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第2章 2.3.2离散型随机变量的方差


2.3.2 离散型随机变量的方差

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【课标要求】 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概 念和计算. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际

问题.
3.掌握方差的性质,以及两点分布、二项分布的方差的求 法,会利用公式求它们的方差.

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【核心扫描】 1.离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算.(难点) 2.离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联 系.(易混点)

3.两点分布、二项分布的方差的求法.

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自学导引
1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

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则 (xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,?,n)相对于均值E(X)的偏离 n ? (xi-E(X))2pi 程度,而D(X)= i=1 为这些偏离程度的加权平 均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称 D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根 D?X? 为随机变量 X的标准差.

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(2)意义:随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏离 于 均值 的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离 于均值的 平均程度越小 .

(3)离散型随机变量方差的性质
设a,b为常数,则D(aX+b)= a2D(X) .

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试一试:已知ξ的分布列为:

ξ P

1 1 4

2 1 3

3 1 6

4 1 4

则D(ξ)的值为________.
1 1 1 1 29 提示 ∵E(ξ)=1×4+2×3+3×6+4×4=12; 1 29 2 1 29 2 1 29 2 1 29 2 179 ∴D(ξ)=4(1-12) +3(2-12) +6(3-12) +4(4-12) =144.

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2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差

X D(X)

X服从两点分布 p(1-p) (p为成功概率)

X~B(n、p) np(1-p)

2 试一试:已知随机变量 X~B(3,p),D(X)= ,你能求出 p 3 的值吗?
提示 2 1 2 由已知得,3p(1-p)=3,解得 p=3或3.

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名师点睛
1.理解、记忆方差的定义式 x1+?+xn 设 x1、x2、?、xn 为 n 个样本数据, x = ,则该样 n , 1 本数据的方差 S =i=1 (xi- x ) ·, Σ n 由于 x 相当于离散型随机变
2 n 2

1 量中的 E(X),而n相当于每个数据出现的频率(概率)pi,故离 散型随机变量 X 的方差可定义为: DX=i=1 (xi-E(X))2·i(i=1,2,?,n). Σ p
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n

2.数学期望与方差的关系 (1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征.数学期 望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均值,而方 差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的

程度.
(2)E(X)是一个实数,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是 不变的,它描述X的取值的平均水平,D(X)表示随机变量X对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说 明X的取值越分散,反之,D(X)越小,X的取值越集中.

(3)D(X)与E(X)一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定(当
然方差是建立在数学期望这一概念上的).
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3.方差的性质 当a,b均为常数时,随机变量函数η=aξ+b的方差D(η)= D(aξ+b)=a2D(ξ).特别地: (1)当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0;

(2)当a=1时,D(ξ+b)=D(ξ),即随机变量与常数之和的方差
等于这个随机变量的方差本身; (3)当b=0时,D(aξ)=a2D(ξ),即随机变量与常数之积的方 差,等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.

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题型一 求离散型随机变量的方差 【例 1】 甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继 续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮;已知每次投篮 1 3 甲、乙命中的概率分别为3,4. (1)求第三次由乙投篮的概率; (2)在前 3 次投篮中,乙投篮的次数为 ξ,求 ξ 的分布列、期 望及标准差.
[思路探索] 先求出ξ的分布列,再利用期望、标准差公式求 解期望、标准差.
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1 2 2 3 13 解 (1)P=3×3+3×4=18. 1 1 1 (2)P(ξ=0)=3×3=9; 1 2 2 1 7 P(ξ=1)= × + × = . 3 3 3 4 18 2 3 1 P(ξ=2)= × = . 3 4 2 故 ξ 的分布列为

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ξ P

0 1 9

1 7 18

2 1 2

1 7 1 25 E(ξ)=0× +1× +2× = , 9 18 2 18
? 25?2 1 ? 25?2 7 ? 25?2 D(ξ)=?0-18? ×9+?1-18? ×18+?2-18? × ? ? ? ? ? ?

1 149 149 = ,∴ D?ξ?= . 2 324 18

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[规律方法]

1.求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤: 理解X的意义,写出X可能取的全部值 ↓ 写出X取每个值的概率 ↓ 写出X的分布列 ↓ 由均值的定义求出E?X? ↓ 利用公式D?X?= ? ?xi-E?X??2pi求值
i=1 n

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2.对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差 性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随 机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计

算过程.

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【变式 1】 已知 X 的分布列为 X P 求:(1)E(X),D(X); (2)设 Y=2X+3,求 E(Y),D(Y).
1 1 1 1 解 (1)E(X)=-1×2+0×3+1×6=-3,
? 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1? 2 1 5 D(X)=?-1+3? × +?0+3? × +?1+3? × = . 2 ? 3 ? 6 9 ? ? ? ?

