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2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问 题 文 北师大版

1.(2015?课标全国Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三 角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 B.2 C. 3 D. 2 )

答案 D 解析 如图,设双曲线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|AB|=2a,由双曲线的对称性, 可设点 M(x1,y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1,0), ∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°, ∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin 60°= 3a,

x2 y 2 a b

x2 y2 x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60°=2a.将点 M(x1,y1)的坐标代入 2- 2=1,可得 a2=b2,∴e a b
= =

c a

a2+b2 = 2,选 D. a2

2.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP| =|OF|,且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为( )

A. + =1 25 5 C. + =1 30 10 答案 B

x2 x2

y2

B. D.

+ =1 36 16 + =1 45 25

x2 x2

y2 y2

y2

解析 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦距为 2c,右焦点为 F′,连接 PF′,如图

x2 y2 a b

1

所示,因为 F(-2 5,0)为 C 的左焦点,所以 c=2 5. 由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即 FP⊥PF′. 在 Rt△PFF′中,由勾股定理, 得|PF′|= |FF′| -|PF| = ?4 5? -4 =8. 由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12, 所以 a=6,a =36,于是 b =a -c =36-(2 5) =16,所以椭圆的方程为 + =1. 36 16
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

3.设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 9 3 B. 8 63 9 C. D. 32 4 )

2

答案 D 3 解析 由已知得焦点坐标为 F( ,0), 4 因此直线 AB 的方程为 y= 即 4x-4 3y-3=0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y -12 3y-9=0, 故|yA-yB|= ?yA+yB? -4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= ? ?6= . 2 2 4 4 21 9 2 方法二 联立方程得 x - x+ =0, 2 16 21 故 xA+xB= . 2 21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + 2 2 =12, 同时原点到直线 AB 的距离为 h= 1 9 因此 S△OAB= |AB|?h= . 2 4 3 = , 4 +?-4 3? 8
2 2 2 2

3 3 (x- ), 3 4

|-3|

2

4.(2016?北京)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的 直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 答案 2 解析 设 B 为双曲线的右焦点,如图所示. ∵四边形 OABC 为正方形且边长为 2, ∴c=|OB|=2 2, π 又∠AOB= , 4

x2 y2 a b

b π ∴ =tan =1,即 a=b. a 4
又 a +b =c =8,∴a=2.
2 2 2

5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭 a b 16 9 圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. 答案

x2 y2

x2

y2

x2 y2
4

- =1 3

解析 由题意,得双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为( 7,0),(- 7,0),c= 7且 双曲线的离心率为 2? 7 7 c 2 2 2 = = ? a=2,b =c -a =3, 4 2 a

x2 y2 a b

双曲线的方程为 - =1. 4 3

x2 y2

题型一 求圆锥曲线的标准方程

x2 y2 例 1 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A、 B 两点.若 a b AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(
A. + =1 45 36 C. + =1 27 18 )

x2 x2

y2 y2

B. D.

+ =1 36 27 + =1 18 9
3

x2 x2

y2

y2

答案 D 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),

x y ? ?a +b =1, 所以? x y ?a +b =1, ?
2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

运用点差法,

b2 所以直线 AB 的斜率为 k= 2, a
设直线方程为 y= 2(x-3), 联立直线与椭圆的方程, 得(a +b )x -6b x+9b -a =0, 所以 x1+x2=
2 2 2 2 2 2 2 4

b2 a

6b =2 , a +b2
2 2 2

2

又因为 a -b =9,解得 b =9,a =18. 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型, 主要利用圆锥曲线的定义、 几何性质, 解得标准方程中的参数,从而求得方程. (2015?天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 )的一个焦点为 F(2,0),且双曲 线的渐近线与圆(x-2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( A. - =1 9 13 C. -y =1 3 答案 D 解析 双曲线 2- 2=1 的一个焦点为 F(2,0), 则 a +b =4,① 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 由题意得 2b = 3,②
2 2 2 2

x2 y2 a b

)

x2 x2

y2
2

B.

- =1 13 9
2

x2

y2

D.x - =1 3

y2

x2 y2 a b

b a

a2+b2

联立①②解得 b= 3,a=1, 所求双曲线的方程为 x - =1,选 D. 3 题型二 圆锥曲线的几何性质
2

y2

4

例 2 (1)(2015?湖南)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离 心率为( A. 7 3 ) 5 D. 3
2

x2 y2 a b

5 4 B. C. 4 3

? ?x=2pt , (2)(2016?天津)设抛物线? ?y=2pt ?

