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高考数学数列与极限专项训练


高考数学数列与极限专项训练(02)
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 2 , a3 ? a4 ? 50 ,则公比 q 的值为 A.25 A.5 B.5 B. 15 C.-5 C.20 D.±5 ( D.25 ) 2.已知等差数列 {an } 中, a6 ? a3 ? a8 ? 5 ,则 a 9 的值是 ( )

3 .给定正数 p, q, a, b, c, 其中 p ? q , 若 p, a, q 成等比数列 , p, b, c, q 成等差数列 , 则一元二次方程 bx 2 ? 2ax ? c ? 0 ( ) A.无实数根 C.有两个同号的相异的实数根 B.有两个相等的实数根 D.有两个异号的相异的实数根

4.等差数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数 ,则下列各数中也是常数的是 ( ) A. S 6 B. S11 C. S12 D. S13

a5
第1个 第2个 第3个

a2

a6

a1 a3

a7

a4

a8

5.设数列 {an } 为等差数列,且 a4 2 ? 2a4 a7 ? a6 a8 ? 2004, 则a5 a6 等于 A.501 A.38 A.1:2 B.±501 B.20 B.2:3 C. 2004
2 m

( D.± 2004



6.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 m ? 1 ,且 am?1 ? am?1 ? a ? 0, S2 m?1 ? 38 ,则 m 等于( C.10 C.3:4 D.9 ( D.1:3 ) 7.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S6 : S3 ? 1: 2 ,则 S9 : S3 ?



8.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄,若年利 率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2008 年将所有的存款及 利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 ( ) A. a(1 ? p)7 C.
a p [(1 ? p ) 7 ? (1 ? p )]

B. a(1 ? p)8 D.
a p?

??1 ? p ?8 ? ?1 ? p ? ? ?
( n ? 0)

1 9 .已知 f ? x? ? bx? 1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常量,且 g ? n ? ? ? ?

an ? g ? n ? ? g ? n ? 1?? n ? N? ? ,则数列 {a n } 为

? f [ g (n ? 1)], (n ? 1)

, 设

( D.递减数列 ( D.不存在



A.等差数列

B.等比数列
a ?b
n n n ??

C.递增数列 的值为 C.0

10.已知 log a 2 ? log b 2 ? 0 ,则 lim A.1 B.-1

a n ? bn



11.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车, 若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数 4 5 据 1.1 =1.46 1.1 =1.61) ( ) A.10% B.16.4%
2 x ? 3 f ( x) x ?3
x ?3

C.16.8% 的值为 C.0

D.20% ( D.不存在 )

12.已知 f (3) ? 2, f ?(3) ? ?2, 则lim A.-4 B.8

二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 13.已知等比数列 {an } 及等差数列 {bn } ,其中 b1 ? 0 ,公差 d ? 0 .将这两个数列的对应项相加,得一 新数列 1,1,2,?,则这个新数列的前 10 项之和为 . 14.设数列 {an } 满足 a1 ? 6, a2 ? 4, a3 ? 3 ,且数列 {an ?1 ? an } (n ? N ? ) 是等差数列,求数列 {an } 的通项公 式 . 15.设 f ? x ? ? 为

?1? ,利用课本中推导等差数列前 n 项和方法,求 f ? ? ? ? 11 ? 4x ? 2 .
4x

f?

?2? ???? f ? 11 ?

? 10 ? ? ? 的值 ? 11 ?

16. (文)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色地面砖
?1? ? 3? n

块.

(理)已知 an ? 2 ? ? ? ,把数列 {an } 的各项排成三角形状; 记 A ( m, n) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A (10,8) ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 17. (本小题满分 12 分)已知一个数列 {an } 的各项是 1 或 3.首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2 k ? 1 个 3,即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,?.记数列的前 n 项的和为 S n . (1)试问第 2004 个 1 为该数列的第几项?(2)求 a2004 ; (3) S 2004 ; (4)是否存在正整数 m ,使得 S m ? 2004 ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由.

18. (本小题满分 12 分)如图,曲线 y 2 ? x( y ? 0) 上的点 Pi 与 x 轴的正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成 一系列正三角形△ OPQ , △ Q1 P2Q2 , ?△ Qn ?1 Pn Qn ?设正三角形 Qn ?1 Pn Qn 的边长为 an , n ? N ? (记 1 1
Q0 为 O ), Qn ? Sn , 0 ? .

y P1 . O Q
1

(1)求 a1 的值;(2)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (3)求证:当 n ? 2 时, 有
1 a
2 n

P2

P3

?

