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利用多种数学方法剖析2012年高考物理试题


2 0 1 3年 6月  

V o 1 . 3 1  N o . 1 1  

中学物理 

利 用 多 种 数 学 方 法 剖 析 2 0   1   2年 高 考 物 理 试 题  
李  欣 
( 大庆实验中学 黑龙江 大庆
应用数学知识处理物理问题的能力是高考 要求学生必  须具备并重点考查的基本 能力之一 , 因此数理 的结合 一直 以 

1 6 3 3 1 6 )  

( 2 ) 此 问的切入点就应该 是这句话 : 不 管沿拖 杆方 向的  推 力多 大 , 都不可能使 拖把从静 止开 始运动. 根据 对此话 的  理解 可以从 以下两个数学 角度进行求解.  

来都深受 高考命题者 的青睐 , 而且从近几年的命题 中能够发  现此能力的考查也在逐渐 升温 , 本文通过剖析 2 0 1 2 年高考试 
题 中的数理结合进行分析 教师和学 生在复 习时应 重视 的数 

解 法一  三角 函数极值法 
根据这句话可以应用数学 知识列不等式 , 即 
F s i n 0≤ A   ( 5 )  

学思想和方法 , 希望对读者有所 帮助.  
1   三 角 函数 极 值 法 、 极 限 法 

这时, ( 1 )式仍满足 , 联立( 1 ) 、 ( 5 )式得 

例题 1   ( 新课标卷 2 4题)拖把是 由拖杆和拖把 头构成  的擦地 工具( 如图1 ) . 设拖把 头的质量为 玑, 拖杆 质量可以忽 

s i n 0 一 A c o s O ≤A 华  , 
零, 故使上式成立的 0 角的取值范围有 
s i n 0 一 Ac o s O≤ 0 .  

( 6 )  

略; 拖把 头与地板之间的动摩擦 因数为常数肛, 重力加速度为 
g 。 某同学用该拖把 在 水平地 板上拖 地 时, 沿拖杆 方 向推 拖 
把, 拖 杆 与 竖直 方 向 的 夹 角 为  

注意到上式右边 总是 大于零 , 且 当 F无 限 大时极 限 为 

( 1 ) 若 拖 把 头 在 地 板 上 匀 速 移 动 ,求 推 拖 把 的 力 的 
大 小.  

使 上式成立 的角满足 0≤ 岛, 这里 是题 中所 定义 的临界  角, 即当 0≤ O o时 , 不管 沿拖 杆方 向用 多大 的 力都 推不 动 
拖把.   则 


( 2 ) 设 能使 该 拖 把 在 地 板 上 从 静 止 刚 好 开 始 运 动 的 水 

平推 力与此 时地板对拖把 的正压力的比值为 .已知存在一  临界 角 O o , 若 0≤ 0 o , 则不管沿拖杆方向的推 力多大 , 都不可 
能使 拖 把 从 静 止 开 始 运动 . 求 这 一 临界 角 的 正切 t a n 0 o .  

s i n 0 o—A c o s  ̄ =0 ,  
t a n 0 0   A.  

解 法 二  极 限 法 

剖析  此题作 为新课 标卷的第一道计算 题出现 , 但由  

对于这句话 可以理解 为: 当 F无 限大时依 然推不 动 , 根 
据 第 一 问结 果 的表 达 式 F   当  无 限大 时 应 该 满 足 
s i n O—A c o s 0 =0   ( 7)  
t Z l x c o s o m g可 知 s i n 0-

于此处数理结合 的特 点使其难度较大, 很多考生感觉找不到 
切入点 , 失分率较高. 此题数理结合 点主要在 第二问 中, 如何  才能从数学角度快而准的切人物理问题呢? 如果能 够做到 物  理现象抽象准确 、 隐含条件挖掘到位 、 数学知识恰 当应用 , 那 

:  

么也就迎刃而解了. 这道考题 对于考生来说模型 比较 容易建  立, 在第二问中有这样一个隐含条件 的理解 : F s i n 0≤ A   或 
,趋于无穷大时对应 临界角  , 由此就 可以准确确定处理 问  题的数学方法.   解析  ( 1 ) 通过 审题可抽象成 如图2 所示 的物理模型并 
进 行 受 力 分 析.  

