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2015朝阳区高三保温练习1数学(理)


理科保温练习一
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1、设集合 I ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z}, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则 A A. ?1? B. ?1, 2? C. ?0,1, 2? D. ??1,0,1, 2? )

(CI B) 等于(



2、复数 z 满足 i ? z ? 1 ? i ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则

S5 ? S2





A.11 B.5 C. ? 11 D. ? 8 4、某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 15,则 a 等于( A. ?1 B. 0 C. 2 D. 1 开始



n=1,x=a n=n+1

n≤3?
否 输出 x

x=2x+1 是

结 束 缚 5 已知 ? , ? 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6. 变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 的最小值为( ? x ? ?1 ?
A.

)

3 2 2

B. 5

C.

9 2

D. 5

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.





1 6

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6
1

1

正视图

侧视图

1

俯视图

8.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、

y 轴 正 半 轴 上 移 动 , 则 OB ? OC 的 最 大 值 是
( ) B. A. 2

1? 2

C. 3

D. 4

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.过点 (2, ) 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 10. 已知双曲线 离心率为

? 3

y2 1 则此双曲线的 ? x2 ? 1 (m ? 0) 的一个焦点与抛物线 y ? x 2 的焦点重合, 8 m .

11. 已知 ? ? ( π, 2 π), cos ? ?

3 π , 则 tan(? ? ) = 5 4

.

2

1 ? ? x ? a, x ? , ? 2 的最小值为 ?1 ,则实数 a 的取值范围是 12. 设函数 f ( x) ? ? ? ? log x, x ? 1 2 ? ? 2
13.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所 学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 种. 14. 如 图 , 函 数

f( x ? )

A? s i ?? n x(
1 O

) y

( A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ) 的 图 象 经 过 点 (0,1) 、 2

(

5π 11π ,0) 、 ( ,0) , 则 12 12

??



f(

4π )? 3

5π 12

11π 12

x

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B? ,向量 n = ?2,0? ,且 m 与 n 的夹角为 B、C 是 ?ABC 的内角. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围

π ,其中 A、 3

3

16. (本小题满分 13 分) 某业余俱乐部由 10 名乒乓球队员和 5 名羽毛球队员组成, 其中乒乓球队员中有 4 名女 队员; 羽毛球队员中有 2 名女队员, 现采用分层抽样方法 (按乒乓球队和羽毛球队分层, 在每一层内采用简单随机抽样)从这 15 人中共抽取 3 名队员参加一项比赛. (Ⅰ)求所抽取的 3 名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数; (Ⅱ)求从乒乓球队抽取的队员中至少有 1 名女队员的概率; (Ⅲ)记 ? 为抽取的 3 名队员中男队员人数,求 ? 的分布列及数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 为等腰直角三角形,AC ? BC ? 4 ,?ACB ? 90? ,D 、E 分别是边 AC 和 AB 的中点,现将 ?ADE 沿 DE 折起,使面 ADE ? 面 DEBC , H 、 F 分别是边 AD 和 BE 的中点,平面 BCH 与 AE 、 AF 分别交于 I 、 G 两点. (Ⅰ)求证: IH // BC ; (Ⅱ)求二面角 A ? GI ? C 的余弦值; (Ⅲ)求 AG 的长.

A

I

H

G
E
F

D

B

C

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标 a2 b2

原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(即三角形三条 高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

4

19. (本小题满分 14 分) 设函 数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ln( x ? 1) ? bx ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y ? 0 . (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ?

3 2 x ; 2

(Ⅲ)若当 x ? 0 时, f ( x) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 正数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: rS n ? an an?1 ? 1, a1 ? a ? 0 ,常数 r ? N . (Ⅰ)求证: an ? 2 ? a n 为定值; (Ⅱ)若数列 {an } 是一个周期数列(即存在非零常数 T ,使 an?T ? an 恒成立) ,求该数列 的最小正周期; (Ⅲ)若数列 {an } 是一个各项为有理数的等差数列,求 S n .

5

理科保温练习一答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) A (2) D (3) C (4) D (5) B (6) D (7) D ( 8) A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题 号 答 案 (9) (10)
2 3 3

(11)

(12)

(13)

(14) 2;1

? cos ? ? 1

?