1 a
2 n ?1

?

1 a
2 n?2

?

?

1 a
2 2n

?

3 2

Q2

x

19. (本小题满分 12 分)假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末 加 1000 元; (Ⅱ)每半年 结束时加 300 元。请你选择。 .... ... (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种?

20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项的“均倒数”为 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? (3) (理)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 数 n ,都有 f ( x) ? 0 。
n

1 2n ? 1



an 2n ? 1 an

,试判断并说明 cn ?1 ? cn ? n ? N ? 的符号;

2n ? 1

,是否存在最大的实数 ? ,当 x ? ? 时,对于一切自然

(文)已知 bn ? t a ? t ? 0 ? ,数列 {bn } 的前 n 项为 S n ,求 lim
n ??

S n ?1 Sn

的值。

21. (本小题满分 12 分)若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数

nan ? ?2(n ? 1) , Tn ? 3Sn ? 4n .
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线 l n 的斜率为 bn .且与曲线 y ? x2 有且仅一个交点,与 y 轴交于

1 Dn ,记 dn ? | Dn?1Dn | ?(2n ? 7) 求 dn ; 3 2 2 d ? dn (n ? N )求证 : lim( x1 ? x2 ? (Ⅲ)若 xn ? n ?1 n ?? 2d n ?1d n

? xn ? n) ? 1.

22. (本小题满分 14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1, 且点 P ? an , an ?1 ?? n ? N ? ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? (3)设 bn ?
1 an
1 n ? a1 ? 2 n ? a2 ? 3 n ? a3 ? ? n n ? an

? n ? N , 且n ? 2 ? , 求函数 f (n) 的最小值;

, S n 表示数列 {bn } 的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ? n ? ,使得

S1 ? S2 ? S3 ?

? Sn ?1 ? ? Sn ? 1? ? g ? n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出

g ? n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

参 考 答 案( 二 ) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) : (1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示(9)B
n ? 1, an ? b ? g ? n ? 1? ? 1 ? g ? n ? 1? ? ? b ? 1? ? g ? n ? 1? ? 1 ? ? b ? 1? ?b ? g ? n ? 2 ? ? 1? ? 1 ? b ? b ? 1? g ? n ? 2 ? ? b ? b ? b ? 1? ?b ? g ? n ? 3? ? 1? ? b ? b 2 ? b ? 1? g ? n ? 3? ? b 2 ? ?? ? b n ?1 ? b ? 1? ? g ? 0 ? ? b n ?1 ? b n ?1 ? b ? 1 ? 1? ? b n

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13). 978; (14). an ?

n 2 ? 7n ? 18 2

1 * (n∈N ) ;(15).5;(16).(文) 4n ? 2 (理) 2 ? ( )89 3

?a1 ? 0?1, ? a1 ?1, ? ? ? 提示 13.设 {an } 的公比为 q,由题知: ?a1q ? d ?1, 解得 ? q ? 2, 则 an ? 2 n ?1 , bn ? 1 ? n .这个新数列的前 10 项之和 ? d ??1. ? 2 ? ?a1q ? 2 d ? 2, ? 1?210 10[0?( ?9)] 为 ( a1 ? b1 ) ? ( a2 ? b2 ) ? ? ( a10 ? b10 ) ? (a1 ? a2 ? ? a10 )?(b1?b2 ? ?b10 )? ? ?978 1?2 2

14. 由已知 a2 ? a1 ? ?2, a3 ? a2 ? ?1, ? 1 ? (?2) ? 1 ∴ an ?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 3

n ≥2 时, an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? a n ? 2 ) ?
2

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

= ( n ? 4) ? ( n ? 5) ? 15. f ? x ?? f ?1? x ??

? ( ?1) ? ( ?2) ? 6 =

n ? 7n ? 18 2

n ? 1也合适 ∴ an ?

n 2 ? 7n ? 18 2

(n ? N ? )

4x 41? x 4x ? ? 1 ? ? 10 ? ? ?1? ?2? ? 10 ? ? ? ?2?1 ? 设 Sn ? f ? ?? f ? ?? ? ? f ? ??10? f ? ?? f ? ? ? ?10 ? S n ? 5 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ? 4 x ?2 41? x ?2 4 x ?2 ? ? 11 ? ? 11 ? ?

