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辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学(理)试题


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2014-2015 学年度高三四校联考 数学试题(理)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )
1.已知全集 U ? R , A ? x | x ? 2 , B ? x | x ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 A ? (CU B ) 等于
2

?

?

?

?

A.?x | 1 ? x ? 3?

B.?x | ?2 ? x ? 1?

C.?x | 1 ? x ? 2?
1 1 ? ”的( a b
) )

D.?x | ?2 ? x ? 3?

2.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 0 ”是“

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
3

C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 9 的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

4.设等比数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若

S S6 ? 3 ,则 9 = S3 S6
D. 3

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

2 5. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ? 3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,

当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f (1) ? f (2) ? ... ? f (2012) ? A.335 6.已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围是 A. B.338 C.1678 D.2012

2 ? ? x , x ? ? 0, ?? ? 在区间 ? ??, ?? ? 上是增函数,则常数 a 的 3 2 x ? a ? 3 a ? 2, x ? ?? , 0 ? ? ? ?

?1, 2 ? ? 2, ?? ?

B.

? ??,1? ? 2, ?? ?

C.

?1, 2?

D. ? ??,1?

7.已知函数 f ( x) ? A . ? ?1, 6 ?

2x ?1 ,则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x 2 ? 4) ? 0 的解集为( 2x ?1



B . ? ?6,1?

C. ? ?2,3?

D. ? ?3, 2 ?

8. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )? ? ? 0, ? ? 个单位后得到

? ?

??

? 的最小正周期是 ? ,若其图像向右平移 3 2?


?

的函数为奇函数,则函数 y ? f ( x) 的图像 (

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A.关于点 ?

? ?? ? ? 5? ? ,0 ? 对称 B.关于直线 x ? 对称 C.关于点 ? ,0 ? 对称 12 ? 12 ? ? 12 ?

D. 关 于 直 线

x?

5? 对称 12

9.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线斜率为 3 , 数列 {

1 } 的前 n 项 f ( n)

和为 S n ,则 S 2014 的值为 A.

2012 2013

B.

2013 2014

C.

2014 2015

D.

2015 2016

10.下列四个图中,函数 y ?

101n x ? 1 x ?1

的图象可能是(

)

11.已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时,

f ?( x) ?

f ( x) 1 1 1 1 ? 0 ,若 a ? f ( ) ,b ? ?2 f (?2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小 x 2 2 2 2
) B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b

关系正确的是( A. a ? c ? b

12. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? (0,??) ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当

x ? ?2,3? 时, f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a ( x ? 1) 在 ?0,?? ? 上至
少有三个零点,则 a 的 取值范围是 ( ) A. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

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6,则

1 2 ? 的最小值为______________ __. a b
3

14. 函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =



15. 在 ?AOB 中 , G 为 ?AOB 的 重 心 ( 三 角 形 中 三 边 上 中 线 的 交 点 叫 重 心 ) ,且

?AOB ? 60? .若 OA ? OB ? 6 ,则 OG 的最小值是____

____.

3 2 16. 对于三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? ,定义: 设 f ?? ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的

导数 y ? f ? ? x ? 的导数,若方程 f ?? ? x ? ? 0 有实数解 x0 ,则称点 x0 , f ? x0 ? 为函数

?

?

y ? f ? x ? 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数
都有对称中心;且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现,函数

f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 对称中心为



三.解答题: (解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3cos 2 x ? 2sin x cos x ? sin 2 x . (1)求 f ( x) 的最大值,并求出此时 x 的值; (2)写出 f ( x) 的单调区间.

18.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 最小正周期为

? 3? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的 ? 2 ?

T ?? .
(1)求 f ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,若有

? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,则求角 B 的大小以及 f ? A? 的取值范围.

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19. (本小题满分 12 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n ,an 是 S n 和 1 的等差中项, 等差数列{ bn } 满足 b1 ? S 4 ? 0 , b9 ? a1 . (1)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2)若 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn . (bn ? 16) ? bn ? 18 ?

