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2013年全国卷1新课标卷(理科数学)


2013 年全国卷 1 新课标卷(理科数学卷)
第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共12小题。每小题5分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x+1) 2 < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N=( (A) {0,1,2} (B) {-1,0,1,2} (C){-1,0,2,3} (2)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z =( (A) ?1 ? i (B) ?1 ? i ) (D) 1 ? i ) )

(D){0,1,2,3}

(C) 1 ? i

(3)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 =( (A) 1 (B) ? 1 (C) 1 (D) ? 1

3

3

9

9

(4) 已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 ? ,n⊥平面 ? 。直线 l 满足 l ⊥m, l ⊥n,

l ? ? , l ? ? ,则(
(A) ? ∥ ? 且 l ∥ ?

) (B) ? ⊥ ? 且 l ⊥ ? (D) ? 与 ? 相交,且交线平行于 l )

(C) ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

(5)已知(1+ax)(1+x) 5 的展开式中 x 2 的系数为5,则 a =( (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1

(6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 s=( (A) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1



2

3

10

(B) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1

2! 3! 2 3

10!

(C) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1

11 11 !

(D) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1

2! 3!

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1)(1,1,0) , , (1,1,1)(0,0,0) , ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到 正视图可以为( (A) (B) ) (C) (D) )

(8)设 a=log 3 6,b=log 5 10,c=log 7 14, 则( (A)c>b>a (B)b>c>a

(C)a>c>b

(D)a>b>c

(9)已知 a >0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3

?x ? 1 ?

? y ? a( x ? 3) ?
(D)2

,若 z=2x+y 的最小值为1,则 a = (



(A) 1

4

(B) 1

2

(C)1

(10)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( (A) ?xa ? R , f ( xa ) ? 0 f(x a )=0 (B)函数 y= f (x) 的图像是中心对称图形 (C)若 xa 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间(-∞, xa )单调递减 (D)若 xa 是 f (x) 的极值点,则 f ?( xa ) =0



(11)设抛物线 y 2 =3px(p≥0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5若以 MF 为直径的圆过点 (0,3) ,则 C 的方程为( (A)y 2 =4x 或 y 2 =8x (C)y 2 =4x 或 y 2 =16x ) (B)y 2 =2x 或 y 2 =8x (D)y 2 =2x 或 y 2 =16x

(12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是( (A) (0,1) (B)(1 ? )

2 1 2 1 , ) ( C)(1 ? , 〕 (D)[ 1 , 1 ) 2 2 3 3 2 2
第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

(13)已知正方形 ABCD 的边长为2,E 为 CD 的中点,则 AE? BD =_______. (14)从 n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概 率为 1 ,则 n=________.

?? ?

?? ?

14

(15)设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+ ? )= 1 ,则 sinθ+cosθ=_________.

4

2

(16) 等差数列{a n }的前 n 项和为 S n , 已知 S 10 =0, 15 =25, nS n 的最小值为________. S 则 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分12分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。

(18) 如图, 直棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, E 分别是 AB, 1 的中点, 1 =AC=CB= D, BB AA (Ⅰ)证明:BC 1 //平面 A 1 CD (Ⅱ)求二面角 D-A 1 C-E 的正弦值

2 AB。 2

(19) (本小题满分12分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产 品,每1t 亏损300元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图 所示。经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。以 X(单位:t,100≤X≤150)表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ) 将 T 表示为 X 的函数 (Ⅱ) 根据直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落入该区间

, 的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如: X? [100110) ) 若 则取 X=105, X=105 且
的概率等于需求量落入[100,110)的 T 的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M a2 b2 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 。 2
平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M: ( Ι ) 求 M 的方程 (Ⅱ) C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形面积的最大值

(21) (本小题满分12分) 已知函数 f(x)=e x -ln(x+m) ( Ι ) 设 x=0是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ) 当 m≤2时,证明 f(x)>0

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 (22) (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线教直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC-AE=DC-AF,B、E、F、C 四点共圆。 (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。

(23) (本小题满分10分)选修4——4;坐标系与参数方程 已知动点 p,Q 都在曲线 c x=2cosβ(β 为参数)上,对应参数分别为 β=α y=2sinβ 与 α=2πM 为(①<α<2π)M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(24) (本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=Ⅱ,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac 小于等于1/3 (Ⅱ)a2/a-b2/b-c/c2≥1


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