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漳州八校2015届高三年联考数学(文)试卷


高三数学(文)四地八校联考试卷 一、选择题 1. 设集合 U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3},B={3,4,5},则 a ? 0, b ? 0, 等于( A.{1,2,3,4} 2、复数 B.{1,2,4,5} C.{1,2,5} D.{3} ). ).

(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上的对应点位于(

A、第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 3.函数 f(x)=x +sinx+1(x∈R),若 f(a)=2, 则 f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 4.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30,则判断框中应 填人的条件为( ) A.i≤4 B. i≤5` C. i≤6 D. i≤7 ? 5.函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程可能是( ) 3 ? ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? 6 12 6 12 6.某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级 学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽 取 20 人进行调查.这种抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 7、设变量 x,y 满足约束条件 ( ) A. -3 8.函数 f(x)=
1 2

则目标函数 z=2y-3x 的最大值为

B. 2
x 的最大值为 x ?1

C. 4 ( )
2 2

D. 5

(A)

(B)

2 5

(C)

(D)1 )

3) 处的切线的倾斜角为( 9.曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,

A.45°

B. 30°

C.60°

D.120° )

10.设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项和为( A.128 B.80 C.64 D.56 11.已知平面 ? ? 平面 ? ,?

? ? l ,点 A ? ? , A ? l ,直线 AB ∥ l ,直线 AC ? l ,


直线 m ∥?,m ∥ ? ,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ... A. AB ∥ m B. AC ? m C. AC ? ?
-1-

D. AB ∥ ?

12.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x(a, b ? R且ab ? 0) 的图像如图,且 | x1 |?| x2 | ,则有 ( ) A. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0 二、填空题 B. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0

? ? 13. f ( x) ? cos( ?x ? ) 最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? 6 5 2 1 14.不等式 2 x ? 2 x ? 4 ? 的解集为 . 2 15.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示,

f ?(?3) ? f ?(1)
第 15 题图

16. 将正整数按下表的规律排列,把行与列交叉处的数称为某行某

列的数,记作 aij (i, j ? N * ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,记作 a24 ? 15 ,则有序数 对 ?a82 , a28 ? 是 .

1 4 5 16 ?? 2 3 6 15 ?? 9 8 7 14 ?? 10 11 12 13 ?? ?? ?? ?? ?? 三、解答题 17.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建 筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼 房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地
购地总费用 费用= 建筑总面积 )

-2-

π? ? 18.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x sin ? x ? ? 2? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
? 2π ? (Ⅲ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3?

19.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 ) (n? N*)在函数 y=x2+1 的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2an ,求证:bn ·bn+2<b2n+1.

20.对一批共 50 件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下:

规定重量在 82 克及以下的为“A”型,重量在 85 克及以上的为“B”型,已知该 批电器有"A"型 2 件 (I)从该批电器中任选 1 件,求其为“B"型的概率; (II)从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“A”型的 概率 .

-3-

21.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示, ?PBC 为正三角形. (Ⅰ)在平面 PCD 中作一条与底面 ABCD 平行的直线, 并说明理由; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 PAB ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? PBC 的高.

22、已知函数 (I)求实数 a 的最大值; (II)当 a 最大时,函数

。对于任意实数 x 恒有

有三个零点,求实数 k 的取值范围。

-4-

高三数学(文)四地八校联考试卷参考答案 一、选择题 1. B 2.D 3. B 二.填空题 13.10 4.A 5. D 15 .-5 6. D 7. C 8. A 9. A. 10.C 11. C 12. B

14. [?3,1]

16.(51,63)

三、解答题 17.解:设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则 2160 ?10000 10800 f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? ? 560 ? 48 x ? 2000 x x 10800 f ? ? x ? ? 48 ? x2 令 f ? ? x? ? 0 得
x ? 15

? x ? 10, x ? Z ?
?

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.
f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x sin(2 x ?

?
2

)

18.解: (1)
?

1 ? cos 2 x 3 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 6 2

-------4 分 ? ? ? ? ? (2)由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? 得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? z 2 6 2 6 3

所以 T ? ?

? ? ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? , k ? z -------8 分 3 ? 6 ?
? ? ? 7 ? ? ? 2π ? ? 1 ? (3)由 x ? ?0, ? 得 2 x ? ? ?? , ? ? ,所以 sin(2 x ? ) ? ?? ,1? 6 ? 6 6 ? 6 ? 3? ? 2 ?
? 3? 所以 f ( x) ? ?0, ? ------12 分 ? 2?

