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山东省山师附中2013-2014学年高二下学期期中考试 理科数学 Word版含答案


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注意事项:
1.第Ⅰ卷共 10 小题. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不涂在答题纸上,只答在试卷上不得分.

一、选择题(10 个题,每题 5 分,共 50 分)
1.抛物线 y ? ?

1 2 x 的准线方程为 8 B. y ? 2 C. y ? 1 32 D. y ? ?2

A. x ?

1 32

2. 设 f ? x ? ? sin x ? cos x ,则 f ? x ? 在 x ?

?
4

处的导数 f ' ?

?? ? ?? ?4?

A

2

B

? 2

C 0

D

2 2

3.已知双曲线 C : A. y ? ?
2

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点重合,则 p ? 4.抛物线 y ? ?2 px? p ? 0? 的焦点恰好与椭圆 9 5
A.1 B.2 C.4 D.8

5.双曲线的焦点为 ?0,6?, ?0 ? 6? ,且经过点 A?? 5,6? ,则其标准方程为

A.

x2 y2 ? ?1 16 20

B.

y2 x2 ? ?1 16 20

C.

y2 x2 ? ?1 20 16

D.

y2 x2 ? ?1 45 9

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6. 已知正三棱锥 S ? ABC 的所有棱长均为 2 ,则侧面与底面所成二面角的余弦为 A.
2 2 3

B. -

2 2 3

C.

1 3

D. -

1 3

0 7.平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长均为 1 , ?BAD ? ?BAA 1 ? ?DAA 1 ? 60

则对角线 AC1 的长为 A

2

B

6

C 3

D

2 3

8 已知 A ?1,0,3 ? , B ?1, 2,1? , C ? 0,2,1? ,三角形 ABC 的面积为 A

1

B

2

C

2 2

D

4

9.函数 y ? A. e ?1

ln x 的最大值为 x
B. e C. e 2 D.

10 3 3 10.直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为

A.2

B.-1

C.1

D.-2

第 II 卷(共 80 分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共 11 道题.其中 11~15 题为填空题,16~21 题为解答题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,在试 卷上答题不得分.

二、填空题(5 个题,每题 5 分,共 25 分)
11.计算

? ?x
3 0

2

? e x ?dx ? __________________,

12.若函数 y ? x ln x ? ax2 有两个极值点,则实数 a 的范围是_____________. 13. .已知空间直角坐标系中, O(0, 0, 0) , A(1, 0, 1) , B(1, 1, 0) , C (0, 1, 1) ,则四面体

O ? ABC 的体积为_______________.
14.双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 过正六边形的四个顶点,焦点恰好是另外两个顶点, a 2 b2

则双曲线的离心率为

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线,切点为 T ,延长 FT 交双 15. 从双曲线 9 16
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曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点, O 为坐标原点, 则 MO ? MT =

三、解答题(6 个题,满分 55 分)
16(本题满分 8 分)直线 y ? x ? m 与曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 交于 A, B 两点,若 ?AOB 的 面积为 1,求直线 AB 的方程.

17(本小题满分 8 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

2a 2 ? x ? a ? 0 ? .若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x

x ? 2 y ? 0 垂直,
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

18(本小题满分 9 分)
2 x 设函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? 1 e

?

?

(1)求函数 f ? x ? 的极大值和极小值 (2)直线 y ? m 与函数 f ? x ? 的图像有三个交点,求 m 的范围

19(本题满分 10 分)过抛物线 y 2 ? 4 x 的顶点作射线 OA, OB 与抛物线交于 A, B , 若 OA ? OB ? 2 ,求证:直线 AB 过定点

20.(本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ,

?ABC ? 60? , E 、 F 分别是 PB, CD 的中点.
(I)证明: PB ? 面AEF (II)求二面角 A ? PE ? F 的大小.
E

P

A F B C

D

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21(本小题满分 10 分)

x2 y2 过椭圆 ? ? 1 的焦点 F1 , F2 分别作互相垂直的直线 l1 , l2 , 3 2
(1)直线 l1 , l2 交于 P?x0 , y0 ? ,求证:
2 x0 y2 ? 0 ?1 3 2

(2)若直线 l1 , l2 分别与椭圆交于 A, C和B, D ,(i)求证: (ii)求四边形 ABCD 面积的最小值

1 1 ? ? 定值 | AC | | BD |

高二期中考试(理科数学) 参考答案
一选择题(50 分,每题 5 分) 2 3 题号 1 答案 B A C 4 C 5 B 6 C 7 B 8 B 9 A 10 C

二、填空题(25 分,每题 5 分)
3 11. 10 ? e

12. ? 0, ?

? ?

1? 2?

13.

1 3

14.

3 ?1

15. 1

三 、解答题(55 分=8 分+8 分+9 分+10 分+10 分+10 分) 16 解 : 由 ?

? y ? x?m ? 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ---------------2 分 2 2 ?x ? 4 y ? 4

1 ? k 2 ? 4 2 5 ? m2 ------------------------------------4 分 | AB |? ? a 5
O 到直线的距离: d ?

|m| ---------------------------------------------5 分 2

1 4 2 5 ? m2 | m | 2 | m | 5 ? m 2 S?AOB ? ? ? ? ?1 2 5 5 2
4m 4 ? 20m 2 ? 25 ? 0 ? m 2 ? 5 10 ,所以 m ? ? ------------------7 分 2 2
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所求直线 AB 方程为: y ? x ?

