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高考数学第二轮同步复习题25-推理与证明


高考数学二轮复习同步练习: 专题 7 不等式、推理与证明、算法与复数 第 2 讲 推理与证明 一、选择题 1.下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适 ( ) A.三角形 C.梯形 [答案] B [解析] 因为平行六面体的侧面和底面都是平行四边形,故选 B. 2.①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2,②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两 根的绝对值都小于 1.用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值 大于或等于 1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( A.①与②的假设都错误 ) B.平行四边形 D.矩形

B.①与②的假设都正确 D .①的假设错

C.①的假设正确;②的假设错误 误;②的假设正确 [答案] D

[解析] 反证法的实质是命题的等价性,因为命题 p 与命题的否 定? p 真假相对,故直接证明困难时,可用反证法.故选 D. 3. (2011· 山东潍坊)若 P= a+ a+7, Q= a+3+ a+4(a≥0) 则 P、Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q [答案] C ) B.P=Q D.由 a 的取值确定

[解析] ∵要证 P<Q,只需证 P2<Q2, 即证:2a+7+2 a?a+7?<2a+7+2 ?a+3??a+4?, 即证:a2+7a<a2+7a+12,即证:0<12, ∵0<12 成立,∴P<Q 成立.故选 C. 4.在证明 f(x)=2x+1 为增函数的过程中,有下列四个命题:① 增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数 f(x)=2x +1 满足增函数的定义是小前提; ④函数 f(x)=2x+1 满足增函数的定 义是大前提.其中正确的命题是( A.①② C.①③ [答案] C [解析] 大前提是增函数的定义, 小前提是函数 f(x)=2x+1 满足 增函数的定义. 5.如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成 的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( ) ) B.②④ D.②③

[答案] A [解析] 可以从单独的一个小三角形闪烁找规律,如图所示,其 按顺时针方向旋转且间隔一个小三角形闪烁,且周期为 5,因此第 4 次闪烁为 A 图,故应选 A.

6.(文)(2011· 浙江五校联考)观察下图:

1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ………… 则第( A.2010 C.1006 [答案] C [解析] 由题设图知,第一行各数和为 1;第二行各数和为 9= 32;第三行各数和为 25=52;第四行各数和为 49=72;…,∴第 n 行 各数和为(2n-1)2,令 2n-1=2011,解得 n=1006. (理)(2011· 江西理,7)观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57= 78125,…,则 52011 的末四位数字为( A.3125 C.0625 [答案] D [解析] 因为 58=390625,59=1953125. 2011=502×4+3,故 52011 的末四位数字为 8125,故选 D. 7.(2011· 皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通 常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息. 设定原信息为 a0a1a2,ai∈(0,1)(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1, h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如 原信息为 111,则传输信息为 01111,传输信息在传输过程中受到干 扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( A.11010 B.01100 ) ) )行的各数之和等于 20112.( B.2009 D.1005 )

B.5625 D.8125

C.10111 [答案] C

D.00011

[解析] 对于选项 C,传输信息是 10111,对应的原来的信息是 011,由题目里的约定计算 h0=0⊕1=1,而 h1=h0⊕a2=1⊕1=0, 这时传输信息应是 10110. 8.(2011· 北京宣武二模)如图,一个质点在第一象限运动,在第 一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后按图所示在与 x 轴、y 轴平行的 方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么经过 2000 秒后,这个质 点所处的位置的坐标是( )

A.(24,24) C.(44,24) [答案] C

B.(24,44) D.(44,44)

[解析] 第一、二、三、…个正方形边长分别是 1,2,3,…,故走 完第一、二、三、…个正方形分别用时 3,5,7,…秒. 由 3+5+7+…+(2n+1)<2000,∴n<44. 走完前 43 个正方形共用时 3+5+7+…+87=1935(秒), 此时动 点坐标为(0,43). 再走 65 秒后,动点坐标为(44,24). 二、填空题 1+an 9.(2011· 菏泽市二模)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈ 1-an N*),则 a3=________,a1· a2· a3· …· a2012=________.

1 [答案] -2 1 1 1 [解析] 法一:分别求出 a2=-3,a3=-2,a4=3,a5=2, 可以发现 a5=a1,且 a1· a2· a3· a4=1, 故 a1· a2· a3· …· a2012=(a1a2a3a4)503=1. 1+an 法二:由 an+1= 联想到两角和的正切公式, 1-an 设 a1=2=tanθ, π 则有 a2=tan(4+θ), π a3=tan(2+θ), 3 a4=tan(4π+θ),a5=tan(π+θ)=a1,… 则 a1· a2· a3· a4=1,故 a1· a2· a3· …· a2012=(a1a2a3a4)503=1. 10.若三角形内切圆的半径为 r,三边长为 a、b、c,则三角形 1 的面积等于 S=2r(a+b+c),根据类比推理的方法,若一个四面体的 内切球的半径为 R,四个面的面积分别是 S1、S2、S3、S4,则四面体 的体积 V=________. 1 [答案] 3R(S1+S2+S3+S4) [解析] 找出它们的相似可比性和对应关系,即可得答案. 11.(文)(2011· 陕西文,13)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

…… 照此规律,第五个等式应为______________________. [答案] 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 [解析] 依据前 4 个等式的规律,第 n 个等式左侧是从 n 开始的 2n-1 个自然数的和,右侧是(2n-1)2,所以第五个等式是 5+6+7 +8+9+10+11+12+13=81. (理)(2011· 陕西理,13)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 12. (文)(2011· 浙江五校联考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史, 图(1)、(2)、(3)、(4)为她们的刺绣中最简单的四个图案,这些图案都 是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形, 则 f(6)=________.

