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2010届高三一轮复习数学精品资料:5.2 平面向量的坐标表示及运算


§5.2

平面向量的坐标表示及运算

基础自测 1.已知平面向量 a=(1,1) b=(1,-1),则向量 1 a- 3 b 等于( ,b
2 2



A.(-2,-1) B. (-2,1) C. (-1,0) D. (-1,2) D 答案 2.(2008安徽理,3)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), 安徽理,3 ( 安徽理,3) AC =(1,3),则 BD 等于 ( ) A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4) 答案 B 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),则 c 等于 b c ( ) A. 1 a+ 3 b
2 2

B. D.


3 2

1 2

a- 3 b
2

C.



3 2

a- 1 b
2

a+ 1 b
2

答案

B
2

4.(2009 烟台模拟)已知向量 a=(8, 1 x ),b=(x,1),其中 x>0,若 (a-2b) //(2a+b), 烟台模拟 b 则 x 的值为 A.4 C.0 A 答案 ( B.8 D.2 )

5.( 2008 广东五校联考 ) 设 a= sin x, 3 ,b= 1 , 1 cos x ,且 a ∥b ,则锐角 x ( 广东五校联考) b b
4

3 2



为 A. π C. 答案
6

. B. π
π
3 4

D. B

5 π 12

例 1 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, e e e e e e 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的 e e e e e e

值. (1)证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, 证明 e e e e AC = AB + BC =4e1+e2 e e =- 1 (-8e1-2e2)=- 1 e e
2 2

CD =-8e1-2e2, e e

CD ,

∴ AC 与 CD 共线, 又∵ AC 与 CD 有公共点 C, ∴A、C、D 三点共线. (2)解 AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, 解 e e e e e e ∵A、C、D 三点共线, ∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 λ 使得 AC = λ
3 = 2λ 2 = λk
CD ,

即 3e1-2e2= λ (2e1-ke2),由平面向量的基本定理, e e e e 得 ,解之得 λ = 3 ,k= 4 .
2 3

例 2 已知点 A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2),求以 A、B、C 为顶点的平行四 边形的第四个顶点 D 的坐标. 解 设 D 的坐标为(x,y). (1)若是 ABCD,则由 AB = DC 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y), ∴
1 x = 1 , 2 y = 2

∴x=0,y=-4.

∴D 点的坐标为(0,-4) (如图中的 D1). (2)若是 ADBC,则由 AD = CB 得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2) , 即(x-1,y)=(1,4).解得 x=2,y=4. ∴D 点坐标为(2,4) (如图中的 D2). (3)若是 ABDC,则由 AB = CD 得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0) (如图中的 D3). 综上所述,以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0, -4)或(2,4)或(-2,0). 例 3 (12 分)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问 b c 题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; a c b a (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. d c a b d c 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a) a c b a , 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分 c b a ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 4分

∴k=- 16 . 6 分
13

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), d c 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, d c a b d c
4(x 4 ) 2( y 1) = 0 , ∴ (x 4)2 + ( y 1)2 = 1

8分

5 x = 4 + 5 解得 2 5 y = 1+ 5

5 x = 4 5 或 2 5 y = 1 5


.

10 分

∴d= 20 + d




5 5+2 5 或 , 5 5

d= 20

5 52 5 . , 5 5

12 分

1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, c AN =d,试用 c,d 表示 AB , AD d d 解 方法一 设 AB =a, AD =b, a b 则 a= AN + NB =d+ 1 b d
2

b= AM + MD =c+ 1 a c
2 1 c + a 2 2

将②代入①得 a=d+ 1 d
a=

4 d 3

- 2 c,代入②
3
2 3

得 b=c+ 1 4 d 2 c = c
3

4 c- 2 d 3 3

即 AB = 4 d- 2 c, AD = 4 c- 2 d
3 3 3 3

方法二 设 AB =a, AD =b. a b 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 所以 BN = 1 b, DM = 1 a,
2 2 1 c = b + 2 a 因而 d = a + 1 b 2
a = b =

2 ( 2 d c) 3 , 2 ( 2c d ) 3 2 (2c-d). c d 3

即 AB = 2 (2d-c), d c
3

AD =

2.已知 A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4)且 CM =3 CA , CN =2 CB ,求点 M、N

及 MN 的坐标. 、B(3,-1) 、C(-3,-4) , 解 ∵A(-2,4) ∴ CA =(1,8) CB =(6,3) , , ∴ CM =3 CA =(3,24) CN =2 CB =(12,6). , 设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) , ∴
x + 3 = 3 x = 0 ,∴ , y + 4 = 24 y = 20

∴M 点的坐标为(0,20). 同理可求得 N 点坐标为(9,2) ,因此 MN =(9,-18) , 故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)(9,2) 、 , MN 的坐标为(9,-18). 3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)(3,-1)(1,2) 、 、 ,并且 AE = 1
BF

3

AC



=1

3

BC .

求证: EF ∥ AB . 、 ,则依题意,得 AC =(2, 证明 设 E、F 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , 2) BC =(-2,3) ,
AB =(4,-1).