(t 为参数,p>0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上

?7 ? 一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.设 C? p,0?,AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|,且△ACE ?2 ?
的面积为 3 2,则 p 的值为________. 答案 (1)D (2) 6

b 3b 解析 (1)由条件知 y=- x 过点(3,-4),∴ =4, a a
即 3b=4a,∴9b =16a ,∴9c -9a =16a , 5 2 2 ∴25a =9c ,∴e= .故选 D. 3
? ?x=2pt , (2)由? ?y=2pt ?
2 2 2 2 2 2

(p>0)消去 t 可得抛物线方程为 y =2px(p>0),

2

? ? ∴F? ,0?, ?2 ?
p
3 |AB|=|AF|= p, 2 可得 A(p, 2p). |AE| |AB| 1 易知△AEB∽△FEC,∴ = = , |FE| |FC| 2 1 1 1 故 S△ACE= S△ACF= ?3p? 2p? 3 3 2 = 2 2 p =3 2, 2
2

∴p =6,∵p>0,∴p= 6.

思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常 考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系.掌握一些常

5

用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与抛物线 y =2px(p>0)有相同的焦点 F,P,Q 是椭圆 与抛物线的交点,若 PQ 经过焦点 F,则椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为____________. 答案 2-1

x2 y2 a b

2

x2 y2 a b

? ? 2 解析 因为抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 为? ,0?,设椭圆另一焦点为 E. 2 ? ?
p
当 x= 时,代入抛物线方程得 2

p

y=±p,

? ? 又因为 PQ 经过焦点 F,所以 P? ,p?且 PF⊥OF. ?2 ?
p
所以|PE|= ? + ? +p = 2p, 2 2

p p

2

2

|PF|=p,|EF|=p. 故 2a= 2c 2p+p,2c=p,e= = 2-1. 2a

题型三 最值、范围问题 例 3 若直线 l:y= 条渐近线平行. (1)求双曲线的方程; (2)若过点 B(0,b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M,N,MN 的垂直平分 线为 m,求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围. 解 (1)由题意,可得 c=2, = 所以 a =3b ,且 a +b =c =4, 解得 a= 3,b=1. 故双曲线的方程为 -y =1. 3 (2)由(1)知 B(0,1),依题意可设过点 B 的直线方程为
2 2 2 2 2

3x 2 3 x y - 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一 3 3 a b

2

2

b a

3 , 3

x2

2

y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
6

y=kx+1, ? ? 2 由?x 2 -y =1, ? ?3

得(1-3k )x -6kx-6=0,

2

2

6k 所以 x1+x2= 2, 1-3k
2 2 2 2 2 Δ =36k +24(1-3k )=12(2-3k )>0? 0<k < , 3

1 2 2 且 1-3k ≠0? k ≠ . 3 设 MN 的中点为 Q(x0,y0), 则 x0=

x1+x2
2



3k 1 2,y0=kx0+1= 2, 1-3k 1-3k

3k ? 1 1? 故直线 m 的方程为 y- 2? , 2=- ?x- 1-3k k? 1-3k ? 1 4 即 y=- x+ . k 1-3k2 所以直线 m 在 y 轴上的截距为 1 2 2 2 由 0<k < ,且 k ≠ , 3 3 得 1-3k ∈(-1,0)∪(0,1), 4 所以 2∈(-∞,-4)∪(4,+∞). 1-3k 故直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞). 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度 考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等 方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最 值与范围. 直线 l:x-y=0 与椭圆 +y =1 相交于 A,B 两点,点 C 是椭圆上的动点,则 2 △ABC 面积的最大值为________. 答案 2
? ?x-y=0, ?x +2y -2=0, ?
2 2 2

4 2, 1-3k

x2

2

解析 由?

得 3x =2,

2

∴x=± ∴A(

6 ,设点 A 在第一象限, 3

6 6 6 6 4 3 , ),B(- ,- ),∴|AB|= . 3 3 3 3 3
7

设与 l 平行的直线 l′:y=x+m 与椭圆相切于 P 点. 则△ABP 面积最大.

y=x+m, ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?2
2

得 3x +4mx+2m -2=0,

2

2

∴Δ =(4m) -4?3?(2m -2)=0, ∴m=± 3,∴P 到 AB 的距离即为 l 与 l′的距离, ∴d= 3 1 4 3 3 ,∴S△ABC= ? ? = 2. 2 3 2 2

2

题型四 定值、定点问题 例 4 (2016?全国乙卷)设圆 x +y +2x-15=0 的圆心为 A, 直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不 重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,
2 2

Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
解 (1)因为|AD|=|AC|, EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC, 所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB| =|EA|+|ED|=|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x+1) +y =16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 4 3 (2)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2

x2 y2

y=k?x-1?, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
2

得(4k +3)x -8k x+4k -12=0.

