fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

广州市铁一中学2013届五月月考三模文科数学


广东省高考 2013 年教学质量检测题 数学(文科)试题
学科网

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
1.已知全集 U A.

? {?1,0,1,2}, 集合A ? {?1,2}, B ? {0,2}, 则(Cu A) ? B ? (
B.{0} C.{2} ) C. D. 2i =( ) D.网{0,1,2}

)学科

?

2.已知复数 z A. ?i

?

?1 a5 5 S 3.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 ? ,则 9 a3 9 S5 1 A. ?1 B. C.1 2
A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条

1? i ,则 z 1? i B. 1

等于(

D.2 )

4.已知 a、b 是实数,则“a>1,b>1”是“a+b>2 且 ab>1” 的(

5. 已知 m 、 n 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,有下列 4 个命题: ① 若 m // n , n ? ? ,则 m∥ ? ; ③ 若? ④ ② 若m

? n , m ? ? , n ? ? ,则 n // ? ;

? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; 若 m n 是异面直线, m ? ? , n ? ? , m // ? ,则 n // ? . 、
). C.③④ ) D. (4,5) ) D. ①② B. ②④

其中正确的命题有( A.②③ 6.函数

f ( x) ? ln

3x 2 ? 的零点一定位于区间( 2 x
B. (2,3) C. (3,4)

A. (1,2) 7.函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 在 R 上存在极值点,则实数 a 的取值范围是(

A.

??

3, 3

?


B. [?

3, 3]

C. (??, ?

3) ? ( 3, ??)

D. (??,?

3] ? [ 3,??)

8. 一动圆过点 A(0, 方程为( A.x = 9.函数

1 2

) ,圆心在抛物线

y?

1 2 x 上,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的 2
C.y =-

1 2

B.x =

1 16

f ( x) ? sin(? x ? ? )(| ? |?

?
2

1 16

D. y =-

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移

? 6

1 2

个单位后得到的函数为奇函数,

则函数

f ( x) 的图象(



第 1 页 共 11 页

? 5? , 0) 对称 B.关于直线 x ? 对称 12 12 5? ? , 0) 对称 C.关于点 ( D.关于直线 x ? 对称 12 12 10. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且是周期为 2 的周期函数, x ? [0,1) 时,f ( x) ? 2 x ? 1 当
A.关于点 ( 的值为( A. ? ) B.-5 第Ⅱ部分 C. ?

, 则

fo (g l

1 2

6)

5 2

1 2

D.-6

非选择题(共 100 分) 开始

二、填空题:(本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

? x ? 2 ? 0, ? 11.设点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 所表示的平面区域上运动,则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? z ? x ? y 的最小值是 .
12.若框图所给程序运行的结果为 S=90,那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件 是 .

k=10 , s=1
是 否

s=s× k k=k-1
第 12 题

输出 s 结束

13.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为斜坐标系.平 面上任意一点 P 的斜坐标定义为:若 OP ? 位向量,

xe1 ? ye2 (其中 e1 ,e2 分别为斜坐标系的 x 轴、y 轴正方向上的单
y ) .在平面斜坐标系 xoy 中,若

x, y ? R) ,则点 P

的斜坐标为 ( x,

?xoy ? 60? ,已知点 M 的斜坐标为
距离为 ;

(1, 2),则点 M 在 x 轴上的射影到原点 O 的

14. (几何证明选讲选做题) 如图所示, O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4, 圆 BD=8,则线段 DO的长等于_______________. 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ) 0 ? ? <2? )中,曲线 ? ( 第 14 题

? 2 sin?



? cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______________.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知:函数 (1)求函数

f ( x) ? 2 sin x ? 2 cos(? ? x) .
f ( x) 的最小正周期和值域;

(2)若函数

6 ? 3? f ( x) 的图象过点 (? , ) , ? ? ? 4 4 5

.求

f ( ? ? ) 的值. 4

?

第 2 页 共 11 页

17. (本小题满分 12 分) 某校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,被抽取学生的成绩均不低于 160 分,且低于 185 分,下图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分(每一组均包括左端点数据而不包括右端点数 据),且第 3 组、第 4 组、第 5 组的频数之比依次为 3 : 2 :1 . (1)请完成频率分布直方图; ( 2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成 绩较高的第 3 组、第 4 组、第 5 组中用分层抽样 的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3 、4、
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O 160 165 170 175 180 185 成绩 频 率/组 距

5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学 校决定在 6 名学生中随机抽 取 2 名学生由考官 生被考官

A 面试,求第 4 组至少有一名学

A 面试的概率.

第 3 页 共 11 页

18. (本小题满分 14 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图, 在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直 角三角形,有关数据如图所示. (1) 求出该几何体的体积。
E
M

D

4 2

(2) 若 N 是 BC 的中点,求证: (3) 求证:平面 BDE

AN // 平面 CME ;
C
A

? 平面 BCD .