三、解答题(共 74 分,按步骤得分) 17. 解:将第 k 个 1 与第 k ? 1 个 1 前的 3 记为第 k 对,即(1,3)为第 1 对,共 1+1=2 项; (1,3,3,3)为第 2 对 , 共 1+ ( 2 × 2-1 ) =4 项 ; (1, 3 , 3 , 3 ,
共2k ? 1 个 3

k ? 1? ) k2 项 ; ? . 故 前 k 对 共 有 项 数 为 ,为 3 )第 k 对 , 共 1 ? ( 2

2? 4? 6?

????2 分 (Ⅰ)第 2004 个 1 所在的项为前 2003 对所在全部项的后 1 项,即为 2003(2003+1)+1=4014013(项) .?4 分 (Ⅱ)因 44×45=1980,45×46=2070,故第 2004 项在第 45 对内,从而 a2004 ? 3 .?7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,前 2004 项中共有 45 个 1,其余 1959 个数均为 3,于是 S 2004 =45+3×1959=5922.?9 分 (Ⅳ)前 k 对所在全部项的和为 Sk ( k ?1) ? k ? 3[k (k ? 1) ? k ] ? 3k 2 ? k .

?2 k

?k ( k ?1 ) .

S 651 =1901, S 25 ( 25 ?1) =3×25 +25=1900, S 26 ( 26 ?1) =3×26 +26=2054, 易得, 且自第 652 项到第 702 项均为 3,而 2004-1901=103

2

2

不能被 3 整除,故不存在 m ,使 S m =2004.????12 分
3 2 1 ?1 3 ? 2 18. 解 (1)由条件可得 P ? a1, a1 ? 1? ? ,代入曲线 y ? x( y ? 0) 得 a1 ? a1 , 2 2 4 2 ? ? a1 ? 0, ? a1 ? 2 3

;??5 分

3 2 1 1 3 2 Sn ?a1? a2 ? ? an ∴点 Pn?1( Sn ? an?1, an?1) 代入曲线 y ? x( y ? 0) 并整理得 Sn ? an ? an?1 , 4 ?1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 1 3 ? an ?1)?( an ? an ) 即 ( an?1? an )? ( an?1? an )?( an?1?an ) 于是当 n?2,n?N * 时, an ? Sn ? Sn ?1?( an 4 ?1 2 4 2 2 4 2 * an?1?an ?0,?an?1?an ? ( n?2,n?N ) ????10 分 3 3 2 1 4 2 2 2 ? a2 ,?a2 ? ( ? 舍去) ?a2 ? a1? ,故 an?1?an ? ( n?N * ) 又当 n?1时, S1? a2 4 2 3 3 3 3 2 2 2 所以数列{ an }是首项为 、公差为 的等差数列, an ? n ;????12 分 3 3 3 19.解:设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1000 元,则 an=1000n; 设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每半年加薪 300 元,则 bn=300n; (1)在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10=a1+a2+??+a10=55000 元。 方案 2 共加薪 T20=b1+b2+??+b20=20×300+ 20?(20?1) ?300 =63000 元;??6 分

(2)

2

(2)设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为:

Sn=a1+a2+??+an=1000×n+ n( n ?1) ?1000 =500n +500n
2

2

T2n=b1+b2+??+b2n=2n×300+ 2n?(2n ?1) ?300 =600n +300n
2

2

????10 分

令 T2n≥Sn 即:600n +300n>500n +500n,解得:n≥2,当 n=2 时等号成立。 ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当然选择第一方案?12 分 20. 解:(1) a1 ? a2 ? ? an ?1 ? an ? n? 2n ?1? , a1 ? a2 ? ? an ?1 ?( n ?1)? 2n ?1? 两式相减,得 an ? 4 n ?1? n? 2 ? , a1 ?3,?an ? 4n ?1? n?N ?
a (2) cn ? n ? 4n?1?2? 3 ,cn?1?2? 3 , cn?1?cn ? 3 ? 3 ?0,即cn?1?cn .????8 分 2n?1 2n?1 2n?1 2n?3
2n?1 2n?3