2

2

2

2

8k 4k -12 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 12?k +1? 2 所以|MN|= 1+k |x1-x2|= . 2 4k +3 1 过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m:y=- (x-1),
2

2

k

点 A 到 m 的距离为

2

k2+1

, 4k +3 . k2+1
8
2

所以|PQ|=2

? 2 ?2 4 -? 2 ? =4 ? k +1?
2

故四边形 MPNQ 的面积

S= |MN||PQ|=12

1 2

1 1+ 2 . 4k +3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3). 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3). 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2016?北京)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 ,A(a,0),B(0, 2

b),O(0,0),△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点, 直线 PA 与 y 轴交于点 M, 直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证: |AN|?|BM| 为定值. (1)解 由已知 =
2 2 2

c a

3 1 , ab=1. 2 2

又 a =b +c ,解得 a=2,b=1,c= 3. ∴椭圆方程为 +y =1. 4 (2)证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1). 设椭圆上一点 P(x0,y0),则 +y0=1. 4 当 x0≠0 时,直线 PA 方程为 y= -2y0 令 x=0,得 yM= . x0-2 从而|BM|=|1-yM|=?1+ 直线 PB 方程为 y= 令 y=0,得 xN=

x2

2

x2 0

2

y0 (x-2), x0-2

? ?

2y0 ? . x0-2? ?

y0-1 x+1. x0

-x0 . y0-1

∴|AN|=|2-xN|=?2+ ∴|AN|?|BM|=?2+

? ?

x0 ? . y0-1? ?

? ?

x0 ? ? 2y0 ? ??1+ ? y0-1? ? x0-2? ?

9

=? =? =?

?x0+2y0-2???x0+2y0-2? ? ? ? ? y0-1 ? ? x0-2 ? ?x0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4? ? x0y0-x0-2y0+2 ? ? ?4x0y0-4x0-8y0+8?=4. ? ? x0y0-x0-2y0+2 ?
2 2

当 x0=0 时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, ∴|AN|?|BM|=4. 故|AN|?|BM|为定值. 题型五 探索性问题 例 5 (2015?广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y -6x+5=0 相交于不同的两点 A,
2 2

B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取 值范围;若不存在,说明理由. 解 (1)圆 C1:x +y -6x+5=0 化为(x-3) +y =4,∴圆 C1 的圆心坐标为(3,0). (2)设 M(x,y), ∵A,B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点,且 M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质知 MC1⊥MO, → → ∴MC1?MO=0. → → 又∵MC1=(3-x,-y),MO=(-x,-y), ∴由向量的数量积公式得 x -3x+y =0. 易知直线 l 的斜率存在, ∴设直线 l 的方程为 y=mx, 当直线 l 与圆 C1 相切时,d= 2 5 解得 m=± . 5 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程, 5 2 化简得 9x -30x+25=0,解得 x= . 3 当直线 l 经过圆 C1 的圆心时,M 的坐标为(3,0).
10
2 2 2 2 2 2

|3m-0| =2, m2+1

又∵直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点, 5 ∴ <x≤3. 3 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 x -3x+y =0, 5 其中 <x≤3. 3 (3)由题意知直线 L 表示过定点(4,0),斜率为 k 的直线,把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程
2 2

x2-3x+y2=0,其中 <x≤3,化简得(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2=0,其中 <x≤3,
5 2 2 2 2 记 f(x)=(k +1)x -(3+8k )x+16k ,其中 <x≤3. 3 若直线 L 与曲线 C 只有一个交点,令 f(x)=0. 9 3 2 2 2 当 Δ =0 时,解得 k = ,即 k=± ,此时方程可化为 25x -120x+144=0,即(5x-12) 16 4 =0, 12 ?5 ? 3 解得 x= ∈? ,3?,∴k=± 满足条件. 5 ?3 ? 4 当 Δ >0 时, 5 ?5 ? ①若 x=3 是方程的解,则 f(3)=0? k=0? 另一根为 x=0< ,故在区间? ,3?上有且仅有一 3 ?3 ? 个根,满足题意; 5 2 5 64 5 64 ?5? ?5 ? ②若 x= 是方程的解, 则 f? ?=0? k=± ? 另外一根为 x= , < ≤3, 故在区间? ,3? 3 7 23 3 23 ?3? ?3 ? 上有且仅有一根,满足题意; 5 ?5 ? ③ 若 x = 3 和 x = 均 不是 方 程 的 解 , 则 方程 在区 间 ? ,3? 上 有 且 仅 有 一个 根, 只 需 3 ?3 ?