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1,4) ,曲线在点 M 处
3 2

的切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (1)求实数 a, b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 ?m, m ? 1? 上单调递增,求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是

a2 , a4 的等差中项.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 1 an , S n ? b1 ? b2 ?
2

? bn ,求 S n .

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22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x 2 ? x , g ( x) ? x ? e x ? x 2 ? 1( x ? 0) , 且 f ( x) 点 x ? 1 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? (3)证明: g ( x) ? f ( x) .

5 x ? b 在区间 [1,3] 上有解,求 b 的取值范围; 2

2014-2015 学年度上学期期中学业水平监测答案(理)
一.选择题: 1 2 3 C A C 二.填空题: 4 B 5 B 6 C 7 D 8 B 9 C 10 C 11 A 12 B

8? 4 3 3 13.

14.

4

15. 2

16.

(1 ,2)

三. 解答题:
17.(10 分) 解: (1) f ( x) ?
3(1 ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ? sin 2 x ? 2 2 4

所以 f ( x) 的最大值为 2 ? 2 ,此时 x ? k? ? (2)由 2k? ?

?
8

, k ? Z .?????????5 分

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? ; 8 8

所以 f ( x) 单调增区间为: [k? ? 由 2k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z ; 8 8

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

3? ? 5? 得 k? ? ? x ? k? ? 2 8 8

所以 f ( x) 单调减区间为: [k? ? 18.(12 分)解 f ? x ? ?

?
8

, k? ?

5? ], k ? Z 。?????????10 分 8

3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x

??1 分

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?

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

??2 分

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ?
,即:

??3 分

2? ? ? ? ? ?1 2?

??4 分

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
2? ? ? 1 7? 1 ? 2? ? ? ?f? ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? 3 ? ?
(2)

??5 分

??6 分

? 2a ? c ? cos B ? b cos C
??7 分

∴由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A ? ? sin A ??8 分

sin A ? 0

? cos B ?

1 2

B ? ? 0,? ?
? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?

?B ?

? 3

??9 分

2 A?C ?? ? B ? ? 3 ?2A ?

??10 分

?

? ? 7 ? ?? ? , ? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?

??11 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? 6? 2 ? 2? ?
19.(12 分)解:(1) ∵ a n 是S n 和1的等差中项, ? S n ? 2a n ? 1 当 n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2a n ? 1) ? (2a n ?1 ? 1) ? 2a n ? 2a n ?1 ,

??12 分

? a n ? 2a n ?1 ,
当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,? a1 ? 1 ??????????????????2 分 ∴ a n ? 0(n ? N ? ), ?

an ? 2 ??????????????????????4 分 a n ?1

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? 数列?a n ?是以a1 ? 1为首项, 2为公比的等比数列, ? a n ? 2 n ?1 ??????6 分 S n ? a1 ? a 2 ? ?? ? a n ? 2 n ? 1
设 ?bn ?的公差为 d , b1 ? ? S 4 ? ?15, b9 ? ?15 ? 8d ? 1 ? d ? 2

? bn ? ?15 ? ?n ? 1? ? 2 ? 2n ? 17 ?????????????????????8 分
(2) c n ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ??????????????10 分 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? Wn ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ………………12 分 ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? ? 2? 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 4n ? 2

20.(12 分)解: (1)∵ f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M(1,4) ,∴ a ? b ? 4 ①式???
3 2

1分

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ,则 f ' (1) ? 3a ? 2b ?????????????3 分
由条件 f ' (1) ? (? ) ? ?1, 即3a ? 2b ? 9 由①②式解得 a ? 1, b ? 3 (2) f ( x) ? x ? 3 x , f ( x) ? 3 x ? 6 x ,
3 2 ' 2

1 9



???????????5 分

令 f ( x) ? 3 x ? 6 x得x ? 0或x ? ?2
' 2

??????????8 分 10 分

? 函数f ( x)在区间?m, m ? 1?上单调递增 ? ?m, m ? 1? ? ?? ?,?2? ? ?0,?? ?

