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第4节 有理函数的积分


第三节 有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分

三、简单无理函数的积分

四、小结及作业

1

一、有理函数的积分
有理函数: 有理函数: Pn ( x ) a0 x n + a1 x n?1 + L + a n?1 x + a n R( x ) = = Qm ( x ) b0 x m + b1 x m ?1 + L + bm ?1 x + bm

其中 m 、 n 都是非负整数; a 0 , a1 ,L , a n 及 都是非负整数;

b0 , b1 ,L , bm 都是实数,并且a 0 ≠ 0 ,b0 ≠ 0 . 都是实数,
Pn ( x ) 有理函数的积分: 有理函数的积分: ∫ dx Qm ( x )

x +1 dx , 如∫ 3 x +1? 7



x4 + x ? 3 dx , x +5

x+ x ∫ 3 x 2 + 1dx 不是 2

Pn ( x ) 求积步骤: ∫ Qm ( x )dx 求积步骤:
1、如果是假分式,则利 用多项式除法 如果是假分式, 式之和, 化成一个多项式与真分 式之和,
Pn ( x ) Pl ( x ) = Rn? m ( x ) + (l < m ) 即 Qm ( x ) Qm ( x )
多项式

Pl ( x ) 2、对真分式 用待定系数法 Qm ( x ) 化为部分分式。 化为部分分式。
3

真分式化为部分分式之和的一般规律: 真分式化为部分分式之和的一般规律:
Pl ( x ) 对于真分式: 对于真分式: Qm ( x )
(1)分母中若有因式 ( x ? a ) ,则分解后为 )
k

A1 A2 Ak , + + L+ k k ?1 ( x ? a) ( x ? a) x?a
都是常数. 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是常数

A ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 x?a
4

(2)分母中若有因式 ( x + px + q ) ,其中 ) 2 p ? 4q < 0 则分解后为
2 k

M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k ?1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .

Mx + N ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 2 x + px + q
5

为下列四个类型之和: 这样任一真分式都可化 为下列四个类型之和:

A B M1 x + N 1 M2 x + N2 , , 2 , 2 n n x ? a ( x ? a ) x + px + q ( x + px + q )
前三种类型可直接积分 ,而第四种类型 可用递推公式求出, 可用递推公式求出,

结论: 结论: 能积出来。 任一有理函数的积分总 能积出来。

6

例1

x3 ? 2 x2 + 5 将 2 化为多项式及真分式之 和。 x ? x?2
x2 ? x ? 2

x ? x ? 2x
3

x ?1 3 2 x ? 2x + 5
2

? x 2+ 2 x + 5 2 ? x + x +2 x +3

x3 ? 2 x2 + 5 x+3 ∴ 2 = x ?1 + 2 x ? x?2 x ? x?2
7

例2

x+3 x+3 A B , = = + 2 x ? 5 x + 6 ( x ? 2)( x ? 3) x ? 2 x ? 3
Q x + 3 = A( x ? 3) + B( x ? 2), ∴ x + 3 = ( A + B ) x ? ( 3 A + 2 B ), ? A = ?5 ? A + B = 1, , ?? ?? ?B = 6 ? ? ( 3 A + 2 B ) = 3,

x+3 6 ?5 ∴ . = + 2 x ? 5x + 6 x ? 2 x ? 3

8

A B C 1 , + + 例3 2 = 2 x ( x ?1 ) x ( x ? 1) x ? 1
1 = A( x ? 1) 2 + Bx + Cx ( x ? 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ? A = 1 取 x = 1, ? B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ? C = ?1

(1)

1 1 1 1 . ∴ = + ? 2 2 x ( x ? 1) x ( x ? 1) x ? 1
9

1 A Bx + C , + 例4 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,

2B ? A + 2B = 0, 4 2 1 ? ? B + 2C = 0, ? A = , B = ? , C = , 5 5 5 ? A + C = 1, ? 4 2 1 ? x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
10

例5

x +1 2 2 2 x ( x + 3)( x + 1)
4

C A B Dx + E Fx + G = + 2+ + 2 + 2 x x x + 3 x + 1 ( x + 1)2

11

1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 x ( x ? 1)
1 1 1 ? ?1 dx = ∫ ? + 解 ∫ 2 2 ? ? dx x ( x ? 1) ? x ( x ? 1) x ? 1?

