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甘肃省会宁县第一中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题


会宁一中 2016 届高三第四次月考 数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案写 在答题卡上,在本试卷上答题无效。 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是 ( ). A. k ? 2 B. ?1 ? k ? 2 C. k ? ?1 D. k ? ?1 2. 下列命题正确的是( ) 2 A.? x∈R,x +2x+1=0 B.? x∈R,- x+1≥0 * C.? x∈N ,log2x>0 D.? x∈R,cosx<2x-x2-3 3. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 图象对应的解析式为( ? A. y ? sin( 2 x ? ) ? 1 4 C. y ? 2 sin 2 x ) B. y ? 2 cos2 x D. y ? ? cos 2 x

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数 4

?x ? 0 ?y ? 0 ? 4.已知由不等式 ? 确定的平面区域 ? 的面积为 7,则 k 的值( ? y ? kx ? 2 ? ?y ? x ? 4 ? 0
A. ?2 B. ?1 C. ?3 D. 2 5.设 l , m , n 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ?. 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ; ③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n; ④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n, 且 n∥ ? ,则 l ∥m. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4



6 . 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , a3 ? 2 ?1, a5 ? 2 ? 1 , 则
2 a3 ? 2a2a6 ? a3a7 ? (

)

C.4 D. 8 ? 4 2 ? 3? 7. 下列各点中,能作为函数 y ? tan( x ? ) ( x ? R 且 x ? k? ? , k ? Z )的一 5 10 个对称中心的点是( ) ? 3? C . (? , 0) A . (0, 0) B . ( , 0) D . ( , 0) 5 10 A. 8 B.6

1 1 1 1 23 ?n ? 2? 的过程中,由 ? ? ?? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式左边( )

8. 用数学归纳法证明不等

A.增加了一项

1 2(k ? 1)

B.增加了一项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

C.增加了

1 1 1 ? ,又减少了 k ?1 2k ? 1 2(k ? 1)

D.增加了

1 2(k ? 1)

,又减少了

1 k ?1

9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0 ,+∞)(x1≠x2),有 f(x 2) - f(x1) ) ? 0 ,则( x 2 - x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 1 1 10. 已知 x>0,y>0, lg2x ? lg8y ? lg2 ,则 + 的最小值是( ) x 3y A.2 B.2 2 C.4 D.2 3

?g?x?,若f?x?≥g?x?, 11.已知 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=? 则 F(x)的最 ?f?x?,若f?x?<g?x?. 值是( ) B.最大值为 7-2 7,无最小值 D.既无最大值,又无最小值

A.最大值为 3,最小值-1 C.最大值为 3,无最小值

12.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正 奇数时 , m ※ n = m ? n ; 当 m, n 中一个为正偶数 , 另一个为正奇数时 , m ※ 则在此定义下,集合 M ? {(a, b) a ※ b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中的元素个数是 n = mn . ( ) A.10 个 B.18 个 C.16 个 D.15 个

第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相 应位置上.) 13.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦 值等于________________.

? cos 14.已知 f(n)

n? , 则 f(1)+f(2)+...+f(2014)+f(2015)=_______________. 2

15.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角三角形,侧视 图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是________.

16 .若定义在 R 上的偶函数 y = f ( x) 满足 f ( x ? 1) =

1 ,且当 x ∈(0,1] 时, f ( x)

?log3 x f ( x) = x ,函数 g ( x) = ? x +1 ?2
的零点的个数为 .

( x>0) (x ? 0)

,则函数 h( x) = f ( x) ? g ( x) 在区间[-4,4]内

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤.) 17.(满分 12 分)已知 p:x 2 - 8x - 20 ? 0, q:x 2 - 2x ? 1- a 2 ? 0 .若 p 是 q 的充分不 必要条件,求正实数 a 的取值范围. 18. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ? 求: (1) 函数 f ( x) 的最小正周期;
5 3 (其中 x ? R ), 2

(2) 函数 f ( x) 的单调区间;

(3) 函数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心.

19.(满分 12 分)在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列. (1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式; (2)若 的公差. 20. (满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 2 M是 AA1 的中点,N是 BC1 的中点 (Ⅰ)求证:MN∥平面 A1B1C1 ; ∠ACB=90°, ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 ,求数列{an}

(Ⅱ)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (Ⅲ)求二面角 B ? C1M ? A1 的平面角 的余弦值大小。 21、(满分 12 分)设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? ax 2 . (1) 当 x ? 1 时, f ( x) 取到极值,求 a 的值; 1 1 (2) 当 a 满足什么条件时, f ( x) 在区间[- ,- ]上有单调递增区间? 2 3 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交 圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC=3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 ? x ? 4 ? 5cos t , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴 ? y ? 5 ? 5sin t 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)< |a-1 |的解集非空,求实数 a 的取值范围.