10 -------------------------------------- 8 分 2

a 2a 2 17 解: (1) f ' ? x ? ? ? 2 ? 1 --------------------------------2 分 x x

f ' ?1? ? ?2 ? 2a2 ? a ? 3 ? 0 ,因为 a ? 0 ,所以 a ?
(2) f ' ? x ? ?

3 -------------------4 分 2

3 9 2 x 2 ? 3x ? 9 ? 2 x ? 3?? x ? 3? ? 2 ?1 ? ? -------------5 分 2x 2x 2 x2 2 x2

? 3? ?3 ? x ? ? 0, ? , f ' ? x ? ? 0; x ? ? , ?? ? , f ' ? x ? ? 0 -------------------------------7 分 ? 2? ?2 ? ? 3? ?3 ? f ? x ?的减区间为 ? 0, ?,增区间为 ? , +? ? --------------------------------8 分 ? 2? ?2 ?
2 x x 18 解: (1) f ' ? x ? ? x ? x ? 2 e ? ? x ? 1?? x ? 2 ? e ------------------2 分

?

?

x
f '? x? f ? x?

? ??, ?1?
+

?1
0 极大

? ?1, 2?
-

2
0 极小

? 2, ???
+

--------------------------------------4 分

5 f ? x ?极大 =f ? ?1? ? , f ? x ?极小 ? ?e 2 ,---------------------------------------6 分 e
(2) 当x ? 0, f ? x ? ? 0,x ? ??, f ? x ? ? 0; x ? ??, f ? x ? ? ??

5 当0 ? m ? 时,直线与y ? f ? x ?的图像有三个交点 --------------------------9 分 e
19.解 : 设 直线AB的方程:y ? kx ? m , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? m ky 2 ? y ? ? m ,即 : ky 2 ? 4 y ? 4m ? 0 --------------2 分 ? 2 4 ? y ? 4x
4 4m , y1 y2 ? -----(1)---------------------------------------3 分 k k y ? m y2 ? m OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? ? y1 y2 ? 2 k k y1 ? y2 ?
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2 2 2 即: 1 ? k y1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? ? m ? 2k ? 0 ---------(2)------------5 分

?

?

将(1)代入(2) m2 ? 4km ? 2k 2 ? 0 ----------------------------------7 分

m ? 2? 6 k
直线 AB 的方程: y ? k x ? 2 ? 6 , y ? k x ? 2 ? 6 ---------------9 分 所以直线 AB 过定点 M 2 ? 6, 0 , N 2 ? 6, 0 ----------------------------10 分 20.解: (I)证明:因为 PA? AB, E是PB的中点 ,? PB ? AE

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

(1)

ABCD是菱形,?ABC ? 600 ,??ABC , ?ACD是等边三角形 -------1 分
F是CD的中点, ? AF ? CD

AB / /CD,? AF ? AB -------------------------------------------2 分
PA ? 面ABCD, ? PA ? AF
AF PA ? A,? AF ? 面PAB ------------------------------------3 分

PB ? 面PAB,? AF ? PB

(2) ---------------------------------4 分

由(1) (2)知: PB ? 面AEF ----------------------------5 分 (II)由(I)知, ?AEF 是二面角A-PE-F的平面角 -------7 分 设 AB ? a,? AE ?

2 3 a, AF ? a ------------------9 分 2 2 6 ,二面角 A ? PE ? F 的大小为 2
----------------------1

在 Rt ?AEF中, tan ?AEF ?

arctan

6 10 或 arccos 2 5

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解法二 证明:
P

ABCD是菱形,?ABC ? 600
??ABC , ?ACD是等边三角形 F是CD的中点, ? AF ? CD


E A F B C D

AB / /CD,? AF ? AB -------------------------------------------1 分
PA ? 面ABCD, ? PA ? AF , PA ? AB -----------------------------2 分

建系{ AB, AF , AP},设AB=2
则 B ? 2, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , F 0, 3, 0 , E ? 1, 0,1?

?

?

BP ? ? ?2,0, 2 ? , AE ? ?1,0,1? , AF ? 0, 3,0 -----------------3 分

?

?

? BP ? AE ----------------------------4 分 ?? ? BP ? AF BP ? AF ? 0 ? 0 ? 0 ? 0
BP ? AE ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0
? BP ? 面AEF
-----------------------------------------------5 分

(2)平面 APE 的法向量 AF ? 0, 3, 0 ------------------6 分 设平面 PEF 的法向量 n ? ? x , y, z ? , EF ? ?1, 3, ?1

?

?

?

?

? ? n ? EP ? ? x ? z ? 0 ? ? ? n ? EF ? ? x ? 3 y ? z ? 0

, n?

?
?

3, 2, 3 ----------------8 分

?

设二面角 A ? EP ? F 的大小为 ? 则 cos ? ?| cos ? n, AF ?|?

2 3 3 ? 10

10 5
10 -------------10 分 5

二面角 A ? EP ? F 的大小为 ? ? arccos

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21 解: (1)由

x2 y 2 ? ? 1, 得:F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? , 3 2
D C P

由 PF1 ? PF2 得, PF1 ? PF2 ? 0
2 2 x0 ? y0 ? 1 ------------------------------1 分
A O

F'

F

2 x0 y2 2 2 ? 0 ? x0 ? y0 ? 1 ---------------------2 分 3 2

B

(2)设 l1 : y ? k ? x ?1? , l 2 : y ? ?

1 ? x ? 1? k

? y ? k ? x ? 1? ? ? 2 ? 3k 2 ? x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ------------3 分 ? 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6

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