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特别解析:三角函数周期的几种求法


特别解析:三角函数周期的几种求法

1.定义法: 定义: 一般地对于函数, 如果存在一个不为零的常数, 使得当取定义域内的每一个值时, f( x +T)=f( x )都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数;不为零的常数叫 做这个函数的周期。对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数, 就把这个最小的正数叫做最小的正周期。 下面我们谈到三角函数的周期时, 一般指的是三角 函数折最小正周期。 例 1.求函数 y=3sin(

2 ? 2 ? 解:∵y=f(x)=3sin( x ? )=3sin( x ? +2 ? ) 3 3 3 3
=3sin(

2 ? x ? )的周期 3 3

2 ? 2 ? x ? 2? ? )=3sin[ ( x ? 3? ) ? ] = f(x+3 ? ) 3 3 3 3

这就是说,当自变量由 x 增加到 x +3 ? ,且必增加到 x +3 ? 时,函数值重复出现。 ∴函数 y=3sin(
6

2 ? x ? )的周期是 T=3 ? 。 3 3
6

例 2:求 f(x)=sin x+cos x 的周期

? ? ? 6 6 6 6 )= sin (x+ )+ cos (x+ )= cos x +sin x= f(x) 2 2 2 ? 6 6 ∴f(x)=sin x+cos x 的周期为 T= 2 sin x ? sin 3 x 例 3:求 f(x)= 的周期 cos x ? cos 3 x
解∵f(x+ 解:∵f(x+ ? )=

sin(x ? ? ) ? sin 3( x ? ? ) ? sin x ? sin 3 x = cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cox ? cos 3 x

sin x ? sin 3 x = f(x) cos x ? cos 3 x sin x ? sin 3 x ∴求 f(x)= 的周期:T= ? cos x ? cos 3 x
=

2.公式法: (1)如果所求周期函数可化为 y=Asin( ?x ? ? ) 、y=Acos( ?x ? ? ) 、y=tg( ?x ? ? ) 形成(其中 A、? 、? 为常数,且 A ? 0、 ? >0、? ? R) ,它们的周期是: 例 4:求函数 y=1-sinx+ 3 cosx 的周期

2? 2? ? 、 、 。 ? ? ?

解:∵y=1-2( 这里 ? =1 例 5:求:y=2(

1 ? ? ? 3 sinxcosx)=1-2(cos sinx-sin cosx)=1-2sin(x- ) 2 3 3 3 2

∴周期 T=2 ?

1 3 sinx- cos3x)-1 2 2 1 ? 3 sinx- cos3x)-1=2sin(3x- )-1 2 6 2
∴周期为 T=

解:∵y=2( 这里 ? =3 例 6:求 y=tg(1+

3?x )的周期 5 3? 3? 5 解:这里 ? = ,∴周期为:T= ? / = 5 5 3

2? 3

(2)如果 f(x)是二次或高次的形式的周期函数,可以把它化成 sin ? x、cos ? x、 tg ? x 的形式,再确定它的周期。 例 7:求 f(x)=sinx·cosx 的周期 解:∵f(x)=sinx·cosx=

1 sin2x 2

这里 ? =2,∴f(x)=sinx·cosx 的周期为 T= ? 例 8:求 f(x)=sin x 的周期 解:∵f(x)=sin x=
2 2

1 ? cos 2 x 2
2

而 cos2x 的周期为 ? ,∴f(x)=sin x 的周期为 T= ?

注:以上二题可以运用定义求出周期。 例 9:求 y=sin
6

? x+ cos6 ? x 的周期 ? x+ cos6 ? x
2 4 2 2 4 (sin ? x-sin ? x·cos ? x+ cos ? x) ? x+ cos2 ? x)

解:原函数次数较高,应先进降次变形,再求周期。 ∵y=sin
6

=(sin

=( sin

2

? x+ cos2 ? x)2-3 sin2 ? x·cos2 ? x
2

=1-3 sin

? x·cos2 ? x=1-

3 5 3 sin22 ? x = + cos4 ? x 4 8 8

而 cos4 ? x 的周期为 T=

2? ? = , 4? 2 ?

∴y= sin

6

? x+ cos6 ? x 的周期为 T=
2

? 2?
2

例 10:函数 y=3sin x-2 3 sinx·cosx+5cos x 的周期。 解:利用三角恒等式对函数进行恒等变形,再求周期。 ∵y=3sin2x-2 3 sinx·cosx+5cos x=3-2 3 sinx·cosx+2cos x
2 2

=3- 3 sin2x+cos2x+1=4+2(
2 2

1 ? 3 cos2xsin2x)=4+2cos(2x+ ) 2 3 2

∴y=3sin x-2 3 sinx·cosx+5cos x 的周期为 T=

2? ?? 2

3.定理法: 如果 f(x)是几个周期函数代数和形式的,即是:函数 f(x)=f1(x)+f2(x),而 f1(x)的 周期为 T1, f2(x)的周期为 T2,则 f(x)的周期为 T=P2T1=P1T2,其中 P1、P2 ? N,且(P1、P2)=1 事实上,由

T1 P1 (既约分数) ,得 T= P2T1=P1T2 ? T2 P2

∵f(x+ P1T2)=f1(x+ P1T2)+f2(x+ P1T2)=f1(x+ P2T1)+ f2(x+ P1T2) = f1(x)+ f2(x)=f(x) ∴P1T2 是 f(x)的周期,同理 P2T1 也是函数 f(x)的周期。 例 11:求函数 y=tg6x+ctg8x 的周期。 解:∵y=tg6x 的周期为 T1=

? ? ,tg8x 的周期为 T2= 6 8

由 P1T2= P2T1,得

T1 P1 4 = = ,取 P1=4,P2=3 T2 P2 3

∴y=tg6x+ctg8x 的周期为 T= P1T2= 例 12:求函数 y=sin2x+sin3x 的周期

? 。 2
2? 3

解:∵sin2x 的周期为 T1= ? ,sin3x 的周期为 T2= 而

T1 3 = ,即是 T=2T1=3T2, T2 2

∴y=sin2x+sin3x 的周期为 T=2T1=2 ? 例 13:求函数 y=cos 解:∵cos

x x +sin 的周期 3 4

x x 的周期为 T1=6 ? ,sin 的周期为 T2=8 ? 3 4



T1 6? 3 ? ? ,即是 T=4T1=3T2 T2 8? 4

x x +sin 的周期为 T=3T2=24 ? 。 3 4 x x 类似,y=sin -2sin 的周期为 T=30 ? ,y=tg3 ? +2ctg2 ? 的周期为 T= ? 。 5 3
∴y=cos 由上述各例可知:尽管问题的形式多样复杂,但经过仔细观察、认真分析,都可以把 它化成相关问题,运用有关知识,就可以解决。


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