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B版高中数学必修四全册专题复习


专题一:三
【知识脉络】:
第一块:函数性质与图像







形 状 定义 函数性质 图像 平 移 伸 缩 定 义 域 值 域 奇 偶 性 单 调 性 周 期 对 称 性

教学目标: 1、正弦、余弦、正切函数的性质,重点掌握 [0, 2? ] 上的函数的性质; 2、定义域、值域,重点能求正切函数的定义域; 3、能从图象上认识函数的各类性质,能用自己的语言把函数性质描述清楚,能 写出来。 4、理解平移与伸缩 第二块:同角基本关系和诱导公式
同角基本关系就掌握好三个公式:

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, tan ? ?

sin ? 1 , cos 2 ? ? cos ? 1 ? tan 2 ?

特别需要说明的是:平方关系中的开方运算,易错! 诱导公式的记忆方法很简单,联系两角和与差来记就行!如:

cos(

3? 3? 3? ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? sin ? 2 2 2

诱导公式的理解上,需从两角终边的位置关系来认识,如:

tan(? ? ? ) ? tan ? 中涉及两个角是 ? 和 ? ?? ,它们的位置是关于原点对称,象限对应关
系是一、三或二、四,所以正切符号相同,直接取等号。其它类似。

第三块:三角变换
和差公式:

?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? ? ?tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ?tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ?

(? ? ? ) ?s i n? ? (? ? ? ) ?s i n?

s? in s? in

c? o? s c? o? s

? c o s ?s i n ? c o s ?s i n

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

tan? 2?
注意:

2 tan ? 2 1? t a n ?

(1)、倍半关系是相对的,如: sin ? ? 2sin

?
2

cos

?
2

, sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ,

cos ? ? 2 cos 2

?
2

? 1 ? 1 ? 2sin 2

?
2

? cos 2

?
2

? sin 2

?
2

等,根据题目的需要来确定倍角还是半

角; (2)几个常用的变式:

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? ) 2 ,1 ? cos2? ? 2 cos2 ? ,1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?
tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

a a cos x ? b sin x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中 tan ? ? , ? 的范围根据需要来确定 b b 或 a cos x ? b sin x ? a 2 ? b2 cos( x ? ? ) ,其中 tan ? ? , ? 的范围根据需要来确定 a

cos(x ?

?
4

)?

2 ? 2 (cosx ? sin x), sin(x ? ) ? (sin x ? cos x) 2 4 2

【题型示例】:第一部份“三角函数的图象与性质”
? 熟记定义、定义域、三角值的符号 ) 1、若角 ? 的终边过点 P(2a,3a)(a ? 0) ,则下列不等式正确的是( A、 sin ? ? tan ? ? 0 C、 cos ? ? tan ? ? 0 B、 sin ? ? cos ? ? 0 D、 sin ? ? cos ? ? 0
? ?

2、若角 ? 终边上有一点 P(sin30 ,cos30 ) ,则 ? 为(其中 k ? Z ) A、

?
6

? 2 k?

B、

?
3

? 2 k?

C、

?
6

? k?

D、

?
3

? k?

3、若 sin ? ? cos ? ? 0,cos ? ? tan ? ? 0 ,则 A、一、三象限 B、二、四象限

? 位于 2
C、一、二象限

D、三、四象限

4、已知角 ? 终边上一点 P ( x, 2) ,且 cos ? ? 5、函数 y ? tan(2 x ? ?

2 x ,则 x = 4

?
4

) 的定义域为

单调性:求单调区间是重点,三角的单调区间的求法是比较特殊的,掌握好例题所示的 方法;另一类题型为比较大小,但都比较简单。

【例题 1】(1)求函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的单调增区间

解:由 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z 得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z 。

所以,函数的单调增区间为: [ ? (2)求函数 y ? cos( x ? (3)求函数 y ? tan(2 x ? 7、函数 y ? sin( x ? A、 [ ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z
。 。 。

1 2

?
4

) 的单调减区间

?

?
6

4

) 的单调区间

) 的一个减区间是

?
2

, 0]

B、 [

? 7?
3 6 ,

]

C、 [

? 3

, ?] 4 4

D、 [

? 3

, ?] 2 2

8、在 [0, 2? ) 内,使函数 y ? 2sin x ?1 有意义的范围是

? 5 7 11 , ?] B 、 [0, ] ? [ ? , ? ] C 、 [ ?, ?] 6 6 6 6 6 6 7? 11 [? , ] ? [ ? , 2? ] 6 6 17 24 31 ? , c ? cos ? ,则 9、 a ? cos ? , b ? cos 5 5 5 a ? b ? c a ? b ? c A、 B、 C、 c ? a ? b D、 c ? b ? a
A、[

? 5

D、

10、若直线的斜率满足: k ? 3 ,则直线的倾斜角的范围为 ? ? ? 奇偶性:联系函数图像来理解奇偶性,即图像的对称性。 奇函数: y ? sin x, y ? tan x ,偶函数: y ? cos x 注意变化:如, y ? sin( x ?

?
6

) 。图像平移,可能会改变函数的奇偶性,也有可能不发

生改变,如函数 y ? sin( x ? ? ) 。观察图象,很容易得到正确的结论。 11、若函数 y ? sin( x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的值为( k ? Z ) A、 k ? B 、 k? ?

?
2

C、 k? ?

?
6

D、 k? ?

?
3

12、若函数 y ? cos( x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的值为( k ? Z ) A、 k ? ? B 、 k? ?

?
2

C、 k? ?

?
6

D、 k? ?

?
3

图像的对称性:注意观察图象,从图象上找出对称轴和对称中心的位置。

y ? sin x

y
-

4 ?

3 ?

2 ?

?

o

1

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6x ?

1

对称轴方程: x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

对称中心: (k? ,0), k ? Z

y ? cos x

4

3

2

?

对称轴方程: x ? k? , k ? Z ·

y 1 o 1

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

对称中心: ( k? ?

?

, 0 )k,? Z 2?

