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选修2-3第二章随机变量及其分布复习


一、本章知识框图:

二、知识点
1、随机变量:随着_________变化而变化的_______, 常用________________________表示

2、离散型随机变量:所有取值可以________ _______的随机变量。
3、离散型随机变量的分布列(有几种表现形式)
(1)表格法:
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

(2)解析法: (3)图像法:

P( X ? xi ) ? pi ,i ? 1,2,...n

4、离散型随机变量的分布列的性质:
①pi≥0,i=1,2,3,…,n


?p
i ?1

n

i

? 1.

5、离散型随机变量的均值 (1)定义: E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ...? xi pi ? ...? xn pn (2)性质: 6、方差

E (aX ? b) ? __________
( xi ? E ( X ))2 ? pi ?
n

(1)定义:D( X ) ? __________ _____ i ?1
(2)性质: D(aX

? b) ? __________

7、二项分布的期望:E( X ) ? _________ 二项分布的方差: D(X ) ?

E 两点分布的期望: ( X ) ? _________
两点分布的方差:D(X ) ?

三、四种常见分布 1.两点分布
X P 0 1-p 1 p

若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服
从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.

2、二项分布 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数 ξ 是一 个随机变量,其所有可能取的值为 0,1,2,3,?,n, - 并且 P(ξ=k)=Ck pkqn k(其中 k=0,1,2,?,n,q=1 n -p). 显然 P(ξ=k)≥0(k=0,1,2,?,n), ?Ck pkqn k=1. n


n

k=0

称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布, 记为 ξ~B(n,p).

3、超几何分布
在 有 M件 品 N件 品 , 取 n件 其 含 次 的 产 中 任 , 中 k n CM CN?kM ? 恰 X件 品 则 P( X ? k ) ? __________2,...,n 有 次 , , k ? 0,____ 1, n
min{ , n} , 且 M 其 m ? __________ n ? N , M ? N , 中

CN

n, M , N ? N

*

说明:超几何分布解决的问题涉及的背景往往由明显的两部分组成,

如产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等

4.正态分布
(1)定义:

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=

?? ,? x dx, ___________________则称随机变量X服从正态分布.
a

?

b

? ?

正态分布完全由参数μ 和σ 确定,因此正态分布常记作
N(μ ,σ 2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~

N(μ ,σ 2).

?是________, 是________, 2是______ ? ?

(2)正态曲线的特征:
①曲线位于_____上方,与x轴不相交; ②曲线是___峰的,它关于直线_____对称; ③曲线在x=___处达到峰值 ④曲线与x轴之间的面积为___;

⑤当σ 一定时,曲线的位置由__确定,曲线随着μ 的变化而________,如图①; ⑥当μ 一定时,曲线的____由σ 确定,σ 越小,曲 线越“___”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲 线越“____”,表示总体的分布越分散,如图②.

(3)3σ 原则:
正态分布在三个特殊区间内取值的概率

0.6826 P(μ -σ <X≤μ +σ )=________;
P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=________; 0.9544

0.9974 P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=_________.

四、几种事件的概率
(1)古典概型的概率: m A所含的基本事件数 P(A)= n = . 基本事件的总数 (2)几何概型的概率: P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

(3)互斥事件有一个发生的概率: P(A∪B)=P(A)+P(B). (4)条件概率: P?AB? P(B|A)= P?A? (5)相互独立事件同时发生的概率: P(AB)=P(A)P(B).

(6)独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck pk(1-p)n k,k=0,1,2,?,n. n


典例分析
考点一 随机变量的性质

【例1】

设离散型随机变量X的分布列为
X
P

0
0.2

1
0.1

2
0.1

3
0.3

4
m

求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列.

解 由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.

首先列表为:

X
2X+ 1 |X- 1| 从而由上表得两个分布列.
(1)2X+1的分布列:

0
1 1 1 0.2

1
3 0

2
5 1 3 0.1

3
7 2 5 0.1

4
9 3 7 0.3 9 0.3

2X+1 P

(2)|X-1|的分布列:

|X-1|
P

0
0.1

1
0.3

2
0.3

3
0.3

考点二 离散型随机变量的分布列 【例2】 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的 1 概率是 .现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后 7 取,然后甲再取??,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时 即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 X 表示取球 终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量X的概率分布; n?n-1? 2 2 n?n-1? 1 Cn (3)求甲取到白球的概率. 解 (1)设袋中原有 n 个白球,由题意知 = 2= = ,
7 C7 7×6 2 7×6 所以 n(n-1)=6,解得 n=3(舍去 n=-2),即袋中原有 3 个白球. (2)由题意,X 的可能取值为 1,2,3,4,5. 4×3 2 4×3×3 6 3 P(X=1)= ;P(X=2)= = ;P(X=3)= = ; 7 7×6 7 7×6×5 35

P(X=4)=

4×3×2×3 3 4×3×2×1×3 1 = ;P(X=5)= = . 7×6×5×4 35 7×6×5×4×3 35

X

1

2

3

4

5

P

所以,取球次数X的分布列为 (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记“甲取到 白球”的事件为A, 则P(A)=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”). 因为事件“X=1”、“X=3”、“X=5”两两互斥, 所以P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=

3 6 1 22 + + = . 7 35 35 35

C1· 2 1 1 C5 P(X=6)= 3 = . C6 2 故 X 的分布列为 X P 3 1 20 4 3 20 3 1 4 + = . 10 2 5 5 3 10 6 1 2

