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江苏省黄桥中学高三数学上学期周周练二十三(含参考答案)


江苏省黄桥中学高三数学周周练习二十三
2012/12/21 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置.

?1 ? i ? ,则 z 虚部为 ▲ . 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ?
2

1? i

2.若 A ? x ( x ? 1) ? 2 x ? 4 ,则 A∩Z 的元素个数为___▲___.
2

?

?

π 3. 设命题 p:α= ,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的_____▲______条件. 4 1 1 ? ? 2 ,则 a ? 4.已知 ▲ . log 2 a log 3 a 5.已知 x ? R , f ( x ) 为 sin x 与 cos x 中的较小者,设 m ? f ( x) ? n ,则 m ? n =__▲__.

?3x-1 6.设函数 f (x)=?1 ?x

2

(x≥0) ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是___▲_____. (x<0)

a 3 7.设 a∈R,函数 f (x)=ex+ x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐 e 2 标为________. 8.已知 ? 为第四象限的角,且 sin(

?

2

??) ?

4 , 则 tan ? =___▲___. 5

C

9. 如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水,且侧棱长 AA 1 ?8. 若侧面 AA 1 B1 B 水平放置时,液面恰好过 AC, BC, A 1C1 , B1C1 的中点.当底面 ABC 水平放置时,液面高度为
2

C1

A

B A1 第 9 题图

B1

▲ .

10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ? a ?1? n ? a, 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 , 则该三角形最大角为 ▲ ____ .

1 11.已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9], 4 不等式 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合为____▲______. 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 , b ? 0? , A, C 分别是双曲线虚轴的上、下端点, B, F 分别是 a 2 b2
▲ .

双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为 2,则 BA 与 CF 夹角的余弦值为
13.如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹 角 为 120° , OA 与 OC 的 夹 角 为 150° , 且 O A ? O B? 1 ,

??? ?

??? ?

y
B
?3 ? 0 .5

??? ?

????

??? ?

??? ?

3 2
A

???? ???? ??? ? ??? ? OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) ,
则 ? ? ? 的值为 ▲ .

O

1 x

C

? 3

第 1 页 共 8 页

14.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,

t 若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是 ▲ . s 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m? n 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

?

3

) 的值; 1 c?b, 求函数 f ( B ) 2

(2)在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 且满足 a cos C ? 的取值范围.

16. 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形, ?BCD ? 60 ,点 E 是 BC 边的中点, AC与 DE 交于点 O , PO ? 平面ABCD . (1)求证: PD ? BC ; (2)在线段 AP 上是否存在一点 F ,使得 BF ∥平面 PDE ?若存在,求四棱锥 F ? ABED 与 四棱锥 P ? ABCD 的体积之比;若不存在,试说明理由. P

?

D O E B





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17. 已知椭圆 C :

x2 y2 6 3 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,一条准线方程为 x ? . 2 3 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 G , H 为椭圆上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 ? 时,求 ?GOH 的面积; ②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求 出该定圆方程;若不存在,请说明理由.

⌒ 上选择一点 C 建造 18. 两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两城外以 AB 为直径的半圆弧AB
垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为 城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和 城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离 的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例

⌒ 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. 系数为 k ,当垃圾处理厂建在AB
⑴按下列要求建立函数关系式: ①设∠CAB=θ(rad),将 θ 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ②设 AC=x(km),将 x 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ⑵请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?

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19. 已知函数 f ( x) ?| x | ( x ? a) , a 为实数. (1)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (3)是否存在实数 a (a ? 0) ,使得 f ( x) 在闭区间 [ ?1, ] 上的最大值为 2.若存在,求出 a 的 值;若不存在,请说明理由.

1 2

20.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意正整 数 n 都成立. ⑴若数列 {an } 为等差数列,求证:3A-B+C=0; ⑵若 A ? ? , B ? ? , C ? 1, 设 bn ? an ? n, 数列 {nbn } 的前n项和为 Tn ,求 Tn ; ⑶若 C=0, {an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ? 的值.
2012

1 2

3 2

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最大整数 2 ai ai ?1

第 4 页 共 8 页

江苏省黄桥中学高三数学周周练习二十三参考答案
1、 -1 2、0 3、充分不必要 4、 6 5、

2 ? 1 6、 -1 7、 ln2 2

8、 ?

