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2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)4:平面向量)


2013 年高考解析分类汇编 4:平面向量
一、选择题 1 . ( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 3 ) )







??? ? A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为(
A. ? ,【答案】A

) D. ? ? , ?

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

? 4 3? ? 5 5?

??? ? ??? ? AB ? (3, ?4) , 所 以 | AB ? | 5, 这 样 同 方 向 的 单 位 向 量 是
? 1 ??? 3 4 AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5
??? ? 2 . (2013 年高考湖北卷(文) )已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在

???? CD 方向上的投影为
3 2 2 【答案】A

( B.
3 15 2



A.

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为 AB ? (2,1), CD ? (5,5) , 所以 AB ? CD ? (2,1) ? (5,5) ? 15 , CD ? 5 ? 5 ? 5 2 。所以向量 AB 在 CD 方向上的
2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD 15 3 2 投影为 AB cos ? AB, CD ?? ??? ,选 A. ? ? ? 2 5 2 CD
3 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 3 ) )









m ? ? ? ?1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则? = (
A. ? 4
【答案】B

) D. -1

B. ? 3

C. -2

(m ? n) ? (m ? n) ? (2? ? 3,3) ? (?1,?1) ? ?(2? ? 6) ? 0 ,所以 ? ? ?3 ,
故选 B.
4 . (2013 年高考湖南(文 8) )已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|

的最大值为____ A. 2 ? 1 【答案】C

____ B. 2



) D. 2 ? 2

C. 2 ? 1

【命题立意】本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 ,不妨让 a, b 固定,设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1,即 c 的终点在以 u 对应点为圆
心,半径为 1 的圆上。则当 c 与 u 方向相同时, c

?

?

?

max

? 2 ? 1 ,选 C.

5 . (2013 年高考广东卷(文 10) )设 a 是已知的平面向量且 a

?

?

? ? ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如

下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1
【答案】B

?
?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?





B.2

C.3

D.4

本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形 法则. 利用向量加法的三角形法则, 易的①是对的; 利用平面向量的基本定理, 易的②是对的; 以 a 的终点作长度为

? 的圆,这个圆必须和向量 ? b 有交点,这个不一定能满足,③

是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须

?b ? ?c =? +? ? a

,所以④是假命题.综上,本题选 B. ( )

6 . (2013 年高考陕西卷(文 2) )已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于

A. ? 2
【答案】C

B. 2

C. ? 2 或 2

D.0

因为 a ? (1, m), b ? (m, 2), 且a / /b, 所以 1? 2 ? m ? m ? m ? ? 2. ,所以选 C
7 . (2013 年高考辽宁卷(文 9) )已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a

?

?

?

?

3

? . 若 ? ABC 为直角

三角形,则必有 ( A. b ? a
3

) B. b ? a ?
3

1 a
3

C. b ? a ? b ? a ?
3 3

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ?0 a

【答案】C

若 A 为直角,则根据 A、B 纵坐标相等,所以 b ? a3 ? 0 ;若 B 为直角,则
3 利用 KOB K AB ? ?1 得 b ? a ?

1 ? 0 ,所以选 C a

8 . (2013 年高考福建卷(文) )在四边形 ABCD 中, AC

? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形

的面积为( A. 5
【答案】C

) B. 2 5 C.5 D.10

本 题 考 查 的 是 向 量 垂 直 的 判 断 以 及 向 量 的 模 长 . 因 为

AC ? BD ? 1? (?4) ? 2 ? 2 ? 0 , 所 以 AC ? BC , 所 以 四 边 形 的 面 积 为
12 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 | AC | ? | BD | ? ? 5 ,故选 C 2 2
二、填空题 9 . (2013 年高考四川卷(文 12) )如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点

??? ? ???? ???? O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _____________.

【答案】2

AB ? AD ? AC ? 2 AO ,所以 ? ? 2 ,故填 2.
10. (2013 年高考天津卷(文 12) )在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 中点. 若 AC·
【答案】

1 2

??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? 因 为 E 为 CD 的 中 点 , 所 以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . 2 2 ? ? ? ? ? ???? ???? ??? ? A · ?1 C E AC ? AD ? AB 因 为 ,B 所 以

?

?

???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 2 1 ??? ? 2 1 ??? ? ???? AC· BE ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 2 2 2 ? 2 1 ??? ? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 ??? 1 ??? 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2





11 .( 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 14 )) OA 为 边 , OB 为 对 角 线 的 矩 形

中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数 k ? ____________.
【答案】4

??? ?