1 1 1 dx ? ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x ( x ? 1) x ?1
1 = ln x ? ? ln( x ? 1) + C . x ?1

12

1 dx . 例7 求积分 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x )

4 2 1 ? x+ 1 dx = ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5 dx 解 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1+ 2x 1+ x

2 1 2x 1 1 = ln(1 + 2 x ) ? ∫ dx + ∫ dx 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) ? ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5

13

例8 求积分


x 6

1 1+ e + e + e
? x = 6 ln t ,
x 6

x 2

x 3

x 6

dx .



令t=e



1 1+ e + e + e
x 2 x 3

6 dx = dt , t

dx = ∫

1 6 ? dt 3 2 1+ t + t + t t

1 3 3t + 3 ? ?6 = 6∫ dt = ∫ ? ? ? dt 2 2 ? t (1 + t )(1 + t ) ? t 1+ t 1+ t ?

14

3 3t + 3 ? ?6 = ∫? ? ? dt 2 ? ? t 1+ t 1+ t ?
3 d (1 + t 2 ) 1 = 6 ln t ? 3 ln(1 + t ) ? ∫ 1 + t 2 ? 3∫ 1 + t 2 dt 2

3 = 6 ln t ? 3 ln(1 + t ) ? ln(1 + t 2 ) ? 3 arctan t + C 2
3 = x ? 3 ln(1 + e ) ? ln(1 + e ) ? 3 arctan(e ) + C . 2
x 6 x 3 x 6

15

注:尽量用简单的方法 积分

例9



x 4 x

2

1 x? 1 x +C = arctan 2 2

1 1 d(x ? ) 1+ 2 +1 x x dx = dx = ∫ 1 2 1 2 +1 x + 2 (x ? ) + 2 x x



16

例10. 求

∫ (x2 + 2x + 2)2 dx
2

x

2

(x + 2x + 2) ? (2x + 2) dx 解: 原式 = ∫ 2 2 (x + 2x + 2) 2 dx d(x + 2x + 2) =∫ ?∫ 2 2 2 (x +1) +1 (x + 2x + 2)

= arctan( x +1) +

1 x + 2x + 2
2

+C
17

二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义: 三角有理式的定义: 由三角函数和常数经过有限次四则 运算构成的函数

一般记为 R(sin x , cos x ) 3 cos x + 1 tan x 2 , 如 2 + cos x , 5 sin x ? 5 sin x + sec x

sin x 不是 cos x + 3

x sin x 也不是 tan x + cos x
18

问题:如何积分 ∫ R(sin x , cos x )dx ?
1、对于 R(sin x , cos x )
(1)如果R( ? sin x , cos x ) = ? R(sin x , cos x ),

( 2)如果R(sin x ,? cos x ) = ? R(sin x , cos x ), (3)如果R( ? sin x ,? cos x ) = R(sin x , cos x ),

令t = cos x

令t = sin x

令t = tan x
19

例1. 求

x 为奇函数, 故令t = sin x , (cos2 x ? 2) cos x dx (sin 2 x +1) d sin x 原式 = ∫ = ?∫ 2 4
解: 因被积函数关于 cos

∫ 1+ sin 2 x + sin 4 x dx .

cos3 x ? 2cos x

1+ sin x + sin x

= ?∫

(t +1) dt
2

1+ t + t
2

4 = ?∫

1+ 1 2
t 2

1+ sin x + sin x
2 4

= ?∫

d(t ? 1 ) t 1)2 + 3 (t ? t

t +1+ 1 2
t

dt
t ?1
t

=?