6x

理解:语义上,过顶点与 X 轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴,而正、余弦曲线与 X 轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。 ? ? ? 函数性质上看,若对称轴为 x ? x? ,则 f ( x? ) 必为函数的最大或最小值;若对称点为

( x? ,0) ,则 f ( x? ) ? 0 。注意,平移产生的变化。
13、函数 y ? sin(2 x ? A、 x ?

?
4

) 的一条对称轴方程是

?
8

B、 x ? ?

?
8

C、 x ?

?
4

D、 x ? ?

?
4

14、函数 y ? cos( x ? A、 (

?
5

) 的一个对称中心是 3 ? , 0) 10
C、 (

3 ? , 0) 10 1 2

B、 ( ?

15、函数 y ? 2sin( x ?

?
3

4? , 0) 5

D、 ( ?

?
5

, 0)

) ? 1 的对称轴方程为
对称中心为



? 值域和最值: 1、 掌握好基本函数的值域和最值情况 (1) y ? sin x( x ? R) 值域为 [?1,1] ,当 x ? 2k? ? 当 x ? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, (sin x)max ? 1;

?
2

(k ? Z ) 时, (sin x)min ? ?1。

注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。 (2) y ? cos x( x ? R) 的值域为 [?1,1] ,当 x ? 2k? (k ? Z ) 时, (cos x)max ? 1 ; 当 x ? (2k ? 1)? (k ? Z ) 时, (cos x)min ? ?1 。 注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。 (3) y ? tan x( x ? k? ?

?
2

) 的值域为 R ,不存在最大值和最小值。

2、理解:函数值域会因定义域的改变而改变,掌握好下面例题所示的方法。 【例题 2】若 ?

?

4

?x?

?

4

,求下列函数的值域: (3) y ? 2sin(2 x ?

(1) y ? 2sin x ? 1

(2) y ? 1 ? 2sin x

?
6

)

16、若 ?

?
4

?x?

3? ? ,求函数 y ? 1 ? 2sin(2 x ? ) 的值域,并求出函数取最大值时的 x 的 4 6

取值集合。

【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”
? ? 诱导公式:主要功能是用于化“大角”(超出 [0, 2? ] )为“小角” 公式:略

3、掌握两类基本型: (1)关于 sin x 或 cos x 的二次函数型 【例题 3】(1)求函数 y ? cos x ? sin 2 x( x ? R) 的最大值和最小值,并求出对应的 x 的取 值。
2 2 解: y ? cos x ? sin x ? cos x ? cos x ?1,若令 t ? cos x ,则 y ? t ? t ? 1 ? (t ? ) ?
2 2

1 2

5 4

由 t ? cos x ?[?1,1] 得:

ymax ? y (1) ? 1,即t ? cos x ? 1, 得x ? 2k? , k ? Z 1 5 1 ? ymin ? y (? ) ? ? , 即t ? cos x ? ? 得x ? 2k? ? , k ? Z 2 4 2 3

17、求函数 y ? sin x ? 2cos x( x ? R) 的最大值和最小值,并求出对应的 x 的取值。
2

(2)可转化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? B 【例题 4】、形如 a cos x ? b sin x 的函数可转化为上面的型 求下列函数的最值: (1) y ? sin x ? cos x , x ? R

(2) y ? cos x ? sin x , x ? R

(3) y ? cos x ? 3 sin x , x ? R

(4) y ? 3 cos x ? sin x , x ? R

(5) y ? 3sin x ? 4cos x , x ? R

(6) y ? 5 cos x ? 15 sin x , x ? R

(7) y ? sin x ? cos x , x ? [0,

?
2

]

(8) y ? 3 sin x ? cos x , x ? [ ?

? ?

, ] 2 2

【例题 5】借助三角变换转化成上面的型 求下列函数的最值:

?? ? (1) 已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?

?? ? x?? ,? ? ?2 ?

(2) 已知 f ( x) ? 2 cos2 x ?

3 sin2 x ? a, (a ? R)

(3) 已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx+2cos2x,x ? R.

(4)已知向量 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) , f ( x) ? a ? (a ? b)

?

?

1 2

18、已知 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? a,(a ? R) ,(1)设 x ? [0,

?
2

] ,则 a 为何值时,

f(x)的最大值为 4?(2)若

1 3 ? f ( x) ? ,求 a 的取值范围。 2 2

?

周期性:

(1)周期的符号形式: f ( x ? T ) ? f ( x), T 为非零常数。如, sin( x ? 2k? ) ? sin x ,所以

2k? (k ? Z ) 为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的:
(2)最小正周期:若 T 为函数 f ( x ) 的周期,则 n ? T (n ? Z ) 也必为函数 f ( x ) 的周期,因 此,函数的周期是有无数个的,其中正的最小的一个周期,称为函数的最小正周期,比如, 正弦、余弦函数的最小正周期为 2? ,正切函数的最小正周期为 ? ( 3 )最小正周期的计算公式:对于 y ? Asin(? x ? ? )? B 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? B ,则

T?

2?

?

;对于 y ? A tan(? x ? ? ) ? B ,则 T ?

? 。特别注意:也只有上面三种形式下的 ?

三角函数才能使用最小正周期的计算公式! 19、求下列函数的最小正周期: (1) y ? sin(2? x ?

?

3

) (2) y ? 3cos(

5? 1 ? ? ? ) ? 2 (3) y ? 1 ? 2 tan( 3? x ? ) 6 2 3

(4) y ? cos x ? sin x
2 2

(5) y ? cos x ? 3 sin x

(6) y ? sin x cos x

(7)(2007 年广东高考)若函数, f ( x) ? sin x ?
2

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( ) 2

A、最小正周期为 ? 的偶函数 C、最小正周期为 2? 的偶函数

B、最小正周期为 ? 的奇函数 D、最小正周期为

? 的奇函数 2

(8) y ? tan x ? cot x

(9) y ? 1 ? sin x

(10) y ? sin x

?

图像:

(1)关于“五点作图法”,以正弦函数为例进行说明。 第一、 y ? sin x , x ? [0, 2? ] 表一

x
y ? sin x

0 0

? 2
1

?
0

3 ? 2 ?1

2?
0

此表是基础,请注意总结“五点”的规律或特征: 第二、请画出函数 y ? sin(2 x ? 处理思想,令 t ? 2 x ?

