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1.3.1 诱导公式二、三、四 课件(人教A版必修4)


1.3 三角函数的诱导公式

第一章

三角函数

情境创设
1,写出诱导公式一: sina sin(α+k·2π)=_________; cona cos(α+k·2π)=_________; tina tan(α+k·2π)=_________,其中k∈Z. 2,任意角的三角函数是怎么定义的?

观察: sin240 = sin2250= sin2100=
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第一章

三角函数

探究
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角与α有什么 关系?它们的三角函数之间有什么关系?

公式二
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα

y

P(x,y) π +α
O

α
x

P(-x,-y)
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第一章

三角函数

(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α有什 么关系?它们的三角函数之间有什么关系?

公式三
y

sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

P(x,y)
α
O



x

P(x,-y)
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第一章

三角函数

(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α有什么 关系?它们的三角函数之间有什么关系?

公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα
P(-x,y)
α

y

π-α
α
O

P(x,y)
x

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第一章

三角函数

1.3.1 诱导公式二、三、四

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第一章

三角函数

新知初探思维启动
公式二 sin(π+α)=-sinα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα sin(π-α)=sinα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα α+k· 2π(k∈Z ),-α,π±α的 三角函数值, 等于α的同 名函数值,前 面加上一个 把α看成锐 角时原函数 值的符号.

公式三

公式四

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第一章

三角函数

指出: 诱导公式二、三、四
k·2π+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值

,等于α的同名函数值,而符号由把α看成锐角
时原函数值的符号决定,概括成一句话为“函数 名不变,符号看象限”(把α视为锐角). 口诀:函数名不变,正负看象限 牢记诱导式,伴你过三年

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第一章

三角函数

做一做
1 若 sin(π+α)= ,则 sinα=________. 3
解析:运用公式二得

1 sin(π +α )=-sinα= . 3
所以:sina=-1/3
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第一章

三角函数

想一想 如何求sin(kπ+α),cos(kπ+α),tan(kπ+α)(k∈Z)的值? 提示:当k为偶数时(k=2n,n∈Z),就是公式一,

sin(kπ+α)=sinα,cos(kπ+α)=cosα,
tan(kπ+α)=tanα; 当k为奇数时(k=2n+1,n∈Z),就是公式二, sin(kπ+α)=-sinα, cos(kπ+α)=-cosα,tan(kπ+α)=tanα.
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第一章

三角函数

典题例证技法归纳
题型探究 求已知角的三角函数值
例1 求下列各三角函数值.
16 (1)sin π;(2)cos(-765° );(3)tan(-750° ). 3

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第一章

三角函数

16π ?4π+4π?=sin4π 【解】 (1)sin =sin? 3? 3 3

?π+π?=-sinπ=- 3. =sin? 3? 3 2
(2)cos(-765° )=cos765° =cos(2× 360° +45° )= cos225° 2 =-cos45° =- . 2 (3)tan(-750° )=-tan750° 3 =-tan(2× 360° +30° )=-tan30° =- . 3
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第一章

三角函数

【名师点评】 利用诱导公式求任意角的三角 函数值的一般步骤为: 任意负角的三角函数
利用-α的 诱导公式

――→

任意正角的 三角函数
利用π±α

利用2kπ±α的 诱导公式

――→

0到2π的角 的三角函数

的诱导公式

――→

锐角三角函数 ―→ 结论 .

口诀:负化正,大化小,化成锐角在思考
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第一章

三角函数

变式训练 1.求下列各三角函数值:
31π (1)sin1320° ;(2)cos(- );(3)tan(-765° ). 6 解:(1)法一:sin1320° =sin(3× 360° +240° )
3 =sin240° =sin(180° +60° )=-sin60° =- . 2 法二:sin1320° =sin(4× 360° -120° )=sin(- 120° ) 3 =-sin(180° -60° )=-sin60° =- . 2
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第一章