1 arctan 3

3

+C
20

=?

1 arctan cos2 x + C 3 3 sin x

dx (ab ≠ 0) . 例2. 求 ∫ 2 2 2 2 a sin x + b cos x
解: 原式 =



1 dx 2 cos x

a tan x + b
2 2

2

=

1 a
2

∫ tan2 x + ( b )2
a

d tan x

1 a = arctan( tan x ) + C ab b
21

1 dx (ab ≠ 0) . 例3. 求 ∫ 2 (a sin x + b cos x)
解法 1 .

dx 原式 = ∫ 2 2 (a tan x + b) cos x
令 t = tan x ,

1 +C =∫ =? 2 (at +b) a(at + b)
dt

cos x =? +C a(asin x + b cos x)

22

1 dx (ab ≠ 0) 例3. 求 ∫ 2 (a sin x + b cos x)
解法 2 . 令

a a2 + b2

= sin ? ,

b a2 + b2

= cos? ,

原式=

1
2

a ? = arctan b

,

=

tan( x ??) + C 2 2 a +b 1 a = 2 2 tan( x ? arctan ) + C b a +b

a +b 1

2

∫ cos2(x ??)

dx

23

2、万能代换
x x 2 tan 2 tan x x 2 = 2 , Q sin x = 2 sin cos = 2 2 sec 2 x 1 + tan 2 x 2 2 2 x 2 x cos x = cos ? sin , 2 2

对于 ∫ R(sin x , cos x )dx

24

x 2 x 1 ? tan 1 ? tan 2= 2, cos x = 2 x 2 x sec 1 + tan 2 2 x x = 2 arctan u (万能置换公式) 万能置换公式) 令u = tan 2
2

2 2u 1? u 2 sin x = , cos x = , dx = du 2 2 2 1+ u 1+ u 1+ u

? 2u 1 ? u ? 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx =∫ R? 1 + u2 , 1 + u2 ? 1 + u2 du. ? ?
2
25

sin x dx . 例4 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x = 2 1+ u 1 ? u2 2 cos x = dx = du, 2 2 1+ u 1+ u sin x 2u ∫ 1 + sin x + cos x dx = ∫ (1 + u)(1 + u2 )du

2u + 1 + u2 ? 1 ? u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
26

(1 + u)2 ? (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du ? ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u

1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) ? ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | ? ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2

27

1 dx . 例5 求积分 ∫ 4 sin x x 2u 2 , dx = du, 解(一) u = tan , sin x = 2 2 2 1+ u 1+ u 2 4 6 1 dx = 1 + 3u + 3u + u du ∫ sin 4 x ∫ 8u 4 1 1 3 u3 = [ ? 3 ? + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1? x? + tan + ? tan ? + C . =? 3 ? 2 24 ? 2? x ? 8 tan x 8 ? 24? tan ? 2 2? ?
28

解(二) 可以不用万能置换公式 可以不用万能置换公式.

1 dx = ∫ csc 2 x (1 + cot 2 x )dx ∫ sin 4 x
= ∫ csc xdx + ∫ cot x csc 2 xdx
2 2

1 3 = ? cot x ? cot x + C . 3

= d(cot x)

比较以上三种解法, 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定 是最佳方法, 是最佳方法 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换. 虑其它手段 不得已才用万能置换
29

例6

d (1 + sin x ) cos x dx = ∫ ∫ 1 + sin x 1 + sin x

= ln(1 + sin x ) + C
sin x cos x 1 2 sin x cos x + 1 ? 1 dx 例7 ∫ dx = ∫ 2 sin x + cos x sin x + cos x
1 (sin x + cos x ) 2 1 1 = ∫ dx ? ∫ dx 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x
π
d(x + ) 1 1 4 = (sin x ? cos x ) ? ∫ 2 2 2 sin( x + π ) 4 1 1 x π = (sin x ? cos x ) ? ln tan( + ) + C 2 2 8 2 2