由于此时对应的临界角为 氏, 则( 7 ) 式中 0 应该为  , 即 
s i n   一A c o s 0 o=0   ( 8 )  

由( 8 )式可得

t a n   =A .  

通 过 上 面 两 种 方 法 的 分 析 可 以 看 到 解 法 二 的 极 限 法 相 

对来说 比较简单 , 如果 在处理物 理 问题 时 , 经常 多种 方法进 
行 比较 也有 助 于 解 题 方 法 的形 成 .  

2   函数解析法、 均值不等式法  例 题2 ( 全国 I卷2 6 题 )一探 险队员在探 险时遇 到一 
山沟 , 山沟 的 一侧 竖 直 , 另 一侧 的坡 面 呈 抛 物 线 形 状. 此 队员  
从 山 沟 的 竖 直一 侧 , 以速 度  沿 水 平 方 向 跳 向 另一 侧 坡 面.  
拖 
mg  

如图3所示, 以沟底的 0点为原点建 
立坐标 系 O x y . 已知 , 山 沟 竖 直 一 侧  的高度为 2 ^ , 坡 面 的 抛 物 线 方 程 为 
y=  
F   N  

图L  

图2  

根据平衡条件有 
F c o s 0 +mg  

, 探 险 队 员的 质 量 为 m? 人 

( 1 )   ( 2 )  
( 3 )  

F s i n 0= |  

视为质点 , 忽略 空 气 阻 力 , 重 力 加 速  葭为g .  

图3  

式中 F   与, 分别为地板对拖 把的正压力和摩擦力 
又由于  f=  
P ' l z c o s O mg  s i n 0-

( 1 )求此人落到坡 面时的动能 ;  
( 2 )此 人 水 平跳 出的 速度 为 多 大 时 , 他 落 在 坡 面 时 的 动  能最 小? 动 能 的最 小值 为 多少?  

联立( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 )式 得 
F =

( 4 )  

剖析  此题关键 点在 于求 出平抛 的竖直位 移. 难 点也 

?

6 8?  

中学物理 

V o 1 . 3 1  N o . 1 1  

2 0 1 3 年 6月  是近几年压轴题的青睐. 本题关键点在 于求 出粒 子在磁场 区 

在 于数学方法的处理技巧. 由于题 中的已知条件给 出一个抛 

物线方程 , 因此可 以联 想到求解 平抛 的抛物线方 程 , 然后进  行两解析 函数求交点的方法进 而求得 竖直位 移 ; 此题也 可以  根据落 点的几何关系得出竖直位移.  
解 析  ( 1 )  

域 的轨迹半径 , 如何通过 已知 条件求 半径 呢? 对于这一 点很  多考生无从下手 , 感觉好 像缺 少 已知条件 , 实 际上是没 有抓  准几何关 系. 要想在有 限时 间 内快 又准 的确定解题 方法 , 这  就有赖 于在平 时的教学 中数 学思想 的渗透 和数学方 法 的总  结. 本考题可 以从这样两个 角度求解轨迹半径.   解法一  几何 图形法 求轨 迹半径 
设 圆周轨迹的半径为 r , 过b 点和 0   点作直线 的垂线 , 分别与 直线交于 c 和  d点 ( 图5 ) .   由几何关系知 , 线 段O , C 、 b c 和过 a . b  

解法一  函数解 析法求竖直位移 

人运动的抛物线轨迹方程 
Y =2 h—h  =2 h一   ,  
/  ̄ - V 0  

坡面的抛物线方程为  Y=弓   ;  
由数学知识易得两者交点坐标 (   。 , Y 。 )为 


两点的轨迹 圆弧 的两条 半径 围成 一正 
方形.  
因此   a c= b e= r   ( 1 )  
图5  

2  


2 h v   、  

g h+  。 2  

平抛运动竖直位移 

设c d=  , 由几何关 系得 


h , : 2 h - Y l :   g r ‘ 咚 ’ .    
0  

牟R 5  +  
+ 

( 2 )  
( 3 )  

落到抛物线侧面上时的动能 


= 

÷  + m g h   =  
Y l+Y 2= 2 h ,  

+ 寺 舢  
= 2 | i l ,  

解法二  几何 图形法求竖直位移 
由 

联立( 2 ) 、 ( 3 ) 、 ( 4 ) 式得r = ÷R  
解法二  三角 函数运算法求轨迹半径  设  O a d =0 , 由题可 知 

( 4 )  

即  
得出平抛 竖直位移.  