N
B

直观图

侧视图

2
2
俯视图

第 4 页 共 11 页

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 19. (本小题满分 14 分)已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? ( n≥ 2 ) ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ?
(1)令 cn

? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式 cn 及前 n 项和公式 Sn ;

(2)求数列 {an } 的通项公式,并由此求 a3 和 b3 的值以及数列 {an } 的前 n 项公式 Tn

20.(本小题满分 14 分)已知点 P (1 , 3) ,圆 C:

( x ? m) 2 ? y 2 ?

9 3 2 ,过点 A(1 , ? ),F 2 2

点为抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,直线 PF 与圆相切.
(1)求 m 的值与抛物线的方程; (2)设点 B (2,5) ,点 Q 为抛物线上的一个动点,求 BP ? BQ 的取值范围.

??? ??? ? ?

第 5 页 共 11 页

21. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)若 b

f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0. 2

? 2且h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;
f (x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、

(2)设函数

C2 于点 M、N,是否存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行?如果存在,请求出 R 的横坐 标,如果不存在,请说明理由.

第 6 页 共 11 页

2011 届五月月考数学(文科)试题参考答案(三模)
1—5 BBCDA 11. 1 12. 6—10 ACDBC

k ? 8 (或 k ? 9 )

13. 2

14. 3

15. ( 2,

3? ). 4

16.解: (1) f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 2(sin x ?

? 2 2 ? cos x ? ) ? 2sin( x ? ) ---3 分 4 2 2

∴函数的最小正周期为 2? ,值域为 { y | ?2 ? y ? 2} 。---------------------5 分 (2)解法 1:依题意得: 2sin(? ? ∵

?

?
4

?? ?

3? . 4

∴0 ?? ?

?
4

?

?

6 ? 3 ) ? , sin(? ? ) ? , ---------------------------6 分 4 5 4 5 2 ,

∴ cos(? ?

?

? 3 4 ) = 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? ----------8 分 4 4 5 5
? ?

f ( ? ? ) = 2sin[(? ? ) ? ] 4 4 4
∵ sin[(? ?

?

?

? ? ? ? ? 2 3 4 7 2 ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin = ( ? )? 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10
7 2 ------------------------------12 分 5

∴ f(

?
4

??) =

解法 2:依题意得: sin(? ? ∵

?

3 3 2 ) ? , 得 sin ? ? cos ? ? ----①--------7 分 4 5 5

?
4

?? ?

3? . 4

∴0 ?? ?

?
4

?

?
2

,

∴ cos(? ?

?

? 3 4 ) = 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? --------------9 分 4 4 5 5
)= 4 4 2 得 sin ? ? cos ? ? -------②--------10 分 5 5

由 cos(? ?

?
4

①+②得 2sin ? ?

? 7 2 7 2 ,∴ f ( ? ? ) = -------------12 分 4 5 5

解法 3:由 sin(? ?

?
4

)?

3 3 2 得 sin ? ? cos ? ? , -----7 分 5 5

第 7 页 共 11 页

两边平方得 1 ? sin 2? ?

18 7 , sin 2? ? ,----------9 分 25 25

3? ? 3? 7 ? ? 0 知 ? 2? ? ? . ∴ ? 2? ? 由 sin 2? ? 4 4 2 2 25 2 24 2 ∴ cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? ------------11 分 25 1 ? cos 2? 49 2 2 ? 由 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ,得 sin ? ? 2 50


?

?? ?

∴ sin ? ?

? 7 2 7 2 ∴ f ( ??) = .-------12 分 4 10 5

17.解:(1)由题意知第 1, 2 组的频数分别为: 100 ? 0.01? 5 ? 5 , 100 ? 0.07 ? 5 ? 35 .故第 3, 4, 5 组 的频数之和为: 100 ? 5 ? 35 ? 60 ,从而可得其频数依次为 30,20,10 ,其频率依次为 0.3,0.2,0.1 ,其 频率分布直方图如右图. (2) 由第 3, 4, 5 组共 60 人,用分层抽样抽取 6 人. 故 第 3, 4, 5 组中应抽取的学生人数依次为:第 3
频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O 160 165 170 175 180 185 成绩

30 20 ? 6 ? 3人 ;第 4 组: ? 6 ? 2人 ;第 5 组: 60 60 10 ? 6 ? 1人 . 组: 60 (3)由(2)知共有 6 人(记为
A1, A2, A3, B1, B2, C )被抽出,其中第 4 组有 2 人
(记为 B1, B 2 ) .有题意可知:抽取两人作为一组共有

( A1, A2) , ( A1, A3) , ( A1, B1) , ( A1, B2) , ( A1, C ) , ( A2, A3) , ( A2, B1) , ( A2, B 2) , ( A2, C ) , ( A3, B1) , ( A3, B 2) , ( A3, C) , ( B1, B2) , ( B1, C ) , ( B2, C ) 共 15 种等可能的情况,而满足
题意的情况

( A1, B1) , ( A1, B2) , ( A2, B1) , ( A2, B 2) , ( A3, B1) ,
D

( A3, B 2) , ( B1, B2) , ( B1, C ) , ( B2, C ) 共 9 种,因此所求
事件的概率为

18. 解:(1)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC
A

9 3 ? . 15 5

M

4

E

2
C N
B

直观图

侧视图

第 8 页 共 11 页

2
2
俯视图

所以, AB ? 平面 ACDE ………………………2 分 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ?