30

1 + sin x dx . 例8 求积分 ∫ sin 3 x + sin x A+ B A? B 解 sin A + sin B = 2sin cos 2 2 1 + sin x 1 + sin x ∫ sin 3 x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx 1 + sin x dx =∫ 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx + ∫ = ∫ dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
31

1 1 1 sin2 x + cos2 x dx dx + ∫ = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x cos x 1 sin x 1 1 1 1 dx + ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x
1 1 1 1 1 1 d (cos x ) + ∫ dx + ∫ dx =? ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x

1 1 x 1 = + ln tan + tan x + C . 4 cos x 4 2 4
32

三、简单无理函数的积分
ax + b 讨论类型 R( x , ax + b ), R( x , ), cx + e
n

n

解决方法 作代换去掉根号. 作代换去掉根号.

1 1+ x 例9 求积分 ∫ dx x x


1+ x 2 1+ x 令 =t , =t ? x x
33

1 x= 2 , t ?1

dx = ?

(t

2tdt
2

? 1)

2

,

2t t 2dt 1 1+ x (t 2 ? 1)t 2 2 dt = ?2∫ 2 ∫ x x dx = ? ∫ t ?1 (t ? 1)
t ?1 1 ? ? +C = ?2 ∫ ? 1 + 2 ? dt = ?2t ? ln t +1 t ? 1? ?
2 ? ? 1+ x 1+ x ? ? = ?2 ? ln ? x ? ? 1? ? + C . x x ? ? ? ? ? ?
34

1 dx . 例10 求积分 ∫ 3 x +1+ x +1
t 6 = x + 1 ? 6t 5dt = dx , 解 令 1 1 dx = ∫ 3 2 ? 6t 5dt ∫ x+1+ 3 x+1 t +t 3 t dt = 2t 3 ? 3t 2 + 6t + 6 ln | t + 1 | + C = 6∫ t +1
= 2 x + 1 ? 33 x + 1 + 36 x + 1 + 6 ln( 6 x + 1 + 1) + C .
说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数 最小公倍数.
35

例11 求积分 解



x dx . 3x + 1 + 2x + 1

先对分母进行有理化

x ( 3 x + 1 ? 2 x + 1) 原式 = ∫ dx ( 3 x + 1 + 2 x + 1)( 3 x + 1 ? 2 x + 1)
= ∫ ( 3 x + 1 ? 2 x + 1)dx

1 1 = ∫ 3 x + 1d ( 3 x + 1) ? ∫ 2 x + 1d ( 2 x + 1) 3 2 3 3 2 1 2 = ( 3 x + 1) ? ( 2 x + 1) 2 + C . 9 3
36

四、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分 (注意:必须化成真分式) 注意:必须化成真分式) 三角有理式的积分.(万能置换公式) 三角有理式的积分 (万能置换公式) (注意:万能公式并不万能) 注意:万能公式并不万能) 简单无理式的积分. 简单无理式的积分

37

习题4 ? 4 P218

单数
总习题四 P221

全做
38

思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么? 将分式分解成部分分式之和时应注意什么?

39

思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式. 分解后的部分分式必须是最简分式

40

练习题
一、填空题: 填空题: 3 Bx + C ? ? A ____, dx = ∫ ? 1、∫ 3 + 2 ? dx ,其 A = ____, x +1 ? x + 1 x ? x + 1? B = ________ ,C = __________; _______ ____ __________ _____; ? A x2 + 1 B C ? dx = ∫ ? 2、∫ + + ? dx , 2 2 x + 1 x ? 1? ( x + 1) ( x ? 1) ? ( x + 1) _____, _____, _______; 其中 A = _____, B = _____,C = _______; dx __________ _________ 3、 计算 ∫ , 可用万能代换sin x = ___________, 2 + sin x ____________; dx = _____________; __ dx , 令t = ___, x = ___,dx = ____ . 4、计算 ∫ ___, ax + b + m
41