?
4

) 在一个周期上的草图。

?
4

,则 y ? sin t ,类比表一即可。 表二

x
t ? 2x ?

?
4

? 8
0

y ? sin t ? sin(2 x ? ) 4
得到“五点”分别为: (

?

? 2
1

3? 8

5 ? 8

?
0

0

7 ? 8 3 ? 2 ?1

9 ? 8 2?
0

3 5 7 9 , 0), ( ? ,1), ( ? , 0), ( ? , ?1), ( ? , 0) 8 8 8 8 8 1 ? 2? 10 , ? ] 上的草图。 第三、画出函数 y ? 1 ? 2sin( x ? ) 在区间 [ ? 2 6 3 3
注意:与“第二”的区别,“第二”没有限定 x 的取值范围,题中要求的“一个周期”可以 自己设定,但“第三”中 x 的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周 期。 问题:怎么求出“五点”呢? 分析:首先注意到, x ? ? ? , y ? 2;

?

2 3

x?

10 ? , y ? 2 ,这是函数的起点和终点,联系 3

正弦曲线的变化规律,第二个点应该回到“平衡点”(类比 y ? sin x 与 X 轴的交点),第 三个点应该是最低点,第四个点应该是“平衡点”,第五个点应该是最高点,第六个点就是 终点。于是得到下表: 表三

x

2 ? ? 3

?

?
3

2 ? 3

5 ? 3

7 ? 3

10 ? 3

t?

1 ? x? 2 6

?

?
6
2

0

? 2
1

?

3 ? 2
1 2

11 ? 6
3

y ? 1 ? 2 s i tn 1 ? ? 1 ? 2 s i n (x ? 2 6

?1

)

(2)三类图象变换 第一、对称:知道几种常见的对称变换,不做深要求。 ① y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称 ② y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称 ③ y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 关于原点对称 ④ y ? f ( x) 即为 y ? f ( x) 图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, x 轴上方的图象不变化。 ⑤ y ? f ( x ) 即为 y ? f ( x) 图象 y 轴右侧部分不变,左侧部分沿 y 轴翻折形成。 第二、平移:只是位置变化,函数性质中除奇偶性外,其它性质不变。 横向平移:即 f ( x) ? f ( x ? ? ) 。 纵向平移:即 f ( x) ? f ( x) ? h

? 为正则向左平移, ? 为负则向右平移。
h 为正则向上平移, h 为负则向下平移。

第三、伸缩:有横向和纵向的伸缩,只要求掌握三角函数的伸缩变化。 横向伸缩: f ( x) ? f (? x) 若 ? ? 1 ,则横向被压缩,导致周期变小; 若 ? ? 1 ,则横向伸长,导致周期变大。 纵向伸缩: f ( x) ? ? f ( x) 若 ? ? 1 ,则振幅变大; 若 ? ? 1 ,则振幅变小。

【例题 6】认识 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 (1)几个名称: 符号 名称

A
振幅

T?
周期

2?

f ?
频率

?

1 T

?x ??
相位

?
初相

1 ? (2)平移伸缩的认识:举例 y ? sin x ? y ? 2sin( x ? ) 2 3
变换过程:有两种,“先平移,再伸缩”和“先伸缩,再平移” ①先平移,再伸缩:

3 y ? s i nx????? ? y? s i nx ? (

向右平移 单位

?

?
3

将横坐标伸长为原来的两倍 ???????? ) ? ? y

1 ? s i n? ( x 2 3

)

1 ? 将纵坐标伸长为原来的两倍 ???????? ? y ? 2 s i n (x ? 2 3
②先伸缩,再平移。

)

向右平移 单位 1 1 2? 3 y ? sin x ???????? ? y ? sin x ?????? ? y ? sin ( x ? ) 2 2 3 将横坐标伸长为原来的两倍

2?

1 ? 将纵坐标伸长为原来的两倍 ???????? ? y ? 2sin( x ? ) 2 3
说明:若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程(相同的结果),最好的办法就是用“五 点法”作图,把上述过程中每一步都画一个图。 20、(1)仿上写出 y ? sin x ? y ?

1 ? sin(2 x ? ) 的变化过程 2 6

(2)为了得到函数 y ? sin(2 x ?

? ? 个单位长度 B、横坐标向右平移 个单位长度 3 3 2? 2? C、横坐标向左平移 个单位长度 D、横坐标向右平移 个单位长度 3 3 1 (4)为了得到函数 y ? cos( x ? ) 的图像,只需将余弦函数图像上各点( ) 3 ? ? A、向左平移 个单位长度 B、向右平移 个单位长度 3 3 1 1 C、向左平移 个单位长度 D、向左平移 个单位长度 3 3 1 ? 1 ? ( 5)为了得到函数 y ? sin( x ? ) 的图像,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图像上各点 4 4 3 4
A、横坐标向左平移 ( )

) 的图象,只需将函数 y ? sin( x ? ) 图像上的点( ) 5 5 1 A、 横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 2 1 C、 纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的 倍,横坐标不变 2 1 ? 1 (3)为了得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象,只需将 y ? sin x 的图象上每一个点( ) 2 3 2

?

?

4 倍,纵坐标不变 3 4 C、 纵坐标伸长为原来的 倍,横坐标不变 3
A、 横坐标伸长为原来的

3 倍,纵坐标不变 4 3 D、纵坐标缩短为原来的 倍,横坐标不变 4
B、横坐标缩短为原来的

(6) 将函数 y ? cos(2 x ?

4 ? ? ) 的图像上各点向右平移 个单位长度, 再把横坐标缩短为原 5 2
B 、 y ? 4 cos( x ?

来的一半,纵坐标伸长为原来的 4 倍,则所得到的图像的函数解析式为( ) A 、 y ? 4 cos(4 x ?

?

y ? 4sin(4 x ?

4? ) 5

5

)

?

5

)

C 、 y ? 4 cos(4 x ?