??? ?

本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算。在矩形中,

???? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O A? ( ?3, 1)O , B? ? ( 2 k,,)所 以 A B? O B ? O? A ( 2 ? , )k? ( ?3 , 1 ? )

为 (k 1, ? , 因1 )

? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? A B? O ,所以 A AB ? OA ? 0 ,即 ?3 ? k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 4 。
??? ? ??? ?

12( . 2013 年高考山东卷 (文 15) ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,

若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______
【答案】5

??? ? BA ? (?3, t ? 2)

,





?ABO ? 90o







??? ? ??? ? BA ? OB ? (?3, t ? 2) ? (2, 2) ? ?6 ? 2t ? 4 ? 0 ,故 t ? 5 。
13. (2013 年高考浙江卷(文 17) )设 e1.e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x.y∈R..若 e1.e2

的夹角为

x ? ,则 ? 的最大值等于_______. 6 b

【答案】2

?2 ?? ?? ? ?? ?? ? ? 3 2 2 2 2 e1 ? e2 ? cos ? , 所 以 b ? x ? y ? 2 xye1 ? e2 ? x ? y ? 3xy 。 所 以 6 2

x2 x2 1 ? ? ?2 x 2 ? y 2 ? 3xy y 3y b 1 ? ( )2 ? x x





t?

y x





1 ? t 2 ? 3t ? (t ?
x

1 3 2 1 1 x2 ? 4 ,即 ) ? ? ,所以 0 ? ? 2 的最大值为 2,所 2 4 4 1 ? t 2 ? 3t b

以 ? 的最大值为 2.

b

14. (2013 年高考安徽(文) )若非零向量 a, b 满足

? ?

? ? ? ? ? ? a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值

为_______.
【答案】 ?

1 3

等式平方得: a ? 9 b ? a ? 4 b ? 4a ? b 则 a ? a ? 4 b ? 4|a|?|b|cos? ,即 0 ? 4 b ? 4 ? 3|b|2cos? ,得 cos ? ? ?

?2

?2

?2

?2

? ?

?2

?2

?2

? ? ?

?2

?

1 3

15. (2013 年上海高考数学试题(文科 16) )已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点,

其余顶点为终点的向量分别为 a1 、a2 、a3 ;以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为

?? ?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? c1 、 c2 、 c3 . 若 i, j, k , l ??1,2,3? 且 i ? j, k ? l , 则 ai ? a j ? ck ? cl 的 最 小 值 是

?

??

?

________.
【答案】 ?5

根据对称性,

当向量 (ai ? a j )与(c k ? cl )互为相反向量,且它们 的模最大时

, (ai ? a j )( c k ? cl )最小。这时 ai ? AC , a j ? AD , c k ? CA, cl ? CB, (ai ? a j )( c k ? cl ) ? ? | ai ? a j ) | 2 ? ?5 。
16. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文 14) ) (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,

则 AE ? BD ? _______。 【答案】 2

??? ? ??? ?

???? 1 ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? A? D D, C BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 所 以 2 ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 。 2 2 2
在 正 方 形 中 , A E?

??? ?

17. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文 13) )已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,
?

若 b ? c ? 0 ,则 t ? _____. 【答案】2

o s 6 0 ? , 所 以 b ? c ? [ta ? (1 ? t )b] ? b ? 0 , 即 因 为 a? b ? a cb
?

?

?

?

?

? ? 2? t ? 1 ? t ? 0 ,解得 t ? 2 。 ,所以 t a ? b ? (1 ? ) t b? 0 2
18. (2013 年高考北京卷(文) )已知点 A(1, ?1) , B (3, 0) , C (2,1) .若平面区域 D 由所有满足

1 2

? ?

?

? ?

??? ? ??? ? ??? ? ( 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) 的点 P 组成,则 D 的面积为__________. AP ? ? AB ? ? AC
【答案】3

当 ? , ? 两个变量均发生变化时,可以先固定一个变量,让另外一个变量改变, 如分别令 ? ? 1,2 , ? 在[0,1]变化,令 ? ? 0,1 , ? 在[1,2]变化。可知 D 为一个平行四边

形 , 其 面 积 为 三 角 形 ABC 面 积 的 两 倍 。 AB : x ? 2 y ? 3 ? 0 , | AB |? 4 ? 1 ? 5 ,

d?

| 2?2?3| 5

?

3 5

,则面积为 3。


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