( 音 )  

s i n   = ÷ ,  
即 0= 3 7。 .  

( 2 )均值不等式法 

扣 + m g h   =  
=  + 

+ ÷ 删  
一  

根据几 何关系和 三角 函数运算 法 
则可 得 

I  
? 

西 =2 R C 0 8 ( 4 5 。 一3 7 。 )  
=2 R( c o s 4 5 。 c o s 3 7 。+s i n 4 5 。 s i n 3 7 。 ) ,  

6  

由于 

2 h  2 g 2 m ^ g +


÷ m ( g h +   ) ≥ 2 m g ^ ,  
一  

整理得 

r=÷R .  

故动能最小值为÷m g h .  
当  即  =  
2 h 2 2 a r g   一  2  ‘   ( h n g   + ’ 。     V O   ) , ’   f +  2


下面再 由电磁场知识可 以求解 :   由牛顿第二定律 和洛伦兹力公式得 
2  


q v B =m  

( 5 )  

7 l 时动能有最小值.  

粒子在 电场中做类平抛运 动 , 由牛顿第二定律得 
q E =m a   ( 6 )  

可以说此题第二 问就是在上一 问的基础 上考查数 学方 

法处理极 值问题 , 与物理知识无关. 在物理问题 中, 用 均值不  等式法求极值也是常用手段.  
3   几何 图形法、 三角 函数的运算法 


粒 子在电场方向和直线 方 向所走 的距 离均为 r , 由运 动学公 
式得  


r = — =

— 0 t  

( 7 )  
( 8 )  

例题 3 ( 新课标卷 2 5题 ) 如图4 , 一半径为  的圆表示  柱形 区域的横截 面( 纸 面) . 在柱形 区域 内加一 方向垂直 于 

纸 面的 匀强磁场 , 一质量为 m、 电荷量为 口 的粒子沿图中直线  在 圆上的 口点射入柱形区域 , 在 圆上的 b点 
离 开该 区域 , 离 开 时速 度 方 向 与 直 线 垂 直.  

r= V t   联立( 5 )~ ( 8 )式 得 E = — 1 4 q   R   B   2
. 

通过上面三道 高考试 题可 以看 到数学 方法解决 物理 问  题的重要 工具 , 合理地选择数学方法能使 一些复杂的物理 问  题简单 化 , 起到 事半功倍 的效果. 因此 , 作为教 师 , 课 堂上要 

圆心0到直线的距离为÷ R . 现将磁场换为   J 
平 行 于 纸 面 且 垂 直 于 直 线 的 匀强 电 场 。 同  


粒子 以同样速度 沿直 线在 口点射入柱形 

区域 , 也 在 b点 离开 该 区域 . 若 磁 感 应 强 度  图4   大小为 B, 不计重力, 求电场 强度的大小.   剖析  这是整套试 卷的压轴题 , 对于考生来说难 度较 

大, 通过分析就会发现此 题难就难在 了数理结合 上 了, 这也 

渗透并培养学生对不 同物 理题 型灵活运 用不 同数 学方 法去  处理解决 的能力 ; 作 为学 生 , 在平 时 的学 习 中既要认 真 学好  物理知识 , 还要努力 提高 自己的数学能力 , 注意数 、 理 知识 的   结合点和结合方法. 在高 三的物理 系统复习时要常运 用数学  思想解题 , 熟练数理 结合 的方 法和技 巧 , 这样对 于学生 能力  培养起着至关重要 的作用.  
?

6 9?  


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