?
5

)

D 、

(7)将函数 y ? 2 sin(

?

? 1 y ? 2 sin( x ? ) ? y ? cos x 的变换过程。 3 2

1 x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? sin x 的图像?写出 3 2

(8)有以下四种变换方式: ①向左平移

? 1 个单位长度,现将每个点的横坐标缩短为原来的 倍; 2 4 ? 1 ②向右平移 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 倍; 2 8 1 ? ③每个点的横坐标缩短为原来的 倍,再向右平移 个单位长度; 2 8 1 ? ④每个点的横坐标缩短为原来的 倍,再向左平移 个单位长度。 2 8 ? 其中能将函数 y ? sin x 的图像变为函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像的是( ) 4
A、①和④ B、①和③ (9)将函数 y ? sin(2 x ?

?

x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? sin( ? ) 的图像? 2 2 6

C、②和④

D、②和③

【单元过关练习】

A卷

满分:130 分 时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、已知集合 A ? ?? ? A、

? ?

3 ? ? ? ? ? ?? ? ,则使 x ? A 成立的 x 是( ) 2 ?
3? 4
C、

25 ? 6

B、 ?

8? 3

D、 ?

7? 4

2、已知 ? 终边上一点 P(m,3m) ,且 sin ? ? ?

3 10 ,则 cos? ? ( ) 10

A、

10 10

B、 ?

10 10

C、 ?

10 10

D、

3 10 10

3、函数 y ? tan 2 x 为( ) A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为

? 的奇函数 2

B、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为

? 的偶函数 2

4、函数 y ? 2sin x ? cos2 x( x ? R) 的最小值为( ) A、 ? 2 B、0 C、 ? 1 D、2

6、函数 y ? sin(2 x ? A、 x ? ?

?
4

) 的一条对称轴方程是( )

?
8

B、 x ?

?

7、要得到函数 y ? 3sin(2 x ? A、向左平移

?

8

C、 x ? ?

D、 x ?

?
2

? ? 个单位 B、向右平移 处单位 4 4 ? ? C、向左平移 个单位 D、向右平移 个单位 8 8 1 ? 8、函数 y ? 2 cos( x ? ) 的一个单调增区间是( ) 2 6 5? 11? 7? 13? , ] , ] A、 [0, 2? ] B、 [2? , 4? ] C、 [ D、 [ 3 3 3 3
9、关于函数 y ? cos x ? 3 sin x 的四个论断中错误的是( ) A、最小正周期为 2? C、一个对称中心为 ( ? B、值域为 [?2, 2]

4

) 的图像,只需将函数 y ? 3sin 2 x 的图像( )

?
6

, 0)

D、可由 y ? cos x 向右平移

? 所得 3

10、在区间 [0, 2? ] 内使不等式: ?1 ? 2sin x ? 1 成立的角 x 的范围是( )

5? 7? 11? , ] ?[ , 2? ] 6 6 6 6 5? 7? 11? , ] ?[ , 2? ] C、 [ 6 6 6
A、 [0,

?

] ?[

11? ] ?[ , 2? ] 6 6 6 ? 5? 7? 11? , ] ?[ , 2? ] D、 [0, ] ? [ 6 6 6 6
B、 [

? 7?
,

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、已知角 ? 的终边上一点 P(4m, ?3m)(m ? 0) ,则 sin ? ? 12、函数 y ? tan( , tan ? ? ;

?x ?
3

? ) 的最小正周期为 5

; ,最小值为 ,

13、函数 y ? a sin(2 x ?

?

4

) ? 1(a ? 0) 的最大值为

取最小值时 x 的取值集合为 14、函数 y ? cos(

; ;

?

5

? 2 x) 的增区间为
2

15、关于函数 y ? cos ( x ?

?

) ? sin 2 ( x ? ) 有四个论断: 4 4

?

①是偶函数;②最小正周期是 ? ;③值域为 [1?,1] ;④一个对称中心为 (?? , 0) 其中正确命题的序号是 (填上你认为所有正确的命题序号)

16、如果一个函数满足: f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? 0 ,试写出一 个这样的函数: 三、解答题 。

17、(10 分)用“五点法”作出函数 y ? sin(3 x ?

?
4

) 一个周期内的草图(要求列表)。

18、 (12 分) 试用图像变换的两种方式写出: 函数 y = sinx 的图像变换到函数 y = sin ( 的图像的变换过程.

x ? + ) 2 3

19、(14 分)已知点 P(?2, y ) 是角 ? 终边上一点,且 sin ? ?

2 2 求 y 的值; 3

(1) 设 0 ? ? ? 2? ,以 OP 为半径,原点 O 为圆心作圆,与 x 轴正半轴交于 Q 点,求

?OPQ 的面积。

20、(14 分)简谐振动 y ? 3sin(2 x ?

5? ) 6 5? ) 经过怎样的变换得到?试写出 6

(1)求简谐振动的振幅、初相和频率;(2)若 0 ? x ? 2? ,求函数的最大值和最小值。 (3)要得到函数 y ? sin x 的图像,可由 y ? 3sin(2 x ? 变换过程。

【单元过关练习】
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

B卷

1、 已知集合 A ? ? sin ? ? cos ? ? 0 , B ? ? tan ? ? cos ? ? 0 ,k ? Z , 则 A ? B ?( ) A、 (2k? , 2k? ?

?

?

?

?

?
2

)

B、 (2k? ?

?
2

, 2 k? ? ? )

3? ? ) D、 (2k? ? , 2k? ) 2 2 2? 2、扇形的中心角为 ,半径为 3,则扇形的弧长为( )A、 ? B、 2? 3 2 3
C、 (2k? ? ? , 2k? ? 3、已知 ? 为第三象限角,则 A、第一或第二象限

C、

2? 3

D、

? 所在的象限是 ( ) 2

B、第二或第三象限

C、第一或第三象限

D、第二或第四象限

4、时钟的分针经过 40 分钟时间旋转的角度是 ( ) A、

4 ? 3

B、

2 ? 9

C、 ?

2 ? 9

D、 ?

