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3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示


3.2.2 平面的法向量与 平面的向量表示
中国人民大学附属中学

? 已知平面α,如果向量 n的基线与平面α ? 垂直,则向量 叫做平面α的法向量或说 n ? 向量 与平面α正交。 n
由平面法向量的定义可知,平面α的一个 法向量垂直于与平面共面的所有向量。 由于同时垂直于同一平面的两条直线平 行,可以推知,一个平面的所有法向量互 相平行。 由平面法向量的性质,很容易通过向量 运算证明直线与平面垂直的判定定理。

直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂 直,那么这条直线垂直于这个平面。 已知: a、b是平面α内 的两条相交直线,且 直线n⊥a,n⊥b, 求证:n⊥α.
?

n b c a

l

n n b b m a m a

?

证明: m 是平面 α 内任意一条直线, n, b, 设 在 a,

? ? ? ?? m 上分别取非零向量 n, a, b, m ,
因为 a 与 b 相交,由共面向量定理可知,存在

?? ? ? 惟一的数对(x,y),使 m ? xa ? yb , ? ?? ? ? ? ? n ? m ? xn ? a ? yn ? b ,由已知 ? ? ? ? ? ?? n ? a ? 0, n ? b ? 0 ,所以 n ? m ? 0 ,即 n⊥m.
因为直线 n 垂直于平面 α 内的任一直线, 所以 直线 n 垂直于平面 α.

现在我们来研究问题:

? 设 A 是空间任一点, n 为空间任一非零向量, ???? ? ? 问适合条件 AM ? n ? 0 ① 的点 M 的集合构成
什么样的图形? 容易看出,如果任取两点 M1,M2(M1,M2 和 A

????? ? ????? ? ? 三点不共线),且 AM 1 ? n ? 0, AM 2 ? n ? 0 , n ? M1 则 n ⊥平面 AM1M2.
?
M M2 A

由直线与平面垂直的判定定理,就可以 推知,在平面AM1M2内的任一点M都满足 条件①式, 又知满足条件①的所有点M都在平面 AM1M2内。 这就说明,我们可以用①式表述通过空 间内一点并且与一个向量垂直的平面。① 式通常称为一个平面的向量表示式。

?? ?? ? 设 n1 , n2 分别是平面 α,β 的法向量,则容易 ?? ?? ? 得到 α//β 或 α 与 β 重合 ? n1 / / n2 , ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 。
于是我们就可以利用向量的平行或垂直的条 件,来讨论平面的平行或垂直。

例1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根 据下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? ( ?2,?4,4) (3)u ? ( 2,?3,5), v ? (?3,1,?4)
垂直 平行

相交

例2、设平面α的法向量为(1, 2, -2),平面β
的法向量为(-2, -4, k), 若α//β,则k= 若α⊥β, 则 k= 4 ;

-5 。

练 习 1、已知l//α,且l的方向向量为(2, m, 1), 1 平面α的法向量为(1, , 2), 则m= -8 . 2
2、已知l⊥α,且l的方向向量为(2, 1, m), 1 平面α的法向量为(1, , 2), 则m= 4 . 2

例3.已知点A(a,0,0),B(0,b,0),
C(0,0,c),其中abc≠0,如图,求平面

ABC的一个法向量。
z C n

? n =(bc,ac,ab)

O B x

y

例4.已知:AB,AC分别是平面α的垂线 和斜线,BC是AC在α内的射影,l ? α且 l⊥BC,求证:l⊥AC. 三垂线定理
A

B

l C

v

?

? ? ? ??? ? 证明:取向量 v / / l ,则 v / /? ,且 v ? BC , ? 因为 AB⊥α,l ? α,所以 v ? AB , ???? ??? ??? ? ? 又因为 AC ? AB ? BC , ???? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? 所以 AC ? v ? ( AB ? BC ) ? v ? AB ? v ? BC ? v ? 0 , ? ???? A 因此 v ? AC ,所以 l⊥AC.
B l C v

?

三垂线定理: 如果在平面内的一条直线与平面的一条 斜线在这个平面内的射影垂直,则它和这 条斜线垂直。 类似地可以证明 三垂线定理的逆定理: 如果平面内的一条直线和这个平面的一 条斜线垂直,则它和这条斜线在平面内的 射影垂直。

1.已知平面α内有一个点M(1, -1, 2),

? 平面α的一个法向量是 n=(6,-3, 6),
则下列点P中在平面α内的是( A)

A.P(2, 3, 3)
C.P(-4, 4, 0)

B.P(-2, 0, 1)
D.P(3,-3, 4)

2.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1, 则侧棱与底面所成的角为( C ) A.75° C.45° B.60° D.30°

3.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底
面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO= OD,则直线BC与平面PAC所成的角是

30° __________.

4. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB =BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的正弦值为( D ) 6 2 5 15 10 A. B. C. D. 3 5 5 5

5 . 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ACB ? 90 ,
0

?BAC ? 30 , BC ? 1, A1 A ? 6 , M 是 CC1 的中点。
0

求证: A1 B ? AM

6.如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面 互相垂直,点 M , N 分别在对角线 BD, AE 上,且

1 1 BM ? BD, AN ? AE ,求证: MN // 平面 CDE 3 3
F z E

N A B x M C D y

证明:建立如图所示空间坐标系,设 AB, AD, AF 长分别为 3a, 3b, 3c

NM ? NA ? AB ? BM ? (2a,0,?c)
又平面 CDE 的一个法向量 AD ? (0,3b,0) 由 NM ? AD ? 0 , 得到 NM ? AD 因为 MN 不在平面 CDE 内, 所以 NM//平面 CDE.

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别

是BB1, CD中点,求证:D1F⊥平面ADE.

证明:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz,

1 DA ? (1,0,0) , DE ? (1,1, , ) , 2

1 因为 D1 F ? (0, ,?1) 2
所以 D1 F ? DA ? 0, D1 F ? DE ? 0 ,

D1 F ? DA ,

D1 F ? DE

DE ? DA ? D ,所以 D1 F ? 平面 ADE

8.如图,在底面是菱形的四棱锥P—AB CD 中, ∠ABC=60°,PA=AC=a, PB=PD= 2 a, 点 E在PD上, 且PE:ED= 2: 1. 在棱PC上是否存 在一点F, 使BF∥平面AEC ? 证明你的结论。


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