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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(31)等比数列


课时作业(三十一) [第 31 讲 等比数列] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.下列四个结论中,正确的个数是( ) ①等比数列{an}的公比 q>0 且 q≠1,则{an}是递增数列; ②等差数列不是递增数列就是递减数列; ③{an}是递增数列,{bn}是递减数列,则{an-bn}是递增数列; ④{an}是递增的等差数列,则{2an}是递增的等比数列. A.1 B.2 C.3 D.4 2. 等比数列{an}中,若 a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5 等于( ) A.27 B.27 或-27 C.81 D.81 或-81 3. 已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·7=4a2,a2=2,则 a1=( a ) 4 2 A.1 B. 2 C.2 D. 2 1 1 4. 各项都为正数的等比数列{an}中,a1 =1,a2+a3 =27 + ,则通项公式 an = a2 a3 ________. 能力提升 5. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 a2 9 6.在等比数列{an}中,若 a2a3a6a9a10=32,则 的值为( ) a12 A.4 B.2 C.-2 D.-4 7.已知数列{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数 ?1? 列?a ?的前 5 项和为( ) ? n? 15 1 31 1 A. 或 B. 或 8 5 16 5 31 15 C. D. 16 8 8. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( ) A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1 9.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为{an}的前 n 项和, S3-S2 则 的值为( ) S5-S3 A.2 B.3 1 C. D.4 5 10. 在△ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 1 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则 tanC=________. 3 11.设项数为 10 的等比数列的中间两项与 2x2+9x+6=0 的两根相等,则数列的各项 相乘的积为________. 12. 在等比数列{an}中,an>0,且 a1·2· a7·8=16,则 a4+a5 的最小值为________. a ?· a 13. 已知 a,b,c 是递减的等差数列,若将其中两个数的位置对换,得到一个等比数 a2+c2 列,则 2 的值为________. b 14.(10 分) 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.

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13 15.(13 分) 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= . 3 (1)求数列{an}的通项公式; π (2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x= 处取得最大值,且最大值为 a3,求函数 6 f(x)的解析式.

难点突破 1 1 1 16.(12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且 , , 成等比 a1 a2 a4 数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较 + +?+ 与 的大小. a2 a22 a2n a1

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课时作业(三十一) 【基础热身】 1.B [解析] 对于①,不一定为递增数列,还可能为递减数列;对于②,常数列也是 等差数列; 对于③,按照函数的单调性考虑,知结论正确; 对于④,依据指数函数的性质知, 结论正确.故选 B. 2.B [解析] a3+a4=q2(a1+a2)=q2=9,所以 q=± 3,所以 a4+a5=q(a3+a4)=± 27, 故选 B. 3.A [解析] 设{an}的公比为 q,则有 a1q2·1q6=4a2q6,解得 q=2(舍去 q=-2),所 a 1 以由 a2=a1q=2,得 a1=1.故选 A. - 4.3n 1 [解析] 由已知等式可得 a2a3=27,设等比数列的公比为 q,则有 a2q3=27,所 1 - 以 q=3,通项公式为 an=3n 1. 【能力提升】 5.B [解析] 将已知两等式相减得 3a3=a4-a3,即 a4=4a3,所以公比 q=4.故选 B. 5 6.B [解析] 设公比为 q,由 a2a3a6a9a10=32 得 a6=32,所以 a6=2, 2 3 2 a9 ?a6q ? 所以 = =a6=2.故选 B. a12 a6q6 9?1-q3? 1-q6 ?1? 7.C [解析] 由题意可知 q≠1, = ,解得 q=2,数列?a ?是以 1 为首项, ? n? 1-q 1-q 1 31 以 为公比的等比数列,由求和公式可得其前 5 项和为 .因此选 C. 2 16 8.A [解析] 由 an+1=3Sn? Sn+1-Sn=3Sn? Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是首项为 1,公 - 比为 4 的等比数列,所以 Sn=4n 1,所以 a6=S6-S5=45-44=3×44,所以选择 A. 9.A [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则有(a1+2d)2=a1(a1+3d),得 a1=-4d, S3-S2 a1+2d -2d a3 所以 = = = =2.故选 A. S5-S3 a4+a5 2a1+7d -8d+7d

?-4+4tanA=4, ? ? ?tanA=2, 10.1 [解析] 由已知,有?1 3 解得? ?tanB=3, ? ?3tan B=9, ?
tanA+tanB ∴tanC=-tan(A+B)=- =1. 1-tanAtanB 11.243 [解析] 设此数列为{an},由题设 a5a6=3,从而 a1a2?a9a10=(a5a6)5=35=243. 12.2 2 [解析] 由已知得(a4a5)4=16,因为 an>0,所以 a4a5=2,所以 a4+a5≥2 a4a5 =2 2. ? ? ? ?a+c=2b, ?a+c=2b, ?a+c=2b, 13.20 [解析] 依题得①? 2 或②? 2 或③? 2 ?b =ac, ?a =bc, ?c =ab. ? ? ? 由①得 a=b=c,与“a,b,c 是递减的等差数列”矛盾; 由②消去 c 整理得(a-b)(a+2b)=0,a>b, a2+c2 因此有 a=-2b,c=4b, 2 =20; b a2+c2 由③消去 a 整理得(c-b)(c+2b)=0,又 b>c,因此有 a=4b,c=-2b, 2 =20. b 14.[解答] 设{an}的公比为 q,由题设得 ?a1q=6, ?
? 2 ? ?6a1+a1q =30. ? ? ?a1=3, ?a1=2, 解得? 或? ? ? ?q=2, ?q=3. - 当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1); n-1 当 a1=2,q=3 时,an=2×3 ,Sn=3n-1.

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15.[解答] (1)由 q=3,S3=

3 13 a1?1-3 ? 13 得 = , 3 3 1-3

1 1 - - 解得 a1= .所以 an= ×3n 1=3n 2. 3 3 - (2)由(1)可知 an=3n 2,所以 a3=3. 因为函数 f(x)的最大值为 3,所以 A=3; π 因为当 x= 时 f(x)取得最大值, 6 π 所以 sin?2×6+φ?=1. ? ? π 又 0<φ<π,故 φ= . 6 π 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=3sin?2x+6?. ? ? 【难点突破】 1 1 1 16.[解答] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知?a ?2= · , ? 2? a1 a4 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2. 因为 d≠0,所以 d=a1=a, 故通项公式 an=na. 1 1 1 (2)记 Tn= + +?+ .因为 a2n=2na, a2 a22 a2n 1 1? 1-?2?n? ? ? ? 1? ?1?n? 2? 1 1 1 1 1 所以 Tn= ?2+22+?+2n?= · = ?1-?2? ?. ? a a? 1 a 1- 2 1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ,当 a<0 时,Tn> . a1 a1

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