4 ? 3

5、函数 y ? A、 ?? 1?

sin x cosx t anx 的值域是( ) ? ? sin x cosx t anx
B、 ?3,?1? C、 ?3? D、 ? 1,?1,3?

6、角α 的终边落在 y=-x(x>0)上,则 sinα 的值等于( ) A. ±

1 2

B.

2 2

C.±

2 2

D. -

2 2

7、函数 y= ? sin x + cos x 的定义域为( ) A.[2kπ ,2kπ + C. [2kπ -

? 个单位,所得曲线的对应函数式( ) 4 3 ? ? 3 A. y=sin(3x- π ) B.y=sin(3x+ ) C. y=sin(3x- ) D.y=sin(3x+ π ) 4 4 4 4 ? 9、函数 y ? 3sin( ?2 x ? ) ( x ? [0, ? ]) 的单调递增区间是( ) 6 5? ? 2? ? 11? 2? 11? ] ] ] , ] A、 [0, B、 [ , C、 [ , D、 [ 12 6 3 6 12 3 12
8、把函数 y ? sin 3x 的图像向右平移 10 、 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 5) ? f ( x), f (17) ? 5, 则 f (?2) ? ( A 、5 B、 ?5 C 、0 D 、 )

? ,2kπ ] ,k∈Z 2

? ] ,k∈Z 2

? ,2kπ +π ] ,k∈Z 2 3? D. [2kπ +π ,2kπ + ] ,k∈Z 2
B.[2kπ +

1 5
; ; ; ; ;

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11、 如果角?的终边过点(2sin 30?, ?2cos30?), 则sin ?的值等于 12、若函数 y ? cos( kx ?

?
6

) 的周期为 4π ,则 k 的值为

13、 如果函数 y ? b ? a cos x(a ? 0) 的最大值为 14、写出函数 y ? 3sin(2 x ?
2

?
4

3 1 , 最小值为 ? , 则 2a ? b 的值为 2 2

) 的两条对称轴方程分别为

15、函数 y ? cos x ? sin x(0 ? x ?

?
2

) 的最大值为

16、关于函数 y ? sin x ? cos x 的四个论断:①存在 x ,使 sin x ? cos x ? 意的 x ,都有 f ( x ? 2? ) ? f ( x) ;③对任意的 x ,都有 f ( 一个对称中心是 (

?
4

3? 3? ? x) ? f ( ? x) ;④函数的 4 4

3 成立;②对任 2

, 0) 。


其中正确的序号为 三、解答题

17、 (14 分) 函数 y ? A sin(? ? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

)

的部分图象如图所示, (1) 求函数的解析式; (2) 用“五点法” 画出函数在区间 [

? 7?
6 , 6

] 上的草图。

18、 (14 分)已知向量 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,定义函数 f ( x) ? a ? (a + b) (1) 求函数的最小正周期;求函数的单调区间;(3) 求函数的最值。

?

?

1 2

19、 (16 分) 弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间 t(秒)内离开平衡位置(就是静止时位置) 的距离为 h(厘米)由下面函数关系决定: h ? 3 sin ? 2t ?

? ?

??

?. 4?

①以 t 为横坐标, h 为纵坐标作出这个函数的图象(0≤t≤π); ②求小球开始振动的位置; ③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置; ④经过多少时间, 小球往返振动一次?

20、(8 分)已知 f ( x) ? ?

?sin ? x( x < 0), ? 11 ? ? 11 ? 求 f ? ? ? ? f ? ? 的值. ? 6? ?6? ? f ( x ? 1) ? 1( x > 0),

专题一(副题)三角函数的图象和性质(一)
教学目标: 1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图; 2、 理解 A, ? , ? 的物理意义, 掌握由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象
的变换原理; 3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 教学重点:函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换方法.

一、知识点归纳: 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图. 2. 函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的两种主要途径. 3. 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4. 会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析:
1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取
三个平衡点,一个最高、一个最低点;

2. 给出图象求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的解析式的难点在于 ? , ? 的确定, 本质为待定系数法,
基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知 图象可由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期 T ,进而确 定? .

2 中心的横坐标是方程 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 的解,对称中心的纵坐标为 0 .( 即整体代换法)

3. 对称性: ?1? 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? 解出;对称

? 2 ? 函数 y ? Acos ??x ? ? ? 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 解出;对称中心的纵坐标是方 ? 程 ? x ? ? ? k? ? ? k ? Z ? 的解,对称中心的横坐标为 0 .( 即整体代换法)
2

? 3? 函数 y ? A tan ?? x ? ? ? 对称中心的横坐标可由 ? x ? ? ? k ? ? k ? Z ? 解出,对称中心的
纵坐标为 0 ,函数 y ? tan ??x ? ? ? 不具有轴对称性.

2

4. A ? 0 时, y ? Asin ??x ? ? ? ,当 ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 时,有最大值 A ,

当 ? x ? ? ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时,有最小值 ? A ; A ? 0 时,与上述情况相反. 2

(三)典例分析: 问题 1. 已知函数 y ? 2sin( x ? ? ) ? x ? R? .

?1? 用“五点法”画出它的图象; ? 2 ? 求它的振幅、周期和初相; ? 3? 说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

2

3

π? ? π ? 问题 2. ?1? ( 07 海南)函数 y ? sin ? ? 2 x ? ? 在区 ? ? ,π ? 的简图是
y

?

3?

? y2

?

1
? ? 3

1
? 6

? ? 2

O
?1 y

?

x

?

? ?? O 3 2

? 6

?

x

?1 y
? ? B. 6

1

1

A.
?
? 3

? ?? O ? 6 2

x

?

? 2

O
?1

? 3

?

x

?1

? 2 ? ( 05 天津文)函数 y ? A sin(? x ? ?) ?? ? 0, ?
C.
的部分图象如图所示,则函数表达式为

D. ?? 2 , x ? R?
4

y

A. y ? ?4 sin(

?
8

x? x?

?
4

) )

B. y ? 4 sin(

?
8

x? x?