3 4

9、6

10、

2? 3

11、{4} 12、

7 1 3 ) , OC ? (?3,? 3) ,代 13. OA ? (1,0) , OB ? (? , 2 2 14

1 ? ? ? ? ? ?3 ? ???? ??? ? ??? ? 2 ? 入 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) 可得: ? ,可解得 ? ? ?4, ? ? ?2 ,故 ? ? ? ? ?6 ? 3 ? ?? 3 ? ? 2
14.由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,知 f ( x) 的图象关于 (0 , 0) 成中心对称,故 f ( x) 为 奇函数,得 f (s 2 ? 2s) ≤ f (t 2 ? 2t ) ,从而 t 2 ? 2t ≤ s 2 ? 2s ,化简得 (t ? s)(t ? s ? 2) ≤ 0 ,又
1 ≤ s ≤ 4 ,故 2 ? s ≤ t ≤ s ,从而

2 2 t ? 1 ? 1 ≤ ≤1 ,而 ? 1 ? ? ? , s s s ? 2

t ? 1 ? 1? ,故 ? ? ? , s ? 2 ?

? 1? . ?

x x x 3 x 1 x 1 ?x ? ? 1 sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , 15.解:(1)? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin cos ? cos 2 ? 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2

?? ?x ?? 1 ? ?x ?? ?x ?? 1 而 f ? x ? ? 1,? sin ? ? ? ? . ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ?2 6? 2 ? ?2 6? ?2 6? 2
1 a 2 ? b2 ? c 2 1 1 (2)? a cos C ? c ? b,? a ? ? c ? b, 即 b2 ? c2 ? a2 ? bc,? cos A ? . 2 2 2ab 2 ? 2? ? B ? ? ? 3? 又? A ? ? 0, ? ? ,? A ? 又? 0 ? B ? ,? ? ? ? , ? f ? B ? ? ?1, ? . 3 3 6 2 6 2 ? 2?
16.解:(1)在菱形 ABCD 中,连接 DB, 因为 ?BCD ? 60 ,故 ?BCD 是等边三角形. P 因为 E 是 BC 边的中点,所以 DE ? BC 由于 PO ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ,所以 PO ? BC , 而 DE ? PO ? O ,所以 BC ⊥平面 PDE , 又由于 PD ? 平面 PDE ,所以 PD ? BC . (2)在线段 AP 上存在一点 F ,使得 BF∥平面 PDE , 取 AD 中点 M , AP 中点 F ,连接 MF , BM , F D M A O
?



1 E 因为 MD∥BE, MD ? BC ? BE, 2 B 所以 BM∥DE 又 BM ? 平面 PDE , DE ? 平面 PDE , 所以 BM∥平面 PDE ,同理可得 MF∥平面 PDE 又因为 BM ? MF ? M ,所以平面 FMB∥平面 PDE 因为 BF ? 平面 BMF ,所以 BF∥平面 PDE : 因为 F 为 AP 中点,所以于是四棱锥 F ? ABED 的高是四棱锥 P ? ABCD 的高的一半, 3 又因为四棱锥 F ? ABED 的底面积是四棱锥 P ? ABCD 的底面积 , 4 3 所以四棱锥 F ? ABED 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比是 . 8
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c 6 a2 3 6 2 2 2 , ,a ? b ?c , ? ? a 3 c 2 x2 y2 ? ? 1. 解得 a ? 3, b ? 3 ,所以椭圆方程为 9 3
17.(1)因为

? 3 ? 2 9 ? 2 9 ? y ? 3x x ? x ? y?? x ? ? ? ? 2 ? ? ? 10 2 3 2 (2)①由 ? x ,解得 ? ,由 ? 得? , y 2 2 ?1 ? ? ? y 2 ? 27 ?y2 ? 3 ?x ? y ?1 3 ?9 ? ? ? 10 2 ? ? 3 ?9
所以 OG ?

3 10 3 15 . , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5
1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH 因为 OG ? OH ? GH ,故
2 2 2

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

18.解:(1)①在 RT△ABC 中,AC=20cosθ,BC=20sinθ,

4 k ? ? ,( 0 ? ? ? ) 其中当AC= 10 2 时,y=0.065,所以k=9 2 2 400 cos ? 400sin ? 2 4 9 ? ? 所以y表示成x的函数为y= ,( 0 ? ? ? ) 2 2 400 cos ? 400sin ? 2 4 k ②由题意知AC⊥BC,BC2=400-x2, y ? 2 ? ? 0 ? x ? 20 ? x 400 ? x 2
则y= 其中当x= 10 2 时,y=0.065,所以k=9

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所以y表示成x的函数为 y ?