[答案] 61 [解析] +4=13, f(4)=1+3+5+7+(1+3+5)=16+9=25, f(1)=1,f(2)=1+3+1=5,f(3)=1+3+5+(1+3)=9

f(5)=1+3+5+7+9+(1+3+5+7)=25+16=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+(1+3+5+7+9)=36+25=61. (理)(2011· 汕头一检)在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AE AC AB 所成线段的比EB=BC, 把这个结论类比到空间: 在三棱锥 A-BCD 中(如图所示), 平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于点 E, 则得到的类比的结论是________________.

AE S△ACD [答案] EB= S△BCD [解析] 在△ABC 中,作 ED⊥AC 于 D,EF⊥BC 于 F,则 ED =EF, AC S△AEC AE ∴BC= = . S△BCE EB 类比:由题意知 E 到平面 ADC 与平面 BCD 的距离相等,则 VE-ADC S△ADC VE-ADC VC-AED S△AED AE = ,而 - = = . VE-BDC S△BDC VE-BDC VC-BED S△BED BE AE S△ACD ∴BE= . S△BCD 三、解答题 13.若 x,y 都是正实数,且 x+y>2, 1+x 1+y 求证: y <2 和 x <2 中至少有一个成立. 1+x 1+y [证明] 假设 y <2 和 x <2 都不成立,

1+x 1+y 则有 y ≥2 和 x ≥2 同时成立. 因为 x>0 且 y>0,所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 这与已知条件 x+y>2 矛盾, 1+x 1+y 因此 y <2 和 x <2 中至少有一个成立. 14.(文)观察下列三角形数表 假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N*), (1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式. [解析] (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6. (2)依题意 an+1=an+n(n≥2), a2=2, an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =2+2+3+…+(n-1) =2+ ?n-2??n+1? , 2

1 1 所以 an=2n2-2n+1(n≥2). (理)已知 a>0,求证: [解析] 证明:要证 只需证 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2. 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2,

1 1 a2+a2+2≥a+a+ 2. 1 1 a2+a2+2)2≥(a+a+ 2)2,

∵a>0,故只需证(

1 即 a2+a2+4 从而只需证 2

1 1 1 a2+a2+4≥a2+2+a2+2 2(a+a)+2, 1 1 a2+a2≥ 2(a+a),

1 1 1 只需证 4(a2+a2)≥2(a2+2+a2),即 a2+a2≥2,而上述不等式显 然成立,故原不等式成立. 15.(文)已知 a、b、c 是正实数,且 a+b+c=1,求证: 1 ①a2+b2+c2≥3; ② a+ b+ c≤ 3. [解析] 证明:①∵a+b+c=1,∴(a+b+c)2=1. ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. (*)

又 2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ca≤c2+a2, ∴2ab+2bc+2ca≤2(a2+b2+c2). ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2). 1 所以由(*)可得 a2+b2+c2≥3. ②∵a、b、c∈R+, ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca. ∴2(a+b+c)≥2( ab+ bc+ ca). ∴a+b+c+2 ab+2 bc+2 ca≤3(a+b+c)=3. ∴( a+ b+ c)2≤3,∴ a+ b+ c≤ 3. 1 (理)已知数列{an}的各项都是正数,且满足 a0=1,an+1=2an(4- an),n∈N. (1)证明 an<an+1<2,n∈N; (2)求数列{an}的通项公式 an.

[解析] (1)用数学归纳法证明: 1 3 1° 当 n=1 时,a0=1,a1=2a0(4-a0)=2, ∴a0<a1<2,命题正确. 2° 假设 n=k 时,有 ak-1<ak<2. 则 n=k+1 时,ak-ak+1 1 1 =2ak-1(4-ak-1)-2ak(4-ak) 1 =2(ak-1-ak)-2(ak-1-ak)(ak-1+ak) 1 =2(ak-1-ak)(4-ak-1-ak). 而 ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,∴ak-ak+1<0. 1 1 又 ak+1=2ak(4-ak)=2[4-(ak-2)2]<2, ∴n=k+1 时命题正确. 由1° 、2° ,知对一切 n∈N 时有 an<an+1<2. 1 1 (2)解:下面来求数列的通项:an+1=2an(4-an)=2[-(an-2)2+ 4],∴2(an+1-2)=-(an-2)2. 1 令 bn=an-2,则 bn=-2b2 n-1 1 1 2 2 1 12 =-2(-2bn -2) =- · 2 (2) bn-222 1 2n =…=-(2)1+2+…+2n-1b0 , 1 又 b0=-1,∴bn=-(2)2n-1, 1 即 an=2+bn=2-(2)2n-1.


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