?
4

) )

C. y ? ?4 sin(

?
8

?
4

D. y ? 4 sin(

?
8

?
4

?2 O ?4

6

x

? 3? 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? )
的一段图象如下图所示,求该函数的解析式.

y

2

2 ? 3

4 ? ? 3

O
?2

8 ? 3

x

问题 3.?1? 将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 ?
到图象对应解析式是

3

,得

A. y ? 5sin(

3? 3x 7? 3x ? ? ) B. y ? 5sin( ? ) C. y ? 5sin( ? 6 x) 2 2 10 2 6

3x D. y ? 5 c o s 2

? 2 ? ( 07 山东文)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? ?x?
?
的图象

?? ? ??

? ? 个单位; B. 向右平移 个单位; ? ? ? ? C. 向左平移 个单位; D. 向左平移 个单位 ? ?

A. 向右平移

? 3? ( 04 山东)为了得到函数 y ? sin(2x ? ?6 ) 的图象,可以将函数 y ? cos2 x 的图象
? 个单位长度 6 ? C. 向左平移 个单位长度 6
A. 向右平移 B. 向右平移 D. 向左平移

? 个单位长度 3
??

? 个单位长度 3

?? 问题 4. ?1? ( 07 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ?
?? ? A. 关于点 ? , 0 ? 对称 ?? ? ?? ? C. 关于点 ? , 0 ? 对称 ?? ?
?

该函数的图象

B. 关于直线 x ?

? 对称 ? ? 对称 ?

D. .关于直线 x ?
?

? 2 ? ( 05 山东)已知函数 y ? sin( x ? 12 ) cos( x ? 12 ) ,则下列判断正确的是
?? ? A. 此函数的最小正周期为 2? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? B. 此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? C. 此函数的最小正周期为 2? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ?6 ? ?? ? D. 此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ?6 ?

问题 5.( 07 陕西)设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m, cos2x) , b ? (1 ? sin 2x, 1) ,
?π ? x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? , 2 ? .(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最 ?4 ?
小值及此时 x 值的集合.

? ?

?

?

(四)课外作业:
1. 要得到 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象,只需将 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象 π π π π A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 8 8 4 4 ? 2. 如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 a ? 8

(五)走向高考:
4. ( 05 天津)要得到函数 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?
图象上所有的点的

?
4

)的

C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动

? 个单位长度 4 ? D. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8
3 6

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B. 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4

A. 横坐标缩短到原来的

5. ( 06 江苏)为了得到函数 y ? 2 sin(x ? ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的
图像上所有的点

A. 向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变)
6 6 6 3 3

B. 向右平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变) C. 向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

D. 向右平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
6

?? ? 6. ( 07 安徽)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象为 C , ?? ?
①图象 C 关于直线 x ?

11 ? ? 5? ? ? 对称;②函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; 12 ? ?? ?? ? ? 个单位长度可以得到图象 C . ?

③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

以上三个论断中,正确论断的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 y 7. ( 06 安徽)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 ? ? ? ? 1 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示, ? 6 ? 则平移后的图象所对应函数的解析式是 O ? ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin( x ? ) ?1 6 6 ? ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 3 8. ( 05 福建)函数 y ? sin(? x ? ?) ( x ? R, ? ? 0 , y 0 ? ? ? 2? )的部分图象如图,则 1 ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? O 1 4 4 4 4

7 ? 12

x

3

x

?? ? 9. ( 07 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象 ?? ?
? ? ?? ? ?? ? A. 关于点 ? , 0 ? 对称 B. 关于直线 x ? 对称 C. 关于点 ? , 0 ? 对称 D. 关于直线 x ? 对称 ? ? ?? ? ?? ?

π? ?π ?? 10. ( 07 广东文)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 1) ,则 2? ?3 ??
该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为

A. T ? 6 , ? ?

? ? 11. ( 06 陕西)已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? 2sin 2 ( x ? )( x ? R). 6 12 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;(Ⅱ)求使函数 f ( x ) 取得最大值的 x 集合.

π π π π ; B. T ? 6 , ? ? ; C. T ? 6 π , ? ? ; D. T ? 6 π , ? ? 6 3 6 3

12. ( 05 全国Ⅰ文)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴

是直线 x ?

?
8

.(Ⅰ)求 ? ;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间;

(Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。

13. ( 03 全国)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 其图象关
于点 M (

3? ?? , 0) 对称,且在区间 ? 0, ? 上是单调函数。求 ?和? 的值。 ? 4 ? 2?

三角函数的图象和性质(二)
教学目标:掌握三角函数的定义域、值域的求法;理解周期函数与最小正周期的意义,会 求经过简单的恒等变形可化为 y ? A sin(? x ? ? ) 或 y ? A tan(? x ? ? ) 的三角函数的周期. 教学重点:求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提. (一)知识点归纳:
三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数 定义域 值域 周期

y ? sin x y ? cos x

R R

[?1,1] [?1,1]

2? 2?

y ? tan x

{ x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

R

?

(二)知识点解析:
1. 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组).一般可用三角函数的图象或三角函
数线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开 方数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的 定义域; 2. 求 三 角 函 数 的 值 域 的 常 用 方 法 : ① 化 为 求 代 数 函 数 的 值 域 ; ② 化 为 求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的值域;③化为关于 sin x (或 cos x )的二次函数式;

3. 三角函数的周期问题一般将函数式化为 y ? Af (? x ? ? ) (其中 f ( x) 为三角函数, ? ? 0 ).

(三)典例分析: 问题1.
求下列函数的定义域:

?1?

f ( x) ?

3 ? tan x ; ? 2 ? f ( x) ? tan(sin x) ; ? 3? f ( x) ?

2 cos x ? 1 tan x ? 1

问题 2.求下列函数的值域:

?1? y ?

2sin x cos 2 x cos x 3 ? sin x 1 ? sin x ; ? 2? y ? ; ? 3? y ? log 2 ; ? 4? y ? . 2 cos x ? 1 3 ? sin x 3 ? cos x 1 ? sin x

问题 3.求下列函数的周期:
sin 2 x ? sin(2 x ? ) 3 ; ? 2 ? y ? 2sin( x ? ? ) sin x ; ? 3? y ? cos 4 x ? sin 4 x ?1? y ? ? 2 cos 4 x ? sin 4 x cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3

?