4 9 ? 2 x 400 ? x 2

? 0 ? x ? 20 ?
令y′=0, tan ? 0 ?

4sin ? 9 cos ? 4sin 4 ? ? 9 cos 4 ? ? (2)①y′= = 200 cos3 ? 200sin 3 ? 200sin 3 ? cos3 ?
当0<θ<θ0时, y′<0, 函数为单调减函数; 当θ0<θ< ? 所以当θ=θ0时,y有最小值 当 tan ? 0 ?

6 2

2

时, y′<0, 函数为单调增函数

6 即AC= 4 10 时, 即当C点到城A的距离为 4 10 时,在此处的垃圾处理厂对城 2

A和城B的总影响度最小. ② y? ? ?

8 18 x 10 x 4 ? 6400 x 2 ? 1280000 ? ? , x3 ? 400 ? x 2 ?2 x3 (400 ? x 2 )2

? 0 ? x ? 20 ?

令y'=0得x= 4 10

当0<x< 4 10 时, y'<0,所以函数为单调减函数, 当 4 10 <x<20时,y'>0所以函数为单调增函数. 所以当x= 4 10 时,即当C点到城A的距离为 4 10 时,在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总 影响度最小. (注:该题可用基本不等式求最小值.) 19. (1) f ( x) ?| x | ( x ? 1) ? f (1) ? 0, f (?1) ? ?2 ? f (1) ? ? f (?1), f (1) ? f (?1)

? f ( x) 既不是奇函数,又不是偶函数.
(2)(画图) a ? 0 时, f ( x) ?| x | x ,单调增区间为 (??,??)
2 ? a a ? x ? ax, x ? 0, a ? 0 时, f ( x) ? ? 2 ,单调增区间为 ( ?? , ), (0,?? ) ,单调减区间为 ( ,0) 2 2 ? ?? x ? ax, x ? 0

(3)? a ? 0

1 1 1 7 ? f (?1) ? ?1 ? a ? 2 ? ? a ? 3 ? f ( ) ? ( ? a) ? ? 2 2 2 2 4

由(2)知, f ( x) 在 (0,??) 上递增? f ( x) 必在区间 [?1,0] 上取最大值 2

a ? ?1 ,即 a ? ?2 时,则 f (?1) ? 2 , a ? ?3 ,成立 2 a a 当 ? ?1 ,即 0 ? a ? ?2 时,则 f ( ) ? 2 ,则 a ? ?2 2 (舍) 2 2 综上, a ? ?3
当 20.⑴因为 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,由 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C ,

1 2 1 d 即 ( d ? A)n2 ? (a1 ? ? B)n ? (a1 ? d ? C) ? 0 对任意正整数 n 都成立. 2 2
得 a1 ? (n ? 1)d ? na1 ? n(n ? 1)d ? An2 ? Bn ? C ,
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?1 ? 2 d ? A ? 0, ? 1 ? 所以 ? a1 ? d ? B ? 0, 所以 3 A ? B ? C ? 0 . 2 ? ? a1 ? d ? C ? 0, ? ?
⑵ 因为 an ? Sn ? ? n2 ? n ? 1 ,所以 a1 ? ? , 当 n ≥ 2 时, an?1 ? Sn?1 ? ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1, 所以 2an ? an?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an?1 ? n ? 1 , 所以 bn ? bn?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? 所以数列 ?bn ? 是首项为

1 2

3 2

1 2

1 2

3 2

1 2

1 , 2

1 1 1 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( )n . 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n n 于 是nbn ? n . 所 以Tn ? + 2 + 3 + ? + n ① , Tn ? 2 + 3 + 4 + ? + n+1 ,② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由① ? ②,
1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? ( 1 )n ? n ? 1 ? 2 + n . 得 Tn ? + 2 + 3 + ? + n ? n +1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n +1 2 2n +1 2n +1 1? 2
所以 Tn ? 2 ?

2+n . 2n

⑶ 因为 ?an ? 是首项为 1 的等差数列,由⑴知,公差 d ? 1 ,所以 an ? n . 而 1?

1 1 n2 (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? ? n2 (n ? 1)2 n2 (n ? 1)2

?

n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ?1? ?1? ? , n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2013 ? 1 2 2 3 3 4 2012 2013 2013 所以,不超过 P 的最大整数为 2012 .
所以 P ? (1 ? ? ) ? (1 ?

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