5 3

5 3

f? ??f(3)<0? - 3

?5? ? ?

2 5 2 5 ?5 ? <k< .故在区间? ,3?上有且仅有一个根,满足题意. 7 7 ?3 ?

2 5 2 5 3 综上所述,k 的取值范围是- ≤k≤ 或 k=± . 7 7 4 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”, 将不确定性问题明朗化. 其步骤为假设 满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方 程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲 线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. (2017?武宁一中月考)已知椭圆 C 的右焦点 F(1,0),过 F 的直线 l 与椭圆 C 交 于 A,B 两点,当 l 垂直于 x 轴时,|AB|=3.
11

(1)求椭圆 C 的标准方程; → → (2)在 x 轴上是否存在点 T,使得TA?TB为定值?若存在,求出点 T 的坐标,若不存在,说明 理由. 解 (1)设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), 2b ? ? a =3, 由已知可得? c=1, ? ?a =b +c ,
2 2 2 2

x2 y2 a b

解得?

?a=2, ?b= 3,
x2 y2

故所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在满足条件的点 T(t,0), 当直线 AB 斜率不为 0 时,可设直线 AB 为 x=my+1,

A(x1,y1),B(x2,y2),
将 x=my+1 代入 C 得(4+3m )y +6my-9=0, -6m -9 8 4-12m 显然 Δ >0 且 y1+y2= 2,y1y2= 2,x1+x2= 2,x1x2= 2 , 4+3m 4+3m 4+3m 4+3m → → 所以TA?TB=(x1-t)(x2-t)+y1y2 =x1x2-t(x1+x2)+t +y1y2 ?6t-15?m -9 2 = +t -2t+1, 2 4+3m 6t-15 9 11 → → 要使TA?TB为定值须有 =- ,得 t= , 3 4 8 11 135 → → 此时 T( ,0),TA?TB为定值- . 8 64 135 → → 当直线 AB 斜率为 0 时,TA?TB=- , 64 11 故存在点 T( ,0)满足题设. 8
2 2 2 2 2

1.(2015?陕西)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),经过点 A(0,-1),且离心率为

x2 y2 a b

2 . 2
12

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直 线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. (1)解 由题设知 =
2 2 2

c a

2 ,b=1, 2

结合 a =b +c ,解得 a= 2, 所以椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)证明 由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入 +y =1, 2 得(1+2k )x -4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知 Δ >0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 4k?k-1? 2k?k-2? 则 x1+x2= ,x1x2= , 2 2 1+2k 1+2k 从而直线 AP,AQ 的斜率之和
2 2

x2

2

x2

2

y1+1 y2+1 kx1+2-k kx2+2-k kAP+kAQ= + = + x1 x2 x1 x2 x1+x2 ?1 1? =2k+(2-k)? + ?=2k+(2-k)

?x1 x2?

x1x2

4k?k-1? =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2. 2k?k-2?

x2 y2 2.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 3 2,其中一条渐近线的方程为 x- 2y= a b
0.以双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E,过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A,

B 两点.
(1)求椭圆 E 的方程; → → → 2 → 2 (2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点,PG=2GO,求|GA| +|GB| 的取值范围.

x2 y2 解 (1)由双曲线 2- 2=1 的焦距为 3 2, a b
3 2 9 2 2 得 c= ,∴a +b = .① 2 2 由题意知 =

b a

2 ,② 2

13

3 2 2 由①②解得 a =3,b = , 2

x 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 + y =1. 3 3
(2)由(1)知 P(- 3,0). → → 设 G(x0,y0),由PG=2GO, 得(x0+ 3,y0)=2(-x0,-y0).

2

?x0+ 3=-2x0, 即? ?y0=-2y0,

? ?x0=- 3, 3 解得? ? ?y0=0,

∴G(-

3 ,0). 3

设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1), 3 2 2 3 2 2 → 2 → 2 |GA| +|GB| =(x1+ ) +y1+(x1- ) +y1 3 3 2 2 2 2 2 2 =2x1+2y1+ =2x1+3-x1+ 3 3 =x1+
2

11 . 3
2

又∵x1∈[- 3, 3],∴x1∈[0,3], 11 2 11 20 ∴ ≤x1+ ≤ , 3 3 3 11 20 → 2 → 2 ∴|GA| +|GB| 的取值范围是[ , ]. 3 3 3.(2016?江西质检)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的上顶点为 B,过点 B 且互相垂直的动直线

x2 y2 a b

l1,l2 与椭圆的另一个交点分别为 P,Q,若当 l1 的斜率为 2 时,点 P 的坐标是(- ,- ).
(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若直线 PQ 与 y 轴相交于点 M,设PM=λ MQ,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)当 l1 的斜率为 2 时,直线 l1 的方程为 y=2x+b,