2

2

a (3)(理)由(2)知 c1?1 是数列 ?cn ? 中的最小项,∵ x?? 时,对于一切自然数 n ,都有 f ( x)?0 ,即 ? x2 ? 4 x ? n ?cn , 2 n ?1

∴ ? x2 ? 4 x ?c1 ?1 ,即 x 2 ? 4 x ?1? 0 ,解之,得 x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3 , ∴取 ? ? 2 ? 3 。

??12 分 ;

4n ? 4 4 S S ?t (文) bn ?t 4n ?1, Sn ?t 3 ?t 7 ? ?t 4 n ?1 , ? t ?0? 当 t ?1 时, Sn ?n , lim n ?1 ?1 ;当 t ?1 时, lim n ?1 ? lim 1?t n ?? S n n ?? Sn n ?? 1?t 4 n

?1,? 0?t ?1? S S 当 0?t ?1 时, lim n ?1 ?1 。综上得, lim n?1 ?? ??????12 分 ? n ?? S n n?? Sn ?t 4 ,? t ?1? ?
d ??2 Sn ?? n2 ?3n ?Tn ?3Sn ? 4 n ??3n2 ?5n ??2 分 21.解: (I) an ??2( n ?1) ?a1 ? 4 当 n?2时,bn ?Tn ?Tn?1??6n?2 ? bn ??6n?2. ??4 分

当 n?1时,T 1?b 1??3?5??8

(II)设 l n

: y?bnx?m.

由? ?

? y ?bn x ?m 得x2 ?bn x ?m?0 由于仅有一个公共点. ? y ? x2 ?

2 2 2 ? 4m ? 0. ? m ? ? bn ? ? (6n ? 2) ? ? (3n ? 1) 2 ? l : y ? ( ?6 n ? 2) x ? (3n ? 1) 2 . ? ? ? bn 6分 n 4 4 令x ?0得y ??(3n ?1)2 ?Dn (0,?3( n ?1)2 ) Dn ?1(0, ?3( n ? 4) 2 )?1| Dn Dn ?1|? 1[(3n ? 4) 2 ?(3n?1) 2 ]?6 n?5 3 3 ? d n ? 1 | Dn Dn ?1 | ?(2n ? 7) ? 4n ? 2 8分 3

(III) xn ?

2 ?d 2 2 dn ?1 n ? ( dn?1 ?dn ) ?1? 2 ?1?1?( 1 ? 1 ) ?10 2dndn ?1 2dndn ?1 (2n ?1)(2n ?1) 2n ?1 2n ?1


? xn ? n ) ? 1. 12分

? x1 ? x2 ?

? xn ? n ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? 3 3 5

? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? lim ( x1 ? x2 ? 2n?1 2n?1 2n?1 n??

22. (本小题满分 14 分)

解:() 1 点P( a a )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即a ? a ? 1, 且a ? 1 n, n?1 n?1 n 1

? 数列?an? 是以1为首项, 1为公差的等差数列.

? a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n(n ? 2), a ? 1也满足 ? a ? n. ??????3 分 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) f ( n)? ? ? ? , f ( n?1)? ? ? ? ? ? ? , n?1 n? 2 2n n? 2 n?3 n?4 2n 2n?1 2 n?2 1 1 1 1 1 1 ? f ( n?1)? f ( n)? ? ? ? ? ? ?0, ?6 分 2n?1 2n? 2 n?1 2n?2 2 n?2 n?1 7 ? f ( n)是单调递增的,故f ( n)的最小值是f (2)? ?12 分 12
1 1 1 1 1 (3) bn ? ?Sn ?1? ? ? ? ,?Sn ?Sn?1? ( n?2), 即nSn ?( n?1) Sn?1?Sn?1?1,?( n?1) Sn?1?( n?2) Sn?2 ?Sn?2 ?1, ,S2 ?S1?S1?1, n 2 3 n n

?nSn ? S1? S1? S2 ? ? Sn?1? n?1,?S1? S2 ? ? Sn?1?nSn ?n?( Sn ?1)?n ( n?2)?g ( n )?n. ??13 分 故存在关于 n 的整式 g ( n)?n,使等式对于一切不小于2 的自然数n 恒成立 ??14 分


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