会宁一中 2016 届高三第四次月考 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C B B A D C A 9.【解】若 x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, ∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1),又 f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), ∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 10.【解】依题意得 lg(2x ? 8y) ? lg2 ,所以 x+3y=1. 1 1 ?1 1 ? x 3y 所以 + =? + ?·(x+3y)=2+ + ≥2+2 x 3y x 3y ? 3y x ? x 3y 1 当 = ,即 x=3y= 时,等号成立.故选 C. 3y x 2 11【解】作出 F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值 不是 3,故选 B. x 3y · =2+2=4, 当且仅 3y x 10 C 11 B 12 D

12【解】由于两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正 奇数时 , m ※ n = m ? n ; 当 m, n 中一个为正偶数 , 另一个为正奇数时 , m ※
n = mn 所以 M ? {(a, b) a ※ b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中当 a , b 都为偶数时有(2,10),

(10,2), (4,8), (8,4), (6,6)共 5 个元素;当 a , b 都是奇数时有(1,11), (11,1),(3,9),(9,3),(5,7),(7,5);共有 6 个元素;当 a , b 为一奇
[

一偶时有(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).综上共有 15 个元素. 二、填空题 2 13.3 14.-1 15.2(1+ 3)π +4 2 16. 5 13. 【解】如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 C1O,过 C 作 CH⊥C1O 于点 H,

? AA ⊥BD ?? AC∩AA =A?
BD⊥AC
1 1

BD⊥面ACC1A1?

?? CH? 面ACC1A1?

? ?? BD∩OC =0?
BD⊥HC OC1⊥HC
1

CH⊥面 BDC1,∴∠HDC 为 CD 与面 BDC1 所成的角,
设 AA1=2AB=2,OC= 2 3 2 OC·CC1 2 ,CC1=2,OC1= ,CH= = ,∴sin∠HDC 2 2 OG 3

CH 2 = = . CD 3
14. 【 解 】 由 f ( n) ? cos
n? ? f (3) ? f ( 4) ? , 0知 的 周 期 为 4 , 且 f (1)? f ( 2) 2

f (1)? f ( 2) ? ? ? f (2010) ? f (2011) 为 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?1。故答案为: ?1 。

15. 【解】 此几何体是半个圆锥,直观图如图所示,先求出圆锥的侧面积 S 3=4 3π ,S 底=π ×22=4π , 圆锥侧=π rl=π ×2×2 1 S△SAB= ×4×2 2=4 2, 2 所以 S 表= 4 3π 4π + +4 2 2 2

=2(1+ 3)π +4 2. 三、解答题: 17.(满分 12 分) 【解】解不等式 x2-8x-20>0 得 p:A={x|x>10,或 x<-2}. 解不等式 x2-2x+1-a2>0 得 q:B={x|x>1+a,或 x<1-a,a>0}. 依题意,p? q 但 q? / p,说明 A ? B.

?a>0 于是,有?1+a≤10 ?1-a≥-2

,且等号不同时取得,解得 0<a≤3.

∴正实数 a 的取值范围是 0<a≤3. 18.(满分 12 分) 【解】(1) ? ;

(2)增区间: ? ?k? ?
?

?
12

, k? ?

5? 11? ? 5? ? ,减区间: ? ,其中 k ? Z; k? ? , k? ? ? ? 12 12 ? 12 ? ? ?

(3)对称轴方程: x ?

k? 5? ? , 2 12

对称中心: ? ?

k? ? ? ? , 0 ? ,其中 k ? Z。 ? 2 6 ?

