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《等差数列的前n项和》(3.21上课)


等差数列的前n项和

问题1
1+2+3+4+5+· · · +100=?

高斯
德国著名数学家高斯(Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年),10岁时曾很快求出它的结果!

解法1:
∵1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 , 4+97=101, · · · , · · · , 49+52=101,50+51=101. ∴1+2+3+4+5+· · · +100 =50×101 =5050.

解法2
∵1+99=100 , 2+98=100 , 3+97=100 , … , … , … , 47+53=100 , 48+52=100 ,49+51=100 , ∴ 1+2+3+4+5+· · · +100

=49×100+150 =5050

解法3
设:∵S= 1+2+3+4+· · · +97+98+99+100 ,

S=100+99+98+97+· · · +4+3+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ · · · (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050

注:此法称倒序求和(属代数法)

解法1与解法3的比较
解法1:
∵1+100=101, 2+ 99=101, · · · , 49+52=101, 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+· · · +100 =50×101 =5050.

解法3:
设:∵S= 1+2+· · · +99+100 ,

S=100+99+· · · +2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ · · · +(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .

解法1与解法3的比较
解法1:
∵1+100=101, 2+ 99=101, · · · , 49+52=101, 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+· · · +100 =50×101 =5050.

解法3:
设:∵S= 1+2+· · · +99+100 ,

S=100+99+· · · +2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ · · · +(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .

算术法

解法1与解法3的比较
解法1:
∵1+100=101, 2+ 99=101, · · · , 49+52=101, 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+· · · +100 =50×101 =5050.

解法3:
设:∵S= 1+2+· · · +99+100 ,

S=100+99+· · · +2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ · · · +(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .

算术法

解法3
设:∵S= 1+2+3+4+· · · +97+98+99+100 ,

S=100+99+98+97+· · · +4+3+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ · · · (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050

注:此法称倒序求和(属代数法)

解法1与解法3的比较
解法1:
∵1+100=101, 2+ 99=101, · · · , 49+52=101, 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+· · · +100 =50×101 =5050.

解法3:
设:∵S= 1+2+· · · +99+100 ,

S=100+99+· · · +2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ · · · +(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .

算术法

代数法(倒序求和)

解决疑难问题
定理 :数列{an}是等差数列,m,n,p,q分别为自然数 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 证明:设等差数列首项为a1,公差为d,则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)d ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d ∵ m+n=p+q, ∴ m+n-2=p+q-2 ∴ am+an=ap+aq

猜想1
设求等差数列{an }的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 sn=n(a1+an)/2

探索1
设:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an ,,

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 ∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) ? 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2

证明猜想1
证明:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
,

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 ∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) ∵1+n=2+n-1=3+n-2=… =n-2+3=n-1+2=n+1

由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+an) ∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2

由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+an) ∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2

由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+a2) ∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2

解法4:
1+2+3+4+…+100 =3+3+4+…+100 =6+4+…+100 =… =5050

解法5:
把问题1看成a1=1,d=1,n=100的等差数 列,则根据等差数列的中项公式,得 1+99=2×50,2+98=2×50,3+97=2×50, … , … , … , 47+53=2×50,48+52=2×50,49+51=2×50, 1+2+3+4+5+···+100 =49×2×50+50+100 =5050

对问题1转换点看
用数列观点:求等差数列 1,2,3,4,5,6,…,n,… 的前100项的和. 从而研究等差数列:

a1 ,a2 ,a3 ,…an ,… 设求等差数列{an }的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an

用倒序求和法1
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 ∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) ∴2Sn=[a1+a1+(n-1)d]+[a1+d+a1+(n-2)d]+ …+[a1+(n-2)d+ a1+d]+[ a1+(n-1)d+ a1]

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=na1+n(n-1)d/2

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=na1+n(n-1)d/2

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=na1+n(n-1)d/2

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2 ∵an=a1+ +(n-1)d ∵ Sn=n[a1+ an ]/2

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2 ∵an=a1+ +(n-1)d ∵ Sn=n[a1+ an ]/2

∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]

∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2 ∵an=a1+ +(n-1)d ∵ Sn=n[a1+ an ]/2

用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则

Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由(1)+(2)得

(1) (2)

∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)

用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则

Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由(1)+(2)得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)

(1) (2)

用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则

Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由(1)+(2)得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an) =n (a1+ an)

(1) (2)

用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则

Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由(1)+(2)得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an) =n (a1+ an)

(1) (2)

Sn=n[a1+ an ]/2

用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则

Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由(1)+(2)得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an) =n (a1+ an)

(1) (2)

Sn=n[a1+ an ]/2

等差数列的前n项和公式
Sn=n[a1+ an ]/2
(1)

Sn=na1+n(n-1)d/2

(2)

问题1
1+2+3+4+5+· · · +100=? 解:由题意可知,它是等差数列前n项和求和
问题,则

∵a1=1,an=100,n=100 ∴Sn=100(1+100)/2 =5050 .

例1
如图3-4,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层 放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放 一支,最上面一层放120支.这个V形架上共放 着多少支铅笔?

解:
由题意可知,这个V形架上共放着120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差 数列,即为{an },其中a1 =1, a120 =120.根 据等差数列前n项和的公式, 得 ,S120=120×(1+120)/2=7260.
答:V形架上共放着7260支铅笔.

例2
等差数列 -10,-6,-2,2,… 前多少 项的和是54?
设题中的等差数列为{an },前n项和是Sn,则 a1 =-10,d=-6-(-10)=4,设Sn=54 根据等差数列前n项和的公式,得 -10n+n(n-1)×4/2=54, 整理 得 ,n2-6n-27=0. 解得 n 1= 9 n2= -3(舍去). 因此等差数列 -10,-6,-2,2,… 前9项的和是54.

解:

小结
一、等差数列的前n项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=n[a1+ an ]/2 二、运用和应用 (1)函数思想 (2)方程思想

(3)数学应用思想(4)倒序求和法 三、数学发现的方法

学会猜想,学会证明 .


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