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2004年湖北省八校联考数学试题(文科)


2004 年湖北省八校联考数学试题(文科)
命题人:孝感高中 张克修 王亚 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式:如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A, B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰
k 好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k .

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的.) 1.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( A. x ? y ? 0 B. | x | ? | y |? 0 ) D. x ? y ? 0 )

C. | x | ? y ? 0

2.已知集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ,则 A ? B 等于( A. { y | 0 ? y ? }

1 2

1 2

B. { y | y ? 0}

C. ?

D. R

3.下列四个函数中,同时具有:①最小正周期为 2? ;②图象关于直线 x ? 是( ) A. y ? sin(x ? C. y ? sin(x ?

?
3

对称的

?
6

)

B. y ? sin(x ?

?
6

)

?
3

)

D. y ? sin(2 x ?

?
3

)

4.设函数 f (x) 在定义域内可导, y ? f (x) 的图象如图 1 所示, 则导函数 y ? f ?(x) 的图象为( )
图1

A.

B.
1

C.

D.

5.设 X ~ N (0,1) 记 ?( x) ? P( X ? x) ,则下列结论不正确的是( A. ?(0) ?



1 2

B. ?( x) ? 1 ? ?(? x) D. P(| X |? a) ? 1 ? ?(a) ) B. (??,0) ? (0, ) D. (0, )

C. P(| X |? a) ? 2?(a) ? 1 6.不等式 | x | (1 ? 2 x) ? 0 的解集是( A. (?? , ) C. ( ,?? ) 7.有下列四个命题:

1 2

1 2

1 2

1 2

① " x ? A且x ? B" 是 " x ? ( A ? B)" 的充分不必要条件 ②若 ? p ? ? q ,则 p 是 q 的必要不充分条件 ③“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为假的必要不充分条件 ④ ( x ? 1)( y ? 2) ? 0 是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 0 的既不充分也不必要条件 其中正确命题是( A.①③ ) B.②④ C.③④ D.①②

8.已知二项式 (3x ? 2) n 的展开式中所有项的系数和为 3125,此展开式中含 x 4 项的 系数是( ) B.720 C.810 D.1080

A.240

9.等差数列 {a n } 中, a1 ? a 4 ? a 7 ? 39 , a3 ? a 6 ? a9 ? 27 ,则数列 {a n } 前 9 项的 和 S 9 等于( A.66 ) B.99

C.144 D.297 ? ? ? ? ? ? ? ? 10. 平面向量 a ? ( x, y), b ? ( x 2 , y 2 ), c ? (1,1), d ? (2,2) , a ? c ? b ? d ? 1 , 若 则这样的 m ? 向量 a 有( ) A.1 个 B.2 个 C.多于 2 个 D.不存在

11. 如果 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 且 f (1) ? 2 , 则 于( ) A.2003 B.1001

f (2) f (4) f (6) f (20 ) 04 ? ? ??? 等 f (1) f (3) f (5) f (20 ) 03

C.2004

D.2002

2

12.已知 ? , ? 是锐角, sin? ? x, cos ? ? y, cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系 式为( )

3 5

A. y ? ? B. y ? ? C. y ? ? D. y ? ?

3 4 3 1 ? x 2 ? x ( ? x ? 1) 5 5 5
3 4 1 ? x 2 ? x (0 ? x ? 1) 5 5

3 4 1 ? x2 ? x 5 5 3 4 1 ? x2 ? x 5 5

3 (0 ? x ? ) 5 (0 ? x ? 1)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.已知函数 f ( x) ? ( ) x ? 1 ( x ? ?1) ,则其反函数 f ?1 ( x) =

1 2

.

14.某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元,某人 想先选定吉利号 18,然后再从 01 至 17 中选 3 个连续的号,从 19 至 29 中选 2 个连续的 号,从 30 至 36 中选 1 个号组成一注,若这个人要把这种要求的号全买,至少要花 元. 15 . 设 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 an ? n 2 ? ?n (n ? N * ) 且 an 满 足

a1 ? a2 ? a3 ? an ? ? ? an?1 ? ? ,试写出一个满足条件的 ? 值, ? =

.

16.已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,定点 M ( x0 , y 0 ) ,直线 l : x0 x ? y 0 y ? r 2 有如下 两组论断: 第Ⅰ组 (a)点 M 在圆 C 内且 M 不为圆心 (b)点 M 在圆 C 上 (c)点 M 在圆 C 外 第Ⅱ组 (1)直线 l 与圆 C 相切 (2)直线 l 与圆 C 相交 (3)直线 l 与圆 C 相离

由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题 (将序号写成形如 p ? q 的形式).

3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算 步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 值域.

3 ? 2 cos 2 x ? 8 sin 4 x ,求 f (x) 的定义域,判断它的奇偶性,并求其 cos 2 x

18. (本小题满分 12 分) 三个元件 T1、T2、T3 正常工作的概率分别为 后再和第三元件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时 电路图,并说明理由.
T2 T1 T3

1 3 3 , , ,将它们中某两个元件并联 2 4 4

4

19. (本小题满分 12 分) 已知定点 A(0,1), B(0,?1), C (1,0) 动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 k ? 0 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大值和最小值.

20. (本小题满分 12 分) 从边长 2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为 x 的正方形,然后折成一个无盖的 长方体盒子,其中 0 ? x ? t . (Ⅰ)把铁盒的容积 V 表示为 x 的函数; (Ⅱ) x 为何值时,容积 V 有最大值.
x
x

2a

x

2a

5

21. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 中,首项 a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,对于任意点 Pn ( S n?1 , S n ) ,点 Pn 都在平面 直 角 坐 标 系 xoy 的 曲 线 c 上 , 曲 线 c 的 方 程 为 4tx ? (3t ? 8) y ? 8t , 其 中 :

t ? ?3, n ? 1,2,3,4,?? .
(Ⅰ)判断 {an } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅱ)若对每个正整数 n ,以 an , an?1 , a n ? 2 为边长能构成三角形,求 t 的范围.

6

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax 2 ? 2bx ? 4c (a, b, c ? R) (Ⅰ)当 a ? 0 时,若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ? x 均无公共点,求证 4ac ? b 2 ? (Ⅱ)当 b ? 4 , c ?
1 ; 4

3 时,对于给定的负数 a ? ?8 ,有一个最大的正数 M (a ) 使得 4

x ? [0, M (a)] 时都有 | f ( x) |? 5 ,问 a 为何值时, M (a ) 最大,并求出这个最大值 M (a ) ,证

明你的结论.

7


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