问题 4.已知函数 f ? x ? ? ?a cos 2x ? 2
为 ? ?5,1? ,求常数 a , b 的值.

3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0,

? ?? ,值域 ? 2? ?

(四)课后作业:
1. 求函数 y ? lg sin x ?

1 ? cos x 的定义域. 2

2. 函数 y ? sin x ? 16 ? x2 的定义域为 3. 若方程 cos 2x ? 2 3 sin x cos x ? k ? 1 有解,则 k ? 4. ( 05 江西)设函数 f ( x) ? sin3x ? sin3x ,则 f ( x) 为( A. 周期函数,最小正周期为
2? 3


B. 周期函数,最小正周期为

? 3

C. 周期函数,数小正周期为 2?

D. 非周期函数
A.

5. ( 05 全国Ⅱ)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是 6. 函数 y ? sin6 x ? cos6 x 的最小正周期为 7. 函 数 y ? t a n x? c o t x的 周 期 是

? ? B. C. ? D. 2 ? 4 2

8. 已知函数 f ? x ? ?
值域

6cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 ,求 f ? x ? 的定义域,判断它的奇偶性,并求其 cos 2 x

(五)走向高考:
9. ( 04 四川)函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为 A.

? ? B. C. ? D. 2? 4 2

π? ? π? ? 10. ( 07 上海)函数 y ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? 的最小正周期 T ? 3? ? 2? ? ? ? ?? 11.( 06 福建) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ?? ? 0? 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 , 则? ? 3 4?
的最小值等于

A.

2 3 B. C. 2 D. 3 3 2

12. ( 07 安徽文)解不等式 ( 3x ?1 ?1)(sin x ? 2) ? 0 .

13. ( 07 天津)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

14. ( 07 重庆)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x .(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值.

4 5

专题二:平面向量及其运用
教学目标 考点 1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.

考点 2:向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点 3:解斜三角形. 考点 4:线段的定比分点、平移公式. 考点 5:向量的运用. 基本概念检测: 1、 _______________________叫做向量; 2、 ______________叫做共线向量(平行向量); 3、 ______________叫做相等向量; 4、 ______________叫做单位向量. 5、 向量加法法则是_____,________.减法法则是________. 6、设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? ? R , a ? b ? ______,它满足的运算性质有__ ______________. a- b=______,它满足的运算性质有________________. ? a=______,它满足的运算性质有________________. =____=_____,它满足的运算性质有____________. cos< a, b>=____________=__________________. a∥ b ? ____=_________;a⊥ b ? _____=_______. 6、 正弦定理的内容是____________________________. 7、 余弦定理的内容是____________________________. 9、定比分点坐标公式是______________(其中 ? =______). 10、平移公式是 ____________________. 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中, 在复习中要充分理解平面向量的相关概念, 熟练 掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件. 例 1:已知 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b = (-3,4)平行的单位向量,则向量 a 的终点坐标是 . 思路分析:与 a 平行的单位向量 e=±

a

|a|

方法一:设向量 a 的终点坐标是(x,y),则 a =(x-3,y+1),则题意可知
12 18 ? ? 12 1 18 9 ?x ? 5 ?x ? 5 ,故填 ( ,- )或( ,- ) ?4( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? 0 ? ?  解得? 或? ? 5 5 5 5 2 2 1 9 ( )? (y+ 1 )?1 ? x-3 ?y ? ? ?y ? ? ? 5 ? 5 ? ?

方法二 与向量 b = (-3,4)平行的单位向量是±

1 3 4 (-3,4),故可得 a=±(- , ),从而向量 a 5 5 5

的终点坐标是(x,y)= a-(3,-1),便可得结果. 点评:向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分 共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. 例 2:已知| a |=1,| b |=1,a 与 b 的夹角为 60°, x =2a-b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹角是多 少? 思路分析:要计算 x 与 y 的夹角 θ,需求出|x|,|y|,x?y 的值.计算时要注意计算的准确性.

解:由已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 α 为 60°,得 a?b=|a||b|cosα= 要计算 x 与 y 的夹角 θ,需求出|x|,|y|,x?y 的值. ∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a?b+b2=4-4? |y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6b?a+a2=9-6?

1 . 2

1 +1=3, 2

1 +1=7. 2

x?y=(2a-b)?(3b-a)=6a?b-2a2-3b2+a?b =7a?b-2a2-3b2 =7? 又∵x?y=|x||y|cosθ,即-

1 3 -2-3=- , 2 2

3 = 3 ? 7 cosθ, 2

∴cosθ=-

21 21 21 ,θ=π-arccos .即 x 与 y 的夹角是 π-arccos 14 14 14

点评:①本题利用模的性质|a|2=a2,②在计算 x,y 的模时,还可以借助向量加法、减法 的几何意义获得:如图所示,设 AB =b, AC =a, AD =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何 意义,得 BD = AD - AB =2a-b.由余弦定理易得| BD |= 3 ,即|x|= 3 ,同理可得|y|= 7 . 问题 2:平面向量与函数、不等式的综合运用 当平面向量给出的形式中含有未知数时, 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该 未知数的关系式.在此基础上,可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路 是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:①利用向量平行或垂直的充要条件,②利用向 量数量积的公式和性质. 例 3.已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=( 1 ,
2
3 ). 2

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系式 k=f(t); (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间. 思路分析:①欲求函数关系式 k=f(t),只需找到 k 与 t 之间的等量关系,k 与 t 之间的等 量关系怎么得到?②求函数单调区间有哪些方法?(导数法、定义法)导数法是求单调区间 的简捷有效的方法? 解:(1)法一:由题意知 x=(

t 2 ? 2 3 ? 3 3t 2 ? 2 3 ? 2 , ), 2 2

y=(

1 3 t- 3 k, t+k),又 x⊥y 2 2 1 t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 × ( t- 3 k)+ × ( t+k)=0. 2 2 2 2

故 x ·y=

整理得:t3-3t-4k=0,即 k=

1 3 3 t - t. 4 4

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(

1 3 , ), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b 2 2
1 3 3 t- t 4 4

∵x⊥y,∴x ·y=0,即-k a 2+t(t2-3) b 2=0,∴t3-3t-4k=0,即 k= (2) 由(1)知:k=f(t) =

1 3 3 3 3 t - t ∴kˊ=fˊ(t) = t3- , 4 4 4 4

令 kˊ<0 得-1<t<1;令 kˊ>0 得 t<-1 或 t>1. 故 k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 点评: 第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的 坐标运算分别求得两个向量的坐标, 再利用向量垂直的充要条件; 二是直接利用向量垂直的 充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程 大大简化,值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇 点处的综合运用. 演变 3: 已知平面向量 a =( 3 ,-1), b =(

?

