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湖南省新田一中高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点1课件 新人教A版必修1


方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
y

.
-1

2

.
-1 -2

.y
2

. . . 1 .
2

y

.

1

.
x
-1

5

0

1

2

.3

x
-1

1

0

3 2 1

.

4

.
1

.
2

.

-3 -4

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

探究 活动
从上面的表格,你能发现方程的根与函数 图象与X轴的交点具有什么样的关系吗? 方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐 标。

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
思考:零点是点吗?

注意: 零点指的是一个实数; 等价关系: 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

求零点的方法
? (1) 解方程:令f(x)=0,解x。 ? (2)图像法:作y=f(x)的图像,看图像 与x轴的交点的横坐标。

练习
求下列函数的零点: x (1)f ( x) ? ln x (2)f ( x) ? e ?1 3 3 (3) ( 4 ) f ( x) ? x ? 4x f ( x) ? ? x ? 3x ? 5
解:(1)1;(2)0;(3)—2、0、2

动一动手
如图所示,用几条连续不断的函数图象 连接A、B两点。

﹒B
L

﹒ A

y

y

﹒B
O a

﹒B
X

b
y

L

O

a

b

X

L

﹒ A
O

﹒ A


a b

B
X

L

﹒A

思考:通过对图象的观察,分析函数在
区间端点上的函数值的符号情况,与函 数零点是否存在着一定的关系呢?

f (a) ? f (b) ? 0
是否只要满足f (a) ? f (b) ? 0 ,就一定存在零点 呢?

1 f ( x) ? x

有 f (a) ? f (b) ? 0 ,但在区间 (a,b)内无零点。

a

b

函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就 是方程f(x)=0的根。

想一想
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续, 且有f(a)· f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内 是否有零点?
y

f ( x) ? x

2

a

O

b

X

(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且有 f(a)· f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个 零点吗?
y y

﹒B
O a b X


L
O
a

B
X

b

L

﹒ A

﹒A

(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且在 区间(a,b)内有零点时,一定有f(a)· f(b)<0吗?
y

f ( x) ? x

2

a

O

b

X

注意:
(1)只有同时满足上述两个条件,才能 说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。 (2)定理不可逆。

例1、判断函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 是否存在 零点? 例2、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的 个数?
3

想一想
函数y=f(x)在什么条件下,在区间(a,b) 内只有一个零点?

结论
函数y=f(x)在区间(a,b)内单调时,函数 在这个区间内有且只有一个零点。

2(2) f(x)=2x · ln(x-2)-3 2(2)解:作出函数的图象如下: 因为f(3)=-3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x-2)-3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x · ln(x-2)-3是(2,+∞)上的增函数, 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
y
2 1 0
-1

. .
2 3 4 5

1

x

-2 -3

. .

2(3) f(x)=ex-1+4x-4 2(3)解:作出函数的图象如下: 因为f(0)≈-3.63<0,f(1) =1>0,所以f(x)= ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex-1+4x-4是(-∞ , +∞)上的增函数,所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
y
2 1
-2 -1

.
.
1 2 3 4

0
-1 -2 -3

x

.
-4

.

2(4) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 2(4)解:作出函数的图象如下: 因为f(-4)=-4<0,f(- 3)=15>0, f(-2)=-2<0,f(2)=-70<0, f(3)=3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x - 3)(x+4)+x 在区间 (-4,-3 )、 (-3,-2,)、 (2,3 )上各有 y 一个零点。 40
-5

. -2 -4 . -3 .

20

-1 0 -20 -40

. .
3

1

2

4

5

x

.

.

.

-60 . . -80 .

知识回顾
1.什么叫函数的零点? 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函 数y=f(x)的零点 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法? 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

3.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的条 件是什么? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0.
4.在上述条件下,函数y=f(x)在区间(a,b) 内是否只有一个零点?

练习题

1.

2.

3.

4.

提高练习
1 (1)已知函数 f(x) ? ax ? bx ? c ,若 ac<0,则函数f(x)的零点个数有( C ) A. 0 B. 1 C.2 D.不确定
2

(2)已知函数 f(x) ? ax ? b 有一个零点为2, 则函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) D A.0和2
1 B.2和 ? 2

C.0和

1 2

1 D.0和 ? 2

(3)函数 是 ( B )

2 f ( x) ? ln x ? 的零点所在的大致区间 x
A.(1,2) C.(3,4)
2

B.(2,3) D.(4,5)

2. 已知函数 f ( x ) ? 2ax ? x ? 1 在区间[0,1] 内有且只有一个零点,求实数a的取值范围. a>1
3. 已知

f (x) ? 2(m ? 1)x ? 4mx ? 2m ? 1
2

如果函数f(x)有两个零点,求m的取值范围;

{m|m<-1或-1<m≤1}

思维提高
1.设m为常数,讨论函数 2 f (x) ? x ? 4 x ? 5 ? m 的零点个数. 分析:方程f(x)=g(x)的根与函数f(x), g(x)的图象有什么关系?

2.若函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? m 在 区间(-1,1)内有零点,求实数m的取值范围.
2

小结
函数零点的定义 求零点的方法 函数的零点存在的判定定理


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