5 3

4 3

l1 过点 P(- ,- ),得- =- +b? b=2, x2 y2 所以椭圆方程可化为 2+ =1, a 4
5 4 25 4 点 P(- ,- )在椭圆上,得 2+ =1, 3 3 9a 9 从而 a =5, 所以椭圆 C 的方程是 + =1. 5 4
14
2

5 3

4 3

4 3

10 3

x2 y2

(2)由题意,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0, 1 设直线 l1,l2 的方程分别为 y=kx+2,y=- x+2,

k

x y ? ? + =1, 由? 5 4 ? ?y=kx+2,
得(4+5k )x +20kx=0, 20k 得 xp=- 2 , 5k +4 20 同理,可得 xQ= 20k = 2, 5 5+4k 2+4
2 2

2

2

k

k

20k 20k → → 由PM=λ MQ,得 2 =λ 2, 5k +4 5+4k 9 5 4k +5 4 所以 λ = 2 = + 2 , 5k +4 5 5k +4
2

9 5 9 2 因为 5k +4>4,所以 0< 2 < , 5k +4 20 4 5 所以实数 λ 的取值范围是( , ). 5 4 4.(2016?北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆 + =1 的左顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 4 3 的直线交椭圆于 B,C 两点. (1)求该椭圆的离心率; (2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M,N,问:x 轴上是否存在定点 P 使得 MP⊥NP? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 解 (1)由椭圆方程可得 a=2,b= 3, 从而椭圆的半焦距 c= a -b =1.
2 2

x2 y2

c 1 所以椭圆的离心率为 e= = . a 2
(2)依题意,直线 BC 的斜率不为 0, 设其方程为 x=ty+1. 将其代入 + =1,整理得(4+3t )y +6ty-9=0. 4 3 设 B(x1,y1),C(x2,y2),
15

x2 y2

2

2

-6t -9 所以 y1+y2= 2,y1y2= 2. 4+3t 4+3t 易知直线 AB 的方程是 y= 从而可得 M(4,

y1

x1+2

(x+2),

6y1 6y2 ),同理可得 N(4, ). x1+2 x2+2

假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MP⊥NP, → → 则有PM?PN=0. 36y1y2 2 所以(p-4) + =0. ?x1+2??x2+2? 将 x1=ty1+1,x2=ty2+1 代入上式,整理得 (p-4) +
2

36y1y2 =0, t y1y2+3t?y1+y2?+9
2 2

所以(p-4) +
2

36??-9?

t2?-9?+3t?-6t?+9?4+3t2?

=0,

即(p-4) -9=0,解得 p=1 或 p=7. 所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或 P(7,0), 使得 MP⊥NP.

x y 1 3 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ),过它的左,右焦点 F1,F2 分 a b 2 2
别作直线 l1 与 l2,l1 交椭圆于 A,B 两点,l2 交椭圆于 C,D 两点,且 l1⊥l2,如图所示.

2

2

(1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围.

c 1 2 2 2 2 解 (1)由 = ? a=2c,∴a =4c ,b =3c , a 2
将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c =1, 故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在, 则另一条直线的斜率为 0,此时四边形的面积 S=6. 若 l1 与 l2 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k,
2

x2 y2

16

1 则 l2 的斜率为- ,

k

则直线 l1 的方程为 y=k(x+1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

y=k?x+1?, ? ? 2 2 联立方程组?x y + =1, ? ?4 3
消去 y 并整理得(4k +3)x +8k x+4k -12=0.① 8k 4k -12 ∴x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 12 k +1 ∴|x1-x2|= , 2 4k +3 12?k +1? 2 ∴|AB|= 1+k |x1-x2|= ,② 2 4k +3 注意到方程①的结构特征和图形的对称性, 1 12?k +1? 可以用- 代替②中的 k,得|CD|= , 2 k 3k +4 1 72?1+k ? ∴S= |AB|?|CD|= , 2 2 2 ?4k +3???3k +4? 令 k =t∈(0,+∞), 72?1+t? 6?12t +25t+12?-6t ∴S= = 2 ?4t+3???3t+4? 12t +25t+12 6 6 288 =6- ≥6- = , 12 49 49 12t+ +25
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t

288 当且仅当 t=1 时等号成立,∴S∈[ ,6), 49 288 综上可知,四边形 ABCD 的面积 S∈[ ,6]. 49

17


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