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③限时作业简单的三角恒等变换


课后限时作业(二十三)
(详解为教师用书独有)

A级
(时间:40 分钟 满分:90 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1. A.1
3 ? s in 6 0 ? 2 ? cos 15?
2

?

( B.2
3

)

C. 2 3

D.3

解析:原式 ?

6? 3 2 ? ? 2. 1 ? co s 3 0 ? 3 2? 3? 2 2

2?

答案:B 2.函数 f ( x ) ? A.2π ,2 解析: f ( x ) ? 答案:A 3.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin x,x∈R,则 f(x)是 A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 D.最小正周期为
?
2
2

?? ? 3 s in x ? s in ? ? x ? 的最小正周期和最大值分别是 ? 2 ?

( D.π ,1

)

B.π ,2

C.2π ,1

? ? ? 3 sin x ? c o s x ? 2 sin ? x ? ? ,所以 T=2π ,最大值为 2. 6 ? ?





的奇函数 的偶函数
1 ? cos x 2

?
2

解析:f(x)=(1+cos 2x)× 所以最小正周期为 答案:D
?
2

=

1 2

(1-cos 2x)=

2

1 2

-

1 2

×

1 ? cos 4 x 2

=

1 4

-

1 4

cos 4x.

,且为偶函数.

4.已知函数 f ( x ) ? c o s ? x ?
2

? ?

? ?

? ,该函数的一个递减区间是 6 ? ? 5 ? 1 1? ? , ? ? 12 12 ?

(

)

A. ? ?
?

?

?
6

,

? ?
? 3 ?

B. ? ?
?

?

5? ? ? 12 12 ? ,

?

C. ?

D. ?

?? ? 6

,

2? ? ? 3 ?

解析: f ( x ) ? c o s ? x ?
2

? ?

? ?

?? 6 ?

? ? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? 3 ? ?
2

?

1

? ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? . 2 3 ? 2 ?
2? 3

由 2kπ < 2 x ?

?
3

<2kπ +π (k∈Z)得 k ? ?
2? ? ? .故选 D. 3 ?

?
6

? x ? k? ?

(k∈Z).

令 k=0 得 x∈ ? 答案:D

?? ? 6

,

5.化简 2 ? co s 2 ? sin 1 的结果是
2

( B.cos 1 D.- 3 cos 1



A.-cos 1 C.
3 cos 1

6.(2013 届·泉州调研)设 a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c= 的大小关系是 A.a<b<c

6 2

,则 a,b,c ( )

B.a<c<b

C.b<c<a

D.b<a<c

【解析】a= 2 sin 59°,b= 2 sin 61°,c= 2 sin 60°,由 y=sin x 在[0,90°]上为增 函数知 a<c<b. 【答案】B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7. 已知 sin α =cos 2α (? ? (
?
2 , ? )) ,则 tan α =

.

【解析】因为 sin α =cos 2α , 所以 sin α =1- 2 sin ? ? 2 sin ? +sin α -1=0.
2 2

所以 sin α =12 或-1. 又
?
2 ? ? ? ? , ,所以 sin ? ? 1 2 . 所以 ? ? 5? 6 . 所以 ta n ? ? ?

3 3

.

答案: ?

3 3

8.已知角α 在第一象限,且 c o s ? ?

3 5

1?

,则

? ? ? 2 co s ? 2 ? ? ? 4 ? ?
?? ? sin ? ? ? ? ? 2 ?

?

.

1?

解析:原式 ?

? ? ? ? 2 ? c o s 2? c o s ? s in 2 ? s in ? 4 4 ? ?
cos ?

?

1 ? c o s 2 ? ? s in 2 ? cos ?

?

2 c o s ? ? 2 s in ? c o s ?
2

cos ?

? 2 ? c o s ? ? s in ?

??

? 3 4 ? 14 2?? ? ? ? . 5 ?5 5?

答案:

14 5

9.已知 s in ?

??

? 3 ? x ? ? ,则 sin 2x= ? 4 ? 5 ??

.

解析:sin 2x ? c o s ? 答案:
7 25

18 7 ? ?? ? ? 2 ? ? ? 2 x ? ? c o s 2 ? ? x ? ? 1 ? 2 sin ? ? x ? ? 1 ? ? . 25 25 ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ?

10.已知 sin θ +cos θ =

1 5


1 5

?
2

≤θ ≤

3 4

π ,则 cos 2θ =

.

解析:因为 sin θ +cos θ = 所以(sin θ +cos θ ) = 又因为
?
2 3 4
2

,
24 25

2

1 25

,即 sin 2θ =3 2

.

≤θ ≤ ? ,所以π ≤2θ ≤ ? .
24 25 7 25

所以 cos 2θ =- 1 ? s in 2? ? ? 1 ? ( ?
7 25

)

2

? ?

.

答案:-

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11.已知函数 f(x)=sin ω x+ (1)求ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0,
2 3
2

3 sin ω xsin(ω x+

?
2

)(ω >0)的最小正周期为π .

π ]上的取值范围.

(1)因为 T=π ,所以

2? 2?

=π ,所以ω =1.
?
6 )? 1 2

(2)由(1)知ω =1,所以 f(x)=sin ( 2 x ?

,

12. 已 知 a=(cos 2 α ,sin α ),b=(1,2sin α -1), α ∈ (
5 2 s in 2 ? ? 4 c o s ( ? ? 2 cos
2

?
2

, ? ) ,a · b=

2 5

.求

?
4

)

?
2

的值.