19、(本题 12 分)【解】设等差数列{an}的公差为 d,由 a1,a4,a8 成等比数列 可得, ∴ .即 ,而 d≠0,∴a1=9d. , ,

(1)由数列{an}的前 10 项和为 45,得 即 90d+45d=45,故 d= ,a1=3, 故数列{an}的通项公式为 (2) 则数列{bn}的前 n 项和为 Tn= = 故数列{an}的公差 d=1 或 d=﹣1. 20.(本题满分 12 分) 【解】(1)如图所示, 取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D∴DN∥BB1∥AA1 1 1 又 DN= BB1 ? AA1 ? A1 M 2 2 ∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1 AD1 ? 平面 A1B1C1 ∴MN∥平面 A1 B1C1 ----------------------4 分 = , ;



(2)因三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90° ∴BC⊥平面 A1MC1,在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,故 C1H 为 C1 点到平面 BMC 的距离。在等腰三角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴ C1 H ? CC1 ? AC ? 4
CM 3 .--------------------------8 3



(3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H=
4 3 BC 3 ,∴tan∠BEC= ? 3 CE 2

2 7 .又二面角 B ? C1 M ? A 的平面角与∠BEC 互补, 7 2 7 --------------------12 分 所以二面角 B ? C1 M ? A 的余弦值为 ? 7 法 2:(1)同上。如图所示建系, ? (2) 可得, B(2,0,0), A(0,2,0), C1 (0,0,2 2) , M (0, 2, 2), ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 BMC

∴ cos∠BEC=

的法向量,C1 点到平面 BMC 的距离 h。
? 可 求 得 一 个 法 向 量 为 n ? (0,1, ? 2) ????? ? C1M ? n 4 3 h? ? ------------------------8 分 ? 3 n ??? ? (3)可知 CB ? (2,0,0) 是平面 C1 A1M



????? C1M ? (0, 2, ? 2) ,

?? 的法向量,设 m ? ( x1, y1, z1 ) 是

?? 平面 BMC1 的法向量,求得一个法向量 m ? (2,1, 2) ??? ? ?? CB ? m 2 7 设 ? 是为二面角 B ? C1M ? A1 的平面角,则 cos ? ? ??? ,又因为二面角 ? ?? ? 7 CB ? m

B ? C1M ? A1 的平面角是钝角,所以 cos ? ? ?

2 7 。-------------------12 分 7

21、(本题 12 分)【解】(1)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), 1 -2ax2-?2a+1?x 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x 由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0,得 a ? ? . 1 2 1 1 x - x x?x-1? 2 2 2 1 又当 a ? ? 时,f′(x)= = , 1+x 1+x 4 当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0, 所以 f(1)是函数 f(x)的极大值,所以 a ? ? ? .
1 4
1 4

?4 分

?6 分

1 1 (2)解法一:要使 f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间, 2 3 1 1 即要求 2ax+(2a+1)>0 在区间[- ,- ]上有解, 2 3 ①当 a=0 时,不等式恒成立; 2a+1 2a+1 1 ②当 a>0 时,得 x>- ,此时只要- <- , 解得 a>0; 2a 2a 3 2a+1 2a+1 1 ③当 a<0 时,得 x<- ,此时只要- >- ,解得-1<a<0. 2a 2a 2 综上所述, a ? (?1, ? ??) . ?12 分

1 1 解法二:要使 f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间, 2 3 1 1 即 ??ax 2 ? (2a ? 1) x ? 0 在区间[- ,- ]上有解 2 3 1 1 即要求 2ax+(2a+1)>0 在区间[- ,- ]上有解, 2 3 1 1 ? ?1 ? 即在区间[- ,- ]上, 2a ? ? ? 2 3 ? x ? 1 ? min 1 1 ?1 在区间[- ,- ]单调递增,所以 a ? ?1 2 3 x ?1 综上所述, a ? (?1, ? ??) . 而 22【解】(1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 3 所以 BG= . 2 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF, 3 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 . 2 ? x ? 4 ? 5cos t , 23【解】(1)将 ? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t 2 2 即 C1:x +y -8x-10y+16=0. ? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ? y ? ? sin ? 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ 2-8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. ? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? x ? 1, ? x ? 0, 由? 2 解得 ? 或? 2 y ? 1 x ? y ? 2 y ? 0 ? ? y ? 2. ? π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? . 4? ? 2? ? 24【解】(Ⅰ)原不等式等价于

1 3 3 ? ? ? 1 x?? , ?x ? , ?? ≤x≤ , 或? 或? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ,

解之得 ? x≤2或 ? ≤x≤ 或 ? 1≤x ? ? , 即 不 等 式 的 解 集 为

3 2

1 2

3 2

1 2

{x ? ≤x≤ | .????????????????????( 1 2 } 5 分)

(Ⅱ)? f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≥ (2x ? 1) ? (2x ? 3) ? 4 ,
? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .????????????????

(10 分)


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