 AF2 : y ? ? 3( x ? 1) k AF2 ? ? 3
即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3

3 3 2 (2)由(1) k AF2 ? ? 3 ,
即 ? sin(? ?

?

)?

? l ? AF2 ,? l 的斜率为

3 , ,倾斜角为 300 3

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数) 所以 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
代入椭圆 C 的方程中,得:

13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0 因为 M、N 在 F1 的异侧
|| MF1 | ? | NF1 ||?| t1 ? t 2 |?
24.解:(1)不等式化为

12 3 13

x ? ?3 ?3 ? x ? 1 x ?1 ? ? ? 或? 或? ? ??(2 x ? 2) ? ( x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 2) ? ( x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 2) ? ( x ? 3) ? 6
得 x ? ?3 或 ?3 ? x ? ?1 或 x ?

5 3

故解集为 ? x | x ? ?1或x ? ? . [来源:GkStK.Com]

? ?

5? 3?

?????5 分

? ?3 x ? 1, x ? ?3 ? (2) f ( x) ?| 2 x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?? x ? 5, ?3 ? x ? 1 .[来源:GkStK.Com] ? 3 x ? 1, x ? 1 ?
当 x ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ? 8 ; 当 ?3 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? 5 ? 4 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? 4 . 故 f ( x) 的最小值为 4 若关于 x 的不等式 f ( x) ?| 2m ? 1| 的解集不是空集,则 | 2m ? 1|? 4 , 得m ? ?

5 3 或m ? . 2 2

?????10 分

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