∴ AE = 1 AC = ( 2 , 2 ), BF = 1 BC = ( 2 ,1)
3 3 3 3 3

∴ AE = ( x1 , y 1 ) (1,0) = ( 2 , 2 ),
3 3 2 BF = ( x 2 , y 2 ) (3,1) = ( ,1). 3

∴ ( x 1 , y 1 ) = ( 2 , 2 ) + (1,0) = ( 1 , 2 ),
3 3 3 3 2 7 ( x 2 , y 2 ) = ( ,1) + (3,1) = ( ,0), 3 3

∴ EF = ( x , y
2

2

8 2 ) ( x1 , y1 ) = ( , ), 3 3

又∵ AB = (4,1) , 4× ( 2 ) (1) × 8 = 0 ,∴ EF ∥ AB .
3 3

一、选择题 1.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 m 等于 ( b a b b
n



A.- 1

2

B.2

C. 1

2

D.-2

答案 A 2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知 AB =2a+pb, BC =a+b, CD =a-2b.若 A、 b a b a b a b B、D 三点共线,则 p 的值为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 答案 D 3.已知向量 OM =(3,-2), ON =(-5,-1),则 1 A.(8,1) C.(4,- 1 )
2 2

MN

等于





B.(-8,1) D. (-4, 1 )
2

答案 D 4. 2009 ( 武汉武昌区调研测试) AB=2, AC=1, ∠BAC=120°. 武汉武昌区调研测试 已知 O 是△ABC 的外心, 设 AB =a, AC =b,若 AO = λ a+ λ b,则 λ + λ 的值为 a b
1 2 1 2



) D. 1
2

A. 23
16

B. 13
16

C. 13
6

答案 答案 C 5.(2008辽宁文,5)已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2) 辽宁文, 、B(-1,-2) 、C(3, ( 辽宁文 ) 1) ,且 BC =2 AD ,则顶点 D 的坐标为( A.(2, 7 )
2

B.(2, 1 )
2

C.(3,2) 答案 A

D.(1,3)

, , 6.设 0≤ θ <2 π ,已知两个向量 OP1 =(cos θ ,sin θ ) OP2 =(2+sin θ ,2-cos θ ) 则向量 P1 P2 长度的最大值是 A.
2

.
3

B.

C. 3

2



D. 2

3



答案 C 二、填空题 7. 2008 全国Ⅱ 13) 若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7) ( 全国Ⅱ文, ) 13 设向量 a=(1,2),b=(2,3), b b 共线,则 λ = . 答案 2 8.(2008菏泽模拟)已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a>0,b>0), 菏泽模拟) ( 菏泽模拟 n m n 则 ab 的最小值是 . 答案 16 三、解答题 9.已知 A(-2,4) ,B(3,-1) ,C(-3,-4). 设 AB =a, BC =b, CA =c,且 CM =3c, CN =-2b, a b c c b (1)求:3a+b-3c; a b c (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. b c

解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). b c (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) a b c =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n) , b c ∴
6m + n = 5 m = 1 ,解得 . 3m + 8n = 5 n = 1
1 2 1

10.若 a,b 为非零向量且 a∥b, λ , λ ∈R,且 λ R b b 求证: λ a+ λ b 与 λ a- λ b 为共线向量. 求证:
1 2 1 2

λ2 ≠0. 0

证明 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). b ∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数 m,使得 a=mb, a b b 0 a 0 b 即 a=(x1,y1)=(mx2,my2), ∴ λ a+ λ b=((m λ + λ )x2,(m λ + λ )y2)
1 2 1 2 1 2

=(m λ + λ )(x2,y2)
1 2

同理 λ a- λ b=(m λ - λ )(x2,y2),
1 2 1 2

∴( λ a+ λ b)∥( λ a- λ b)∥b, b
1 2 1 2

而 b≠0,∴( λ a+ λ b)∥( λ a- λ b). 0
1 2 1 2

11.在 ABCD 中,A(1,1) AB =(6,0) , ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 AD =(3,5) ,求点 C 的坐标; (2)当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. 解 (1)设点 C 坐标为(x0,y0), 又 AC = AD + AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5) , ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)由三角形相似,不难得出 PC =2 MP 设 P(x,y) ,则 BP = AP - AB =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),
AC

= AM + MC = 1
AB +3( AP -

2

AB +3 MP
1 AB ) 2

=1

2

=3 AP - AB =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3) , ∵| AB |=| AD |,∴ ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∴ AC ⊥ BP ,即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0. (x-7) (3x-9)+(y-1) (3y-3)=0,

∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). 2 2 ∴(x-5) +(y-1) =4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y=1 的两个交点. 12.A(2,3),B(5,4),C(7,10), AP = AB + λ AC .当 λ 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 到两坐标轴的距离相等? , , 解 (1)由已知 AB =(3,1) AC =(5,7) 则 AB + λ
AC

2

2

=(3,1)+ λ (5,7)=(3+5 λ ,1+7 λ ).
x = 5 + 5λ y = 4 + 7λ

设 P(x,y) ,则 AP =(x-2,y-3) , ∴
x 2 = 3 + 5λ y 3 = 1 + 7λ

,∴

.

∵点 P 在第一、三象限的角平分线上, ∴x=y,即 5+5 λ =4+7 λ ,∴ λ = 1 .
2

(2)若点 P 到两坐标轴的距离相等, 则|x|=|y|,即|5+5 λ |=|4+7 λ |,∴ λ = 1 或 λ =- 3 .
2 4


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