1 7

1 [? , ??) 2

120

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? m = ?sin B, 1 ? cos B? ,且与向量 n = (2,0)所成角为 所以
2sin B 2 sin B ? (1 ? cos B)
2 2

π , 3

?

1 . 2

1 整理得 2cos2 B ? cos B ? 1 ? 0 ,解得 cos B ? 1 或 cos B ? ? . 2 1 由于角 B 为三角形的内角,则 cos B ? ? . 2
则B?

2? 3

…………………………..7 分

2 π (II)由(Ⅰ)知, B= π ,所以 A+C = . 3 3
3 ?π ? 1 ?π cos A = sin ? ? 所以 sin A ? sin C ? sin A ? sin ? ? A ? = sin A ? 2 2 3 ? ? ?3

? A? ?

因为 0 ? A ?

π π π 2π ,所以 ? A ? ? . 3 3 3 3

? 3 ? π ? 3 ? 所以 sin( A ? ) ? ? ,1? ,所以 sin A ? sin C ? ? ? ? 2 ,1? ………………… 13 分 3 ? 2 ? ? ?

6

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)抽取乒乓球队员的人数为 3 ? 羽毛球队员的人数为 3 ?

10 ? 2 人; 15

5 ? 1 人. ………………………………………….. 2 分 15 (Ⅱ)设“从乒乓球队抽取的队员中至少有 1 名女队员”为事件 A ,
1 1 2 C6 C4 ? C4 2 ? , 则 P( A) ? 2 C10 3

所以从乒乓球队抽取的队员中至少有 1 名女队员的概率为 (Ⅲ) ? = 0,1, 2,3

2 .…………………….. 6 分 3

P(? ? 0) ?

2 1 C4 ? C2 4 ? 2 1 C10 ? C5 75

1 1 1 2 1 C6 ? C4 ? C2 C4 ? C3 22 P(? ? 1) ? ? 2 1? , 2 1 C10 ? C5 C10 ? C5 75 2 1 1 1 1 C6 ? C2 C6 ? C4 ? C3 34 ? ? , 2 1 2 1 C10 ? C5 C10 ? C5 75

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) =

2 1 C6 ? C3 1 ? . 2 1 C10 ? C5 5

? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4 22 34 1 75 5 75 75 4 22 34 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .………………………………………… 13 分 ? E? ? 0 ? 75 75 75 5 5
17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点, 所以 ED // BC , 因为 BC ? 平面 BCH , ED ? 平面 BCH , 所以 ED // 平面 BCH 因为 ED ? 平面 BCH , ED ? 平面 AED ,平面 BCH ? 平面 AED ? HI 所以 ED // HI 又因为 ED // BC , 所以 IH // BC . ??????????? 4 分 (Ⅱ) 依题意 DE ? DA , DE ? DC , AD ? DC .
7

如图,以 D 为原点,分别以 DE , DC , DA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 由题意得, D(0,0,0) , E (2,0,0) , A(0,0,2) ,

F (3,1,0) , C (0, 2,0) , H (0,0,1) ,

EA ? (?2,0,2) , EF ? (1,1,0) ,

CH ? (0,?2,1) ,
HI ? 1 DE ? (1,0,0) , 2

设平面 AGI 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

z

A

? ? EA ? n1 ? 0 ?? x1 ? z1 ? 0 ,? ,令 z1 ? 1 ,解得 ? ? ? EB ? n1 ? 0 ? x1 ? y1 ? 0
x1 ? 1 , y1 ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1,1)
设 平 面 C H I 的 一 个 法 向 量 为 F

G

I

H

x
E B

D

n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

y

C

?CH ? n2 ? 0 ??2 y2 ? z2 ? 0 ? ,? ,令 z2 ? ?2 ,解 ? ? ? HI ? n2 ? 0 ? x2 ? 0
得 y2 ? ?1 ,则 n2 ? (0, ?1, ?2)
cos ? n1 , n2 ?? 1? 2 3? 5 ? 15 , 15

所以二面角 A ? GI ? C 的余弦值为

15 15

??????????? 8 分

(Ⅲ)法(一) AF ? (3,1,?2) ,设 AG ? ? AF ? (3?, ?,?2?)

GH ? AH ? AG ? (0,0,?1) ? (3?, ?,?2?) ? (?3?,??,2? ? 1)
则 GH ? n2 ? 0 ,解得 ? ?

2 , 3

AG ?