?

1 3 , ),若存在不为零的实数 k 和 2 2
?

角α ,使向量 c = a +(sinα -3) b , d =-k a +(sinα ) b ,且 c ⊥ d ,试求实数 k 的取 值范围. 点拨与提示:将例题中的 t 略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查 了向量与三角函数、不等式综合运用能力. 演变 4:已知向量 a ? (1, 2 ),b ? (? 2,1) ,若正数 k 和 t 使得向量

?

?

?

?

?

?

?

1 x ? a ? (t 2 ? 1)b与 y ? ?k a ? b 垂直,求 k 的最小值. t
点拨与提示:(1)利用向量垂直的充要条件找到 k 与 t 之间的等量关系.(2)利用均值不等 式求最值. 问题 3:平面向量与三角函数的综合运用 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了 对双基的考查. 例 4.设函数 f (x)=a ·b,其中向量 a=(2cosx , 1), b=(cosx, 3 sin2x), x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

? ? , ],求 x; 3 3

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n) ( m ﹤ 象,求实数 m、n 的值.

? )平移后得到函数 y=f(x)的图 2

思路分析: 本题主要考查平面向量的概念和计算、 平移公式以及三角函数的恒等变换等

基本技能, 解: (1)依题设,f(x)=(2cosx,1)?(cosx, 3 sin2x) =2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

? ) 6

由 1+2sin(2x+ ∵-

? ? 3 )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=- . 6 6 2

? ? ? ? 5? ≤x≤ , ∴- ≤2x+ ≤ , 6 3 3 2 6 ? ? ? ∴2x+ =- , 即 x=- . 6 3 4
(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图 象,即函数 y=f(x)的图象. 由(1)得 f (x)= 2 sin 2( x ?

?
12

) ?1 ∵ m <

? , 2

∴m=-

? ,n=1. 12

点评: ①把函数的图像按向量平移,可以看成是 C 上任一点按向量平移,由这些点 平移后的对应点所组成的图象是 Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系, 也就找到了此问题的解题途径.②一般地,函数 y=f (x)的图象按向量 a=(h , k)平移后的函数 解析式为 y-k=f(x-h) 演变 5:已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π), (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模大小相等(k∈R 且 k≠0),求 β-α

【临阵磨枪】 1.已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), | c |? A 30° B 60° C 120°

5 , 若(a ? b) ? c ?

5 , 则a与c的夹角为 ( 2



D 150°

2.已知点 M1(6,2) 和 M2 (1,7), 直线 y ? mx ? 7 与线段 M1M2 的交点分有向线段 M1M2 的比为 3:2,则的值为 A ( ) D 4 )

3 ? 2 ? 6

B

2 ? 3 ? 3

C

1 4

3.已知 a,b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是(

2? 5? A B C D 3 6 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 4. 已知向量 OB =(2, 0),向量 OC = (2, 2) , 向量 CA = ( 2 cos ?, 2 sin ? ) , 则向量 OA

与向量 OB 的夹角的范围为 A [0,

??? ?





? 5? , ] 12 12 ???? ??? ? 5.设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,则 OA ? OB =(
B [ C [ D [ A

? ] 4

? 5? , ] 4 12

5? ? , ] 12 2



3 4

B

?

3 4

C 3

D -3

6.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP = OA +λ (),

??? ? ????

? ? [ 0, ? ? ) ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
A 外心 B 内心 C 重心

) D 垂心

7.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v ? (4, ?3) (即点 P 的运动方向与 v 相同,且 每秒移动的距离为 v 个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则5秒后点 P 的 坐标为( ) A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10) 8.已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则( A

?

?

?

?

?

?

?



? ? a⊥e

B

? ? ? a ⊥( a - e )

C e ⊥( a - e )

?

?

?

D ( a + e )⊥( a - e ) )

?

?

?

?

9. P 是△ABC 所在平面上一点, 若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , 则 P 是△ABC 的 (D A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4 4 4 2 2 2 10.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则∠C 度数是: A 60
0

B 45 或 135

0

0

C 120

0

D 30

0

11.已知向量 a=( cos ?,sin ? ),向量 b=( 3, ?1 ),则|2a-b|的最大值是 12. 把函数 y=2x2-4x+5 的图像按向量 a 平移, 得到 y=2x2 的图像, 且 a⊥b, c=(1,-1), b? c=4, 则 b= 13 . 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=3,| BC |=4 , | CA |=5, 则

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于

.

14. 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点, 若 AM=2, 则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是_____. π π 15.已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ;(Ⅱ)求|a+b|的最大值. 16.06 年江西卷)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、 N 分别是 边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G,
A

?
M B D

N

C

设?MGA=?(

?
3

?? ?

2? ) 3

(1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2) 表示为?的函数 (2) 求 y= 高考真题

1 1 + 2 的最大值与最小值 2 S1 S2
?

安徽 2011(14)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且 a ? , b ? 2 ,则 a 与 b 的 夹角为 . 安徽 2010 16、(本小题满分 12 分)

?

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?
(Ⅰ)求 AB?AC ;

12 。 13

??? ? ??? ?

(Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 安徽 2009 ( 14 )在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或

??? ? ??? ? ??? ? AC = ? AE + ? AF ,其中 ? , ? ? R ,则 ? += ? _________.


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