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

7 20 (2)E(Y)=2E(X)+3= ,D(Y)=4D(X)= . 3 9
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题型二 两点分布与二项分布的方差 【例 2】 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨 树、沙柳等植物.某人一次种植了 n 株沙柳.各株沙柳的成 活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数, 6 数学期望 E(ξ)为 3,标准差 D?ξ?为 . 2 (1)求 n 和 p 的值,并写出 ξ 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要 补种沙柳的概率.
[思路探索] 判断某一离散型随机变量是否服从二项分布,是 利用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)的先决条件.
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解 由题意知,ξ 服从二项分布 B(n,p), P(ξ=k)=Ck pk(1-p)n k,k=0,1,?,n. n 3 (1)由 E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=2, 1 1 得 1-p= ,从而 n=6,p= . 2 2 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 64 1 6 64 2 15 64 3 20 64 4 15 64 5 6 64 6 1 64


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(2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 P(A)=P(ξ≤3), 1+6+15+20 21 得 P(A)= = 32 ,或 P(A)=1-P(ξ>3)=1- 64 15+6+1 21 = . 64 32 21 所以需要补种沙柳的概率为 . 32

[规律方法]
-p).

记准方差的性质:D(aξ+b)=a2D(ξ).若ξ服从

两点分布,则D(ξ)=p(1-p).若ξ~B(n,p),则D(ξ)=np(1

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【变式2】 设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试

验,求当p为何值时,成功次数的标准差的值最大?并求其
最大值.

解 设成功次数为随机变量 X, 由题意可知 X~B(100,p),则 D?X?= 100p?1-p?. 因为 D(X)=100p(1-p)=100p-100p2, 把上式看作一个以 p 为自变量的二次函数, 1 易知当 p= 时,D(X)有最大值为 25. 2 所以 D?X?的最大值为 5. 1 即当 p=2时,成功次数的标准差的值最大,最大值为 5.
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题型三 均值与方差的综合应用 【例3】 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记 上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取 球的标号.

(1)求ξ的分布列、期望和方差;
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值. 审题指导 (1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列, 再利用均值,方差公式求解. (2)运用E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ)求a,b.

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[规范解答] (1)ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5

1 1 1 3 1 则 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 2 2 D(ξ)=(0-1.5) × +(1-1.5) × +(2-1.5) × +(3 2 20 10
2

3 1 2 -1.5) ×20+(4-1.5) ×5=2.75.
2

(8 分)

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(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=± 2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
?a=2, ? 所以? ?b=-2 ? ?a=-2, ? 或? ?b=4 ?

即为所求.

(12 分)

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【题后反思】 解均值与方差的综合问题时的注意事项 (1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的 有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其解题的关键 是求出分布列;

(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互
独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质, 简化概率计算; (3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免 一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、二项分布可

直接利用对应公式求解.
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【变式3】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随 机变量X表示所选3人中女生的人数.

(1)求X的分布列;
(2)求X的均值与方差; (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.

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解 (1)X 可能的取值为 0,1,2.
k C2· 3-k C4 P(X=k)= C3 ,k=0,1,2. 6

X 的分布列 X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

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(2)由(1),X 的均值与方差为 1 3 1 E(X)=0×5+1×5+2×5=1. 1 3 1 2 2 2 D(X)=(0-1) × +(1-1) × +(1-2) × = . 5 5 5 5
2

(3)由(1),“所选 3 人中女生人数 X≤1”的概率为 4 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= . 5

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误区警示 忽略对方差的比较致误 【示例】 某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下进行 对比实验,100公顷的产量列表如下: 甲: 每公顷产量(吨) 公顷数 9.4 11 9.5 32 9.8 42 10.2 15

乙:
每公顷产量(吨) 公顷数 9.2 35 9.5 20 10 35 11 10

试判断这两个品种哪一个较好?
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[错解] 设甲品种每公顷产量为X, 则X的概率分布为:

X
P

9.4
0.11

9.5
0.32

9.8
0.42

10.2
0.15

由 上 表 可 得 E(X) 甲 = 9 . 4×0 . 11 + 9 . 5×0 . 32 + 9.8×0.42+10.2×0.15=9.72. 同理可以计算出

E(X) 乙 =9.2×0.35+9.5×0.2+10×0.35+11×0.1
=9.72. 由E(X)甲=E(X)乙,可知甲、乙两个品种的质量相同.
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对于如何评价两个品种的质量的标准只是停 在用均值来比较的层面上,误以为均值相同即质量相同,忽 视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察.

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[正解] 由错解知:E(X)甲=E(X)乙=9.72, D(X) 甲 =(9.4-9.72)2×0.11+(9.5-9.72)2×0.32+ (9 . 8 - 9 . 72)2×0 . 42 + (10 . 2 - 9 . 72)2×0 . 15 =

0.064.
D(X) 乙 =(9.2-9.72)2×0.35+(9.5-9.72)2×0.2+ (10-9.72)2×0.35+(11-9.72)2×0.1=0.295 6, D(X)甲<D(X)乙.所以甲品种质量更好一点.

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对于两个对象的优劣的比较,首先要比较它们 的均值,当均值一致时,还必须利用方差,对其稳定性进行 分析比较.

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