2 2 2 2 14 AF ? 3 ? 1 ? (?2) 2 ? 3 3 3

法(二)取 CD 中点 J ,连接 AJ 交 CH 于点 K ,连接 HJ , ?HKJ 与 ?CKA 相似, 得

AK 2 2 14 ? 2 ,易证 HI // GK ,所以 AG ? AF ? ????? 14 分 KJ 3 3
8

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ?

2b ? 2 ,故椭圆方程为
????? 4 分

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ ? 1 . 于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x ? m, 得 3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?
2m 2 ? 2 4m , x1 x 2 ? . 3 3

由 ? ? 0 ,得 m 2 ? 3 , 且 x1 ? x 2 ? ?

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1 , y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即 2x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m2 ? m ? 0 . 整理得 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
4 或 m ? 1. 3

解得 m ? ?

经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .????? 13 分 3 3

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 定义域为 (?1, ??) ,

f ?( x) ? 2( x ? 1) ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? b ,

f ?(0) ? 1 ? b ? 0 , b ? ?1 .
(Ⅱ) f ( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ,
2 设 g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ?

????? 3 分

3 2 x , ( x ? 0) , g ?( x) ? 2( x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x 2

( g ?( x))? ? 2ln( x ? 1) ? 0 ,? g ?( x) 在 ?0,??? 上单调递增,

9

? g ?( x) ? g ?(0) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上 单调递增,? g( x) ? g(0) ? 0 .
? f ( x) ?
3 2 x . 2
????? 8 分

(Ⅲ)设 h( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ? mx2 , ①当 m ?

3 时, 2
3 2 x ?0 2

2 2 2 由(Ⅱ) , h( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? mx ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ?

f ( x) ? mx2 恒成立.
②当 m ?

3 时, h?( x) ? 2( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 2mx ? 2( x ? 1) ln( x ? 1) ? (1 ? 2m) x , 2
2 m ?3 2

h??( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 3 ? 2m ,令 h??( x) ? 0 ,得 x0 ? e

?1 ? 0,

当 x ? ?0, x0 ? 时, h?( x) ? h?(0) ? 0 ,? h( x) 在 ?0, x0 ? 上单调递减? h( x) ? h(0) ? 0 , 不成立. 综上, m ?

3 . 2

????? 14 分

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)证明: rS n ? an an?1 ? 1(1) , (2) rS n?1 ? an?1an?2 ? 1 (2)-(1) : ran?1 ? an?1 (an?2 ? an ) ∵ an ? 0 , (Ⅱ)计算 n ? 1, ra ? aa2 ? 1,∴ a 2 ? ∴ an ? 2 ? an ? r

1 ? ar 1 ?r? a a

根 据 数 列 是 隔 项 成 等 差 , 写 出 数 列 的 前 几 项 :

1 1 1 , a ? r ,2r ? , a ? 2r ,3r ? , ?? a a a 当 r ? 0 时,奇数项和偶数项都是单调递增的,所以不可能是周期数列,所以 r ? 0 时, 1 1 1 1 写出数列的前几项: a, , a, , a, , a, , ?? a a a a 所以当 a ? 0 且 a ? 1 时,该数列的周期是 2,当 a ? 1 时,该数列的周期是 1, 1 ( Ⅲ ) 因 为 数 列 {an } 是 一 个 有 理 数 等 差 数 列 , 所 以 a ? a ? r ? 2(r ? ) 化 简 a a, r ?

2a 2 ? ar ? 2 ? 0 , a ?

r ? 16 ? r 2 2 2 是有理数.设 r ? 16 ? k , r , k 均是非负整数 4 r ? 0 时, a ? 1, an ? 1, S n ? n
r ? 0 时 (k ? r )(k ? r ) ? 16 ? 2 ? 8 ? 4 ? 4 可以分解成 8 组, 其中只有 ?

?r ? 3 , 符合要 ?k ? 5

10

求,此时 a ? 2 , a n ?

3n ? 1 n(3n ? 5) , Sn ? 2 4 n ?1 1 解法二 a n ? na ? 因为数列 {an } 是一个有理等差数列, r ? 2( a ? ) ? N ,得 a a 3n ? 1 n(3n ? 5) , Sn ? a ? 1, r ? 0, an ? 1, S n ? n 或 a ? 2, r ? 3, a n ? 2 4

11


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