【解】a·b =cos 2α +sin α (2sin α -1)=2 co s ? -1+2 sin ? -sin α
2 2

=1-sin α =

2 5

,
3 5

所以 sin α = 因为α ∈ (
?
2

.
4 5

, ? ) ,所以 cos α =-

.

所以 c o s (? ?

?
4

)? ?

7 10 10

.

5 2 s in 2 ? ? 4 c o s (? ? 所以 2 cos 5 2 ?2? ? 3 5 ? 4 5 ? (? 4 5 ?1
2

?
4

) ?

5 2 s in 2 ? ? 4 c o s ( ? ? cos ? ? 1

?
4

)

?
2

)?

28 2 10 ? ?10 2.

B级
1.(2013 届·福州质检)已知锐角α 、β 满足 sin α = α +β = A. C.
?
4
5 5

,cos β =

3 10 10

,则 ( )

B. 或
3 4

3 4

π

?
4

π

D.

?
2

答案:A 2. 2013 届· ( 广东佛山质检) 已知 450°<α <540°, 则 A. ? s in
?
2

1 2

?

1 2

1 2

?

1 2

c o s 2 ? 的值是 (



B. c o s
1 2 1 2

?
2

C. s in
1 ? c o s 2? 2

?
2

D. ? c o s
1 2 1 2

?
2

解析:原式=

?

?

?

c o s ? ? | sin

?
2

|.

因为 450°<α <540°,所以 225°< 答案:A

?
2

<270°.所以原式= ? s in

?
2

.

3.已知 a= (cos 2α ,sin α ) (1,2sin α -1) ? ? ? ,b= , 的值为 .
2 5

??

2 ? , ? ? , a· 若 b= ,则 ta n 5 ? 2 ?

? ? ? ?? ? ? 4 ? ?

解析:由 a·b=
2

得 cos 2α +sin α (2sin α -1)=
2

2 5

,

即 1 ? 2 s in ? ? 2 s in ? ? s in ? ? 又? ? ?
??

2 5

,故 s in ? ?

3 5

.

4 s in ? 3 ? ? ? . , ? ? ,所以 c o s ? ? ? .所以 ta n ? ? 5 cos ? 4 ? 2 ?

3 1? ? ? 1 ? ta n ? ? 4 ? 1. ? 所以 ta n ? ? ? ? ? 3 4 ? 1 ? ta n ? 7 ? 1? 4

答案:

1 7

4.若 sin(

?
6

-α )=
2 3

1 3

,则 cos(

2? 3

+2α )=
?
3

.

解析:cos( =-cos(
?
3

π +2α )=cos[π -(
?
6

-2α )]

-2α )=-cos[2(
2

-α )]
?
6
7 ?1? ? -1=- . 9 ?3?
2

=-[1-2sin (
7 9

?
6

-α )=2sin (

2

-α )-1=2× ?

答案:-

5.已知向量 m=(sin B,1-cos B),且与向量 n=(2,0)的夹角为 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A+sin C 的取值范围.
?? ? m ?n 解: (1)由题意得 cos = ?? ? , 3 m n

?
3

,其中 A、B、C 是△ABC

?



1 2

?
2

2 s in B s in B ? (1 ? c o s B ) ? 2
2

.

化简得 2sin B= 2 ? 2 co s B , 平方得 4sin B=2-2cos B, 4(1-cos B)=2-2cos B. 即 2cos B-cos B-1=0, 所以(2cos B+1)(cos B-1)=0, 因为 B 为△ABC 的内角,所以 cos B-1≠0. 所以 2cos B+1=0,即 cos B=2 3
1 2
2 2
2

,所以 B= ? .
3

2

(2)由(1)知 B= ? ,所以 A+C=
?
3

?
3

,
3 2
1 2

所以 sin A+sin C=sin A+sin(

-A)=sin A+

cos A-

sin A

=

1 2

sin A+

3 2

cos A=sin(A+
?
3

?
3

).
?
3

又因为 A∈(0,
?
3

),所以 A+
3

?
3

∈(

, ? ),
3

2

Sin(A+

)∈(

,1],

2 3 2

所以 sin A+sin C 的取值范围是(

,1].

6.函数 y=sin α +cos α -4sin α cos α +1,且 (1)把 y 表示成 k 的函数 f(k); (2)求 f(k)的最大值. 解: (1)因为
k ? 2 s in ? ? s in 2 ?
2

2 sin ? ? sin 2 ?
2

1 ? tan ?

? k,

?
4

?? ?

?
2

.

1 ? ta n ?

?

2 s in ? ? s in 2 ?
2

1?
2

s in ? cos ?

?

2 s in ? ? s in ? ? c o s ? s in ? ? c o s ? cos ?

?

? 2 s in ? c o s ? , ,

所以(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α =1+k. 因为
?
4 ?? ?

?
2

,所以 sin α +cos α >0.

所以 sin α +cos α = 1 ? k . 所以 y ?
1 ? k ? 2k ? 1 .

因为 k=2sin α cos α =sin 2α , 所以 k=sin 2α ∈[0,1).

?
4

?? ?

?
2

,

所以 f(k)= 1 ? k -2k+1(0≤k<1).
2 (2)设 1 ? k =t,则 k ? t ? 1 ,1≤t< 2 .

所以 y=t-2(t -1)+1=-2t +t+3(1≤t< 2 ). 因为关于 t 的二次函数在[1, 所以 t=1 时, y m ax ?
2 .
2 )内是减函数,

2

2


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