三角函数

31π 31π (2)法一:cos(- )=cos 6 6 7π π π 3 =cos(4π+ )=cos(π+ )=-cos =- . 6 6 6 2 31π 5π 法二:cos(- )=cos(-6π+ ) 6 6 π π 3 =cos(π- )=-cos =- . 6 6 2 (3)tan( - 765° = - tan765°= - tan(45°+ ) 2× 360° ) =-tan45° =-1.
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第一章

三角函数

利用诱导公式解决求值问题
1 )=- ,且 α 为第四象 例2 已知 cos(α-75° 3 限角,求 sin(105° +α)的值.
1 【解】 ∵cos(α-75° )=- <0,且 α 为第四 3 象限角, ∴α-75° 是第三象限角,

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第一章

三角函数

∴sin(α-75° ) =- 1-cos2(α-75° ) =- 1 2 2 2 1-(- ) =- , 3 3

∴sin(105° +α)=sin[180° +(α-75° )] 2 2 =-sin(α-75° )= . 3

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第一章

三角函数

变式训练:
2.本例条件不变,求cos(105°+α)+ tan(75°-α)的值.
解:∵(105° +α)-(α-75° )=180° , ∴105° +α=180° +(α-75° ) ∴cos(105° +α)=cos[180° +(α-75° )] 1 =-cos(α-75° . )= 3

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第一章

三角函数

由例题可得: 2 2 sin(α-75° )=- , 3 2 2 - sin(α-75° ) 3 ∴tan(α-75° )= = =2 2, 1 cos(α-75° ) - 3 ∴tan(75° -α)=-tan(α-75° )=-2 2, ∴cos(105° +α)+tan(75° -α) 1 1 = +(-2 2)= -2 2. 3 3

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第一章

三角函数

三角函数式的化简
例3 (本题满分 9 分)化简:
1+2sin295°cos425° · +cos65° - cos115°tan(-65° · ).
【解】 原式= 1+2sin(360° -65° )cos(360° +65° + ) cos65° +cos(180° -65° )tan65° 4分

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第一章

三角函数

= 1-2sin65° cos65° +cos65° - cos65° tan65° 4分 6分 9分

=|sin65° -cos65° |+cos65° -sin65° =sin65° -cos65° +cos65° -sin65° =0.

名师微博 你能准确运用诱导公式吗?

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第一章

三角函数

变式训练
sin(kπ-α)· cos[(k-1)π-α] 3.化简: . sin[(k+1)π+α]· cos(kπ+α)

解:当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z), sin(2mπ-α)· cos[(2m-1)π-α] 原式= sin[(2m+1)π+α]· cos(2mπ+α) sin(-α)· cos(π+α) = sin(π+α)· cosα

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第一章

三角函数

(-sinα)· (-cosα) = -sinα· cosα =-1; 当 k 为奇数时,设 k=2m+1(m∈Z), 同理可得原式=-1. 综上可知,原式=-1.

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第一章

三角函数

备选例题
1.sin2(2π-α)+cos(π+α)·cos(π-α)+1的值

是(
A.1 C.0

)
B.2 D.2sin2α

解析:原式=sin2α+(-cosα)· (-cosα)+1 =sin2α+cos2α+1=1+1=2. 选B.
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第一章

三角函数

?π-α?= 3,则 cos?α+5π?=________. 2.cos? ? 3 ? 6 6?

?α+5π? = cos ?π-?π-α?? = - 解 析 : cos ? ? ?6 ?? 6? ?π-α?=- 3. cos?6 ? 3
3 答案:- 3

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第一章

三角函数

1 3.已知 cosα= ,求 3 cos(-α-π)· sin(2π+α) 的值. cos(-α)· tanα
cos(π+α)· sinα -cosα· sinα 解:原式= = = cosα· tanα sinα cosα· cosα -cosα 1 =- . 3

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课堂小结
一、基本内容:
1.三角函数的四组诱导公式;
2.三角函数诱导公式的应用(求值、化简、证明); 3.三角函数诱导公式的记忆方法。

二、思想方法:
1.数形结合 2.转化与化归


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