点拨

(2)P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)=

离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值,而且能清 楚地看到每一个值的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情 况,是进一步研究随机试验数量特征的基础. 考点三 超几何分布

【例3】

在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10

件产品中任取3件.求: (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果为C3 ,从10件产品中任取3件,其中恰有k件 10 一等品的结果数为Ck C3 k,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为 3 7 Ck C3 k 3 7 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是 C10 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
- -

(2)设“取出的3件产品一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品 和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品” C1C2 3 3 3 为事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,而P(A1)= 3 = , C10 40 7 1 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 40 120 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 7 1 31 = + + = . 40 40 120 120

考点四
【例1】

条件概率
1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5

个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2

号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红
球的概率是多少?
解 记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球. 3+1 4 4 2 1 3 1 则P(B)= = ,P( B )=1-P(B)= ,P(A|B)= = ,P(A| B )= = , 3 2+4 3 8+1 9 8+1 3 4 2 1 1 11 从而P(A)=P(AB)+P(A B )=P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B )= × + × = . 9 3 3 3 27

本例题设不变,问从2号箱取出白球的概率是多少?

考点五 相互独立事件发生的概率 【例2】 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定 每人最多投3次:在A处每投进一球得3分,在B处每投进 一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮, 否则投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处 的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在 B处投,用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其 分布列为
X P 0 0.03 2 p1 3 p2 4 p3 5 p4

(1)求q2的值;(2)求随机变量X的数学期望E(X); (3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与 选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
解 (1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立, 且P(A)=0.25,P( A )=0.75,P(B)=q2,P( B )=1-q2. 根据X的分布列知:p(X=0)=P( A 所以1-q2=0.2,即q2=0.8. (2)当X=2时,p1=P( A B B + A B B)=P( A B B )+P( A B B) B B )=P( A )P( B )P( B )=0.75(1-q2)2=0.03,

=P( A )P(B)· B )+P( A )P( B )P(B)=0.75 q2(1-q2)×2=1.5 q2(1-q2)=0.24; P( 当X=3时,p2=P(A B B )=P(A)P( B )· B )=0.25(1-q2)2=0.01; P(

当X=4时,p3=P( A BB)=P( A )P(B)P(B)=0.75q2=0.48; 2 当X=5时,p4=P(A B B+AB)=P(A B B)+P(AB)=P(A)P( B )P(B)+P(A)P(B) =0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24.

所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24

X 的数学期望 E(X)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.

(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( B BB+B B B+BB)=P( B BB) +P(B B B)+P(BB)=2(1-q2)q2+q2=0.896; 2 2 该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,且投篮得分超过 3 分的概率为 p3+p4= 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.

求复杂事件的概率一般可分步进行: ①列出题中涉及的各事件,并用适当符号表示; ②理清各事件之间的关系,列出关系式; ③根据事件之间的关系准确求解.
点拨

考点六

独立重复试验与二项分布

【例】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,

假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概 率都是 1 . 3 (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列; (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列; 1 解 (1)将通过每个交通岗看作一次试验,则遇到红灯的概率为 , (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3
且每次试验结果是相互独立的, 1 故 X~B?6,3 ?,以此为基础求 X 的分布列.

? ?

? ?

1 1 ?2 - 由 X~B?6,3 ?, 所以 X 的分布列为 P(X=k)=Ck?3 ?k·3 ?6 k, k=0,1,2,3,4,5,6. 6

? ? ? ?

(2)由于Y表示这名学生在首次停车前经过的路口数,显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5. 其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯, 故各概率应按独立事件同时发生计算. 2 1 P(Y=k)=?3?k·(k=0,1,2,3,4,5), ? ? 3 而{Y=6}表示一路没有遇上红灯, 2 故其概率为P(Y=6)=?3?6,

? ?

因此Y的分布列为: Y P 0 1 3 1 12 · 33 2 1 ?2?2 · 3 ?3? 3 1 ?2?3 · 3 ?3?

Y P

4 1 ?2?4 · 3 ?3?

5 1 ?2?5 · 3 ?3?

6

?2?6 ?3?

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X|X≥1}={X=1或X=2或?或X=6}, 2 665 所以其概率为P(X≥1)=∑ P(X=k)=1-P(X=0)=1-?3?6= . k=1 ? ? 729
6

点拨

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相 互独立的一种试验,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生, 要么不发生),并且在任何一次试验中,某事件发生的概率均相等. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是独立 性,即一次试验中,事件发生与不发生二者必居其一;其二是重复 性,即试验是独立重复地进行了n次.

某年级的一次数学测试成绩近似服从N(70,102), 如果规定低于60分为不及格,求: (1)成绩不及格人数占的比例是多少; (2)成绩在80~90内的学生占多少.
【例】 解 (1)∵在区间(70-10,70+10)上的人数占的比例为68.26%, ∴在区间(70-10,70+10)外人数占的比例为1-68.26%=31.74%,根据正 态 曲 线 的 对 称 性 可 知 : 在 60 分 以 下 或 80 分 以 上 的 学 生 占 的 比 例 为 31.74%÷2=15.87%.

(2)∵在区间(70-20,70+20)上的人数占的比例为 95.44%, ∴根据正态曲线的对称性可知, 80~90 分内的学生占的比例为(95.44%- 在 68.26%)÷2=13.59%.
点拨

正态分布下的概率计算常见的有两类:
1. 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的

知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面
积为1.

2. 利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与
正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μσ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.


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