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2011-11-30空间向量的数量积运算


空间向量的数量积运算

自主学习
一 .空间向量的夹角
1.定义 : 已知两个非零向量
a , b , 在空间

任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b , 则 ? AOB 叫做向量 a , b 的夹角 .

2.记法 : a , b

3.范围 :

?0 , ? ?

二 .空间向量的数量积
定义:已知两个非零向

a ? b cos a , b 量 a , b , 则 __________ ,
__________ _ . a?b

叫做 a , b 的数量积,记作

三 .数量积的运算律

? (a . 1 .结合律:( ? a ) ? b ? ____ ?b)
2 .交换律:a ? b ? ___a. b? 3 .分配律:a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c ________ . ? ? 四 .数量积的性质 设a , b 为两个非零向量: ? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0; ? ? ? ? ? ? ( 2) 当a与b 同向时, a ? b ? | a || b |;

? ? ? 2 ? ?2 特别地, a ? a ? | a | 或 | a |? a ? ? ? ? a ?b ? ? ( 3) | a ? b | ? | a || b | (4) cos ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时, a ? b ? ? | a || b |;

| a || b |

关于概念的理解:
? ? ? ? ? ? ? ? 1 .若 a ? 0 , a ? b ? a ? c , 能得出 b ? c 吗?为什么?
? ? ? ? ? ? 2 .( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) 也成立吗?为什么?

因为向量没有除法数量积运算不满足消去 , 律

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )不一定成立? 数量积运算不满足结合 律

3 . 作 向 量 a 与 b 的 夹 角 时 , 必 须 使 OA , OB 为 同 起 点 的向量;如 OA , OB ? 60 , 而 OA , BO
0

? 120 .
0

? ? 4 . a ? b 中的 | b | cos ? 叫做向量 b ? ? 在 a 方向上的投影 , 且投影 B b ? 是数量不是向量 ; ? O A

? B b
O

a

? a B1 A

?

例题分析

考点1.利用数量积证明垂直关系

例1. 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直 .
已知 : 如图 , PO , PA 分别是平面 AO 是 PA 在平面 ? 内的射影 求证 : l ? PA .

? 的垂线、斜线

,

, l ? ? , l ? OA .

P
O

? A a

l

?

变式:在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一 条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内 的射影垂直 .

例题分析

考点1.利用数量积证明垂直关系
,

例 2 . 如图 , m , n 是平面 ? 内的两条相交直线 如果 l ? m , l ? n , 求证 : l ? ? .
l

? l

g

m ?

n

?

? m

? g

n

例题分析
例 3 .如图,平面 所成角的大小是 AC ? 平面 AE , 且四边形 ABCD 与 线 AC 与 BF 四边形 ABEF 都是正方形,则异面直 ____ 0. 60

考点2.利用数量积求异面直线所成的角(或余弦值)
C
D B E F

A

例题分析
例 4 .如图,在平行六面体

考点3.利用数量积求距离.
ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1中,
0

AB ? 5 , AD ? 3 , AA 1 ? 4 , ? DAB ? 90 , ? BAA
1

? ? DAA

1

? 60 , E 是 CC 1的中点,
0

设 AB ? a , AD ? b , AA 1 ? c , 则 AE 的长为 ____ . 3 6

D1 A1
D
A B

B1

C1
E

C

课堂小结
1.空间向量的夹角; 2.空间向量的数量积运算及性质; 3.利用空间向量进行几何证明 .

课堂练习
一.P92.Ex1,2,3. 二.知能提升作业(二十二)

动点的轨迹 (向量法)
1 .已知 O 是 ? ABC 所在平面内一点,动点 OP ? OA ? ? ( AB AB cos B 则动点 P 的轨迹一定通过 ( A ) 外心 ( B ) 重心 ? AC AC cos C ? ABC 的 ________ . ( C ) 垂心 ( D )内心 P 满足

), ? ? ( 0 , ?? ),

C

动点的轨迹 (向量法)
变式 1 : 已知 O 是 ? ABC 所在平面内一点,动点 满足 OP ? OA ? ? ( AB AB 则动点 P 的轨迹一定通过 ( A ) 外心 ( B ) 重心 ? AC AC ? ABC 的 ________ . ( C ) 垂心 ( D )内心 ), ? ? ?0 , ?? ), P

D

变式 2 : 已知 O 是 ? ABC 所在平面内一点,动点 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ), ? ? ?0 , ?? ), 则动点 P 的轨迹一定通过 ( A ) 外心 ( B ) 重心 ? ABC 的 ________ . B ( C ) 垂心 ( D )内心

P


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