? m ? 0或m ? 1 ? ?2,? m ? 0或m ? ?3

???????????12 分

21.(12 分)解: (1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,
依题意,有 2( a3 ? 2 )= a2 + a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 得 a3 =8,

∴ a2 + a4 =20

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?q ? ?a1q ? a1q ? 20 ∴? 解之得 ? 或? 2 2 ?a1 ? 2 ?a ? 32 ? ?a3 ? a1q ? 8 ? 1

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n

又 ?an ? 单调递增,∴ q =2, a1 =2,∴ an =2

┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 ① ② 得

(2) bn ? 2n ? log 1 2n ? ? n ? 2n , ∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2 n
2



?2 sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ? n2 n ?1







sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ...? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1? 2n ) ? n ? 2n ? 1 = 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 .......12 分 1? 2
2

22.(12 分)解: (1)∵ f ( x) ? ln( x ? a ) ? x ? x , ∴ f ' ( x) ? ∵函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x ? x 在点 x ? 1 处取得极值,
2

1 ? 2x ?1 x?a

∴ f '(1) ? 0 ,即当 x ? 1 时 ∴

1 ? 2x ?1 ? 0 , x?a

1 ??2 分 ? 1 ? 0 ,则得 a ? 0 .经检验符合题意 1? a 5 5 7 (2)∵ f ( x) ? ? x ? b ,∴ ln x ? x 2 ? x ? ? x ? b , ∴ ln x ? x 2 ? x ? b . 2 2 2 7 令 h( x) ? ln x ? x 2 ? x( x ? 0) , ??4 分 2 1 7 (4 x ? 1)( x ? 2) 则 h '( x) ? ? 2 x ? ? ? . x 2 2x
∴当 x ? ?1,3? 时, h' ( x), h( x) 随 x 的变化情况表:

x
h' ( x ) h( x )
计算得: h(1) ?

1

(1,2) + ↗

2 0 极大值

(2,3) ↘

3 ??6 分

5 3 5 ?5 ? , h(3) ? ln 3 ? ? , h(2) ? ln 2 ? 3 ,? h( x) ? ? , ln 2 ? 3? 2 2 2 ?2 ?

所以 b 的取值范围为 ? , ln 2 ? 3? 。 (3)证明:令 F x ? g ( x) ? f ( x) , ? ? ? x ? e x ? ln x ? x ? 1 ? x ? 0 ? 则 F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e x ? 令 G ( x) ? x ? e ? 1 ,则
x

?5 ?2

? ?

?? 8 分

? x ? 1? ? x ? e x ? 1 , 1 ?1 ? ? ? x x


G?( x) ? ? x ? 1? ? e x ? 0( x ? 0)

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? 函数 G ( x) 在 ? 0, ?? ? 递增, G ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的零点最多一个


G (0) ? ?1 ? 0 , G (1) ? e ? 1 ? 0 ,
G (c ) ? 0
, ??10 分

? 存在唯一的 c ? ? 0,1? 使得

且当 x ? ? 0, c ? 时, G ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ?? ? 时, G ? x ? ? 0 . 即当 x ? ? 0, c ? 时, F ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ?? ? 时, F ? ? x ? ? 0 .

? F ( x) 在 ? 0, c ? 递减,在 ? c, ?? ? 递增,
从而 F x ? F c ? c ? e c ? ln c ? c ? 1 . ? ? ? ? 由

G (c ) ? 0



c ? e ?1 ? 0
c

即 c ? ec ? 1 ,两边取对数得:

ln c ? c ? 0

,? F c ? 0 , ? ?

? F x ? F c ? 0, ? ? ? ?
从而证得 g ( x) ? f ( x) . ??12 分


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