解法一: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+· · ·+(b2-b1)+b1 n-1 n-2 =2 +2 +· · ·+2+1 =
1 ? 2n n =2 -1. 1? 2
-5-

因为 bn·bn+2-b 2 n ?1 =(2 -1)(2 -1)-(2 -1)

n

n+2

n-1

2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n<0, 所以 bn·bn+2<b 2 n ?1 , 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 b2=1,
n n+1 2 bn·bn+2- b 2 n ?1 =(bn+1-2 )(bn+1+2 )- b n ?1

=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 n n+1 =2 (bn+1-2 ) =2n(bn+2n-2n+1) =2n(bn-2n) =? n =2 (b1-2) =-2n〈0, 所以 bn-bn+2<b2n+1 20.解:(Ⅰ)设“从该批电器中任选 1 件,其为”B”型”为事件 A1 , 1 分 50 ? 5 9 ? 则 P ( A1 ) ? ················· 3 分 50 10 9 所以从该批电器中任选 1 件,求其为”B”型的概率为 . · 4分 10 (Ⅱ)设“从重量在[80,85)的 5 件电器中, 任选 2 件电器, 求其中恰有 1 件为”A” 型”为事件 A2 ,记这 5 件电器分别为 a,b,c,d,e,其中”A”型为 a,b.从中任 选 2 件,所有可能的情况为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种. ···························· 8 分 其中恰有 1 件为”A”型的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种.10 分 6 3 所以 P( A2 ) ? ? . 10 5 所以从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,其中恰有 1 件为”A”型 3 的概率为 . 12 分 5 21.解: (Ⅰ)分别取 PC、PD 中点 E、 F ,连结 EF ,则 EF 即为所求,下证之:1 分 ∵ E、 F 分别为 PC、PD 中点, ∴ EF //CD . ·········· 2 分 ∵ EF ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,?3 分 ∴ EF // 平面 ABCD . ······· 4 分 (作法不唯一) (Ⅱ)由三视图可知, PA ? 平面 ABCD , BC ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,四边形 ABCD 为直角梯形. 过点 A 作 AG ? BC 于 G ,则 AG ? CD ? 1 , GC ? AD ? 1 . ∴ AC ? AD2 ? CD2 ? 2 , AB ? AG2 ? BG2 ? 12 ? (2 ? 1)2 ? 2 ,
-6-

∴ ∵ ∴ ∵ ∴

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,故 AC ? AB . ·············· 6 分 PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,
PA ? AC .

······················· 7 分 PA AB ? A , AC ? 平面 PAB . ···················· 8 分 (Ⅲ)∵ ?PBC 为正三角形,∴ PB ? BC ? 2 . 在 Rt ?PAB 中, PA ? PB2 ? AB2 ? 2 . ∴
1 1 ?1 2 ? VC ? PAB ? S?PAB ? AC ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? , ······· 10 分 3 3 ?2 3 ?

1 1 ? 3 2? 3 h A ? PBC 的高) VA? PBC ? S?PBC ? h ? ? ? ?2 ? .11 分 ? ? h ? 3 h (其中 为三棱锥 3 3 ? 4 ? ?



VC ? PAB ? VA? PBC ,∴

h?

6 . ·············· 12 分 3
' ?f ( x) =3x2 ? 4 x ? a

=x3 ? 2 x2 ? ax 22..解: (1) f(x)

· 2分

对于 x ? R 恒有 f '( x) ? 2x2 ? 2x ? 4 ,即 x2 ? 2 x ? 4 ? a ? 0 对于 x ? R 恒成立 4 分
?? ? 4 ? 4(4 ? a) ? 0
?a?3

·············· 6 分

? amax ? 3

······················· 7 分

(2) 当a=3时F(x) =f ( x) ? k ? x 有三个零点
? k ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x 有三个不同的实根

··········· 8 分 ······ 9 分

令g ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ,则 g '( x)=3x 2 ? 4x ? 4
令 g '( x) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ?
x, g '( x), g ( x) 情况如下表:
2 3
2 ( ?2, ) 3 -

2 2 ( , ??) 3 3 g '( x ) + 0 0 + 极小极 极大 g ( x) 40 单调递增 单调递减 单调递增 ? 值8 27 ····························· 12 分 2 由上表知,当 x ? ?2 时 g ( x) 取得极大值 g (? 2) ? 8,当 x ? 时 g ( x) 取得极小值 3 2 40 g( ) ? ? 分 3 27 ------------13

x

(??, ?2)

?2

数形结合可知,实数 k 的取值范围为 ( ?

40 ,8) 27

·········· 14 分

-7-


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