1 1 (4 ? 2) ? 2 S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 …………4 分 3 3 2

(2)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD, 又 MN ? AE ?

1 CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形,? AN // EM …………6 分 2
所以, AN // 平面 CME ;…………10 分

? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME ,

(3)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM 又 EM ? 平面 BDE

? AN ? 平面 BCD ………………………12 分
? EM ? 平面 BCD

所以,平面 BDE ? 平面 BCD .………………………14 分

19. (1)解:由题设得 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 ) ? 2(n ≥ 2) ,即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) ·· 2 分 ·· ·· 易知 {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列, 通项公式为 cn ? 2n ? 1

Sn ?

(3 ? 2n ? 1)n ? n 2 ? 2n 2

(2)解:由题设得 an ? bn ?

1 (an ?1 ? bn ?1 )(n ≥ 2) ,令 dn ? an ? bn ,则 2

dn ?

1 1 1 d n ?1 (n ≥ 2) 易知 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列,通项公式为 d n ? n ?1 2 2 2

?an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 29 ? 由? 解得 an ? n ? n ? , ? a3 ? 1 2 2 8 ?an ? bn ? 2n ?1 ?
? b3 ? c3 ? a3 ? 7 ? 29 27 ? T ? a1 ? a2 ? ???an 8 8 n

1 n2 1 1 1 n ? ( ? 2 ? ??? 2 ) 1 ? 2 ? ???n) ? ? n ? ? n ? 1 ? ( ? 2 2 2 2 2 2
20. 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,

? 3 2? 9 得 (1 ? m) ? ? ? . ∴m=1. ?? 2 分 ? 2 ? ?2 ? ? ?
2

2

圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ?

9 . 2

当直线 PF 的斜率不存在时不合题意。???3 分 当直线 PF 的斜率存在时,设为 k,
第 9 页 共 11 页

则 PF1: y ? k ( x ? 1) ? 3 , ∵直线 PF 与圆 C 相切, ∴ 解得 k ? 1, 或k ? ?1 .

即 kx ? y ? k ? 3 ? 0 .
| k ? 0 ? k ? 3| k ?1
2

?

3 2 . 2

???????? 5 分

当 k= 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ?2 ,不合题意,舍去. 当 k= ?1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 4, ???????? 7 分

?

p ? 4 那么抛物线方程为 y 2 ? 16 x ????? 9 分 2


??? ? ??? ? (Ⅱ) BP ? (?1, ? 2) ,设 Q(x,y) B ? ( ? , ? ,Q x 2 ) y 5

??? ??? ? ? BP ? BQ ? ?( x ? 2) ? (?2)( y ? 5) ? ? x ? 2 y ? 12 .??????? 11 分

??

1 y2 ? 2 y ? 12 ? ? ( y ? 16) 2 ? 28 ? 28 16 16

??????? 12 分

??? ??? ? ? 所以 BP ? BQ 的取值范围为 ? ??, 28? .???????? 14 分
21.解: (1)b=2 时, h( x) ? ln x ? 则 h ( x) ?
'

1 2 ax ? 2 x 2

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? x x
'

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ( x) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax ? 2 x ? 1 ? 0有x ? 0 的解
2

①当 a>0 时, y ? ax ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, y ? ax ? 2 x ? 1>0 总有 x>0 有解;
2 2

②当 a<0 时, y ? ax ? 2 x ? 1为开口向下的抛物线,而 y ? ax ? 2 x ? 1>0 总有
2 2

x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 y ? ax ? 2 x ? 1=0 至少有一这正根,此时,-1<a<0
2

综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞) (2)证法一 设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),0 ? x1 ? x2 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 2

C1 点在 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? , x? x x1 ? x2 2
第 10 页 共 11 页

C2 点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

x ?x x? 1 2 2

?

a( x1 ? x2 ) ?b 2

假设 C1 点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b, 则 x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 x1 ? x2 2 2 2

x2 ? 1) x x2 x1 2(t ? 1) , t ? 1① .设 t ? 2 ,则 ln t ? ? ln ? x2 1? t x1 x1 1? x1 2(
2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ' (t ) ? ? 令 r (t ) ? ln t ? ? 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
因为 t>1 时, r ' (t ) ? 0 ,所以 r(t)在[1,+∞]上单调递增.故 r (t ) ? r (1) ? 0 则 ln t ?

2(t ? 1) .这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) .

? x1 ? 0 ,所以 (

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1) x1 x1 x1

令t ?

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1 ② x1

1 ?1 t 1 1 1 t ?1 1 因为 (ln t ? )' ? ? 2 ? 2 ,所以 t>1 时, (ln t ? )' ? 0 t t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+∞]上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ' (t ) ? 0 t t
令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则 r ' (t ) ? ln t ? 于是 r(t)在[1,+∞]上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1).这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处切线不平行. 即不存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行.

第 11 页 共 11 页


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图