5、有理函数的原函数都是_________ . 有理函数的原函数都是_________ 二、求下列不定积分: 求下列不定积分: xdx 1、 ∫ ; ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 1 3、 dx ; 3、 ∫ 4 1+ x dx 5、 5、 ∫ ; 2 sin x ? cos x + 5 1 ? x dx ; 7、 ∫ 7、 1+ x x

dx 2、 2、 ∫ 2 ; 2 (x + 1)(x + x ) dx 4、 4、 ∫ ; 2 3 + sin x x +1?1 6、 dx ; 6、 ∫ x +1+1 dx 8、 ∫ 8、 . 2 4 3 ( x + 1) ( x ? 1)

42

: 三、求下列不定积分(用以前学过的方法) 求下列不定积分(用以前学过的方法) x 1 + cos x 1、 2、 1、 ∫ dx ; 2、 ∫ dx ; 3 x + sin x (1 ? x ) dx sin 2 x 4、 dx ; 3、 ∫ 4 ; 4、 ∫ 3 2 cos x x 1+ x sin x x3 6、 dx ; 5、 ∫ 6、 ∫ dx ; 8 2 (1 + x ) 1 + sin x 3 x xe x dx ; dx ; 8、 7、 ∫ 8、 ∫ x 2 3 x( x + x ) (e + 1) 10、 9、∫ [ln( x + 1 + x 2 )]2 dx ; 10、∫ 1 ? x 2 arcsin xdx ; sin x cos x dx 11、 dx ; 12、 11、 ∫ 12、 ∫ . sin x + cos x ( x ? a )(b ? x )
43

练习题答案
2u 2du 1 1 2、 , 一、1、1 , ? 1 , 2 ; 2、-1, , ;3、 ; 2 2 2 2 1+ u 1+ u t 2 ? b 2t 4、 5、 4、 ax + b , , dt ; 5、初等函数 . a a 1 ( x + 2) 4 二、1、 ln + C; 3 2 ( x + 1)( x + 3) 1 x4 1 2、 2、 ln ? arctan x + C ; 2 2 4 (1 + x ) (1 + x ) 2 2 x 2 + 2x + 1 2 3、 arctan( 2 x + 1) 3、 ln 2 + 8 x ? 2x + 1 4 2 arctan( 2 ? 1) + C ; + 4
44

2 tan x 4、 arctan 4、 + C; 2 3 3 x 3 tan + 1 1 2 5、 5、 arctan + C; 5 5 6、 6、 x ? 4 x + 1 + 4 ln( 1 + x + 1) + C ; 1? x ? 1+ x 1? x 7、 + 2 arctan + C ,或 7、ln 1+ x 1? x + 1+ x 1 ? 1 ? x2 ln ? arcsin x + C ; x 33 x +1 + C. 8、 8、 ? 2 x ?1

1

45

1 1 三、1、 ? +C; 2 2(1 ? x ) 1 ? x 2、ln( x + sin x ) + C ; (1 + x 2 ) 3 1 + x2 3、 ? + + C; 3 x 3x sin x 1 ? ln(sec x + tan x ) + C ; 4、 4、 2 cos 2 x 2 x4 1 5、 + arctan x 4 + C ; 5、 8(1 + x 8 ) 8 2 6、 + x + C ,或sec x + x ? tan x + C ; 6、 x 1 + tan 2
46

x 7、ln 6 +C; 6 ( x + 1) xe x 8、 x ? ln(1 + e x ) + C ; e +1 x[ln x + 1 + x 2 )]2 9、 ; 2 2 ? 2 1 + x ln( x + 1 + x ) + 2 x + C (arcsin x ) 2 x x2 10、 1 ? x 2 arcsin x ? 10、 + + C; 4 2 4 1 1 1 + 2 cos x ln 11、 + C; 11、 (sin x ? cos x ) + 2 2 2 1 + 2 sin x x?a +C. 12、 12、 2 arctan b? x
47


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