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天津市南开中学高二数学必修5导学案:3.4.1基本不等式


一、相关复习 复习:重要不等式:对于任意实数 a , b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当且仅当________时, 等号成立. 二、新课导学 ◆ 学习探究



结论:一般的,如果 a, b ? R ,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab 当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗? 特别的,如果 a ? 0 , b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ? 探究: 在右图中,AB 是 AC=a,BC=b. 过点 C 你能利用这个图形得 吗?
a?b (a>0,b>0) 2

圆的直径,点 C 是 AB 上的一点, 作垂直于 AB 的弦 DE, 连接 AD、 BD. 出基本不等式 ab ?
a?b 的几何解释 2

结论:基本不等式 ab ? 评述: 1.如果把

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

a?b 看作是正数 a 、 b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项, 2

那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称
a?b 为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、 b 的几何平均数. 2

本节定理还 可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ◆ 典型例题 例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为 多少时,所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少?

(2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各 为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?

例 2. (1)求函数

y ? x?

2 ? x ? 0?的最小值。 x

(2)求函数 y ? x(2 ? x) (0<x<2)的最大值。

结论:已知 x,y 都是正数, (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有

2 P;
1 2 S . 4

◆ 动手试试 练 1 1. 已知 x ? 0,若 x+
81 的值最小,则 x 为( x

).

A. 81

B. 9

C. 3

D.16

0 ? b ?1且 a ? b , 2 ab 、 a 2 ? b2 中最大的一个是 2 ab 、 2. 若 0 ? a ? 1 , 则a ?b、 ( 2 2 A. a ? b B. 2 ab C. 2 ab D. a ? b

) .

3. 若实数 a,b,满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是( A.18 B.6 C. 2 3 D. 3 2

).

4.已知 x≠0,当 x=_____时,x2+

81 的值最小,最小值是________. x2

5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为 ________时,用纸最少.

三、学习小结 (1)重要不等式 a2+b2≥2ab;两正数 a、b 的算术平均数( ( ab )及它们的关系(
a?b ) ,几何平均数 2

a?b ≥ ab )它们成立的条件不同 2 (2)利用均值不等式求最值需满足三条件: 一正二定三相等.


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