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小波变换和希尔伯特


第4卷 2006 年

第 11 期 11 月

中 国 水 运 China Water Transport

Vol.4 Novembdr

No.11 2006

小波变换和希尔伯特—黄变换 在时频分析中的应用





刘晶璟









要:简单介绍了时频分析的基本理论,将小波变换和希尔伯特-黄变换分别应用于几个非平稳信号的分析当中, 小波变换 希尔伯特-黄变换 文献标识码:A 文章编号:1006-7973(2006)11-0111-03 就可以得到函数ψ a ,τ (t ) :
ψ a ,τ (t ) =
1 t ? τ a,τ ∈ R; a > 0 ) ψ( a a

将二者进行一个简单的比较,最终得出结论。 关键词:时频分析 中图分类号:TN911.21 一、引言 长期以来信号处理的对象局限于确定性信号或是统计量 不随时间变化的平稳信号, 其有效的分析工具就是 Fourier 分 析,它是一种全局性的变换,无法表达信号的时频局部特性, 但非平稳信号的广泛存在是不争的事实。由于受到信号处理 理论发展的限制,对非平稳信号的分析过去人们一直是沿用 平稳信号的处理方法来作近似,效果当然不够理想。随着研 究的深入和科技实践的需要,针对非平稳信号的理论分析已 是迫在眉睫。这就是时频分析理论产生的时代背景。时频分 析实际上是将一维的时间信号映射到时频 (有的是时间尺度) 二维,可以很好的表示出信号的频率成分随时间的化规律, 而这恰恰是非平稳信号分析所需要的。 二、小波变换 小波变换是一种信号的时频分析方法,即在时域对信号 进行离散变换,在频域进行谱分析的方法。它具有高分辨率 的特点,而且在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。 它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率, 在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很 适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象,所以被誉为分 析信号的显微镜和望远镜。 1.小波函数的定义 小波(wavelet),即小区域的波,是一种特殊的长 度有限、平均值为 0 的波形。小波函数的确切定义为: , (FT: Fourier Transform) 设Y (t) (R) 若其傅立叶变换 □L
Ψ (ω ) 满足条件:
2

(2)

赖于参数 a、τ 的小波基函数。由于尺度因子 a 和平移因子τ 是由同一母函数 Ψ (t ) 经伸缩和平移后得到的一组函数序列。 2.连续小波变换的定义

式中,a 为尺度因子,τ 为平移因子,我们称ψ a ,τ (t ) 为依

是连续变化的值, 因此我们称ψ a ,τ (t ) 为连续小波基函数。 它们

将任意 L2 ( R ) 空间中的函数 f ( t ) 在小波基下展开,称这 (CWT: Continue Wavelet 种展开为函数 f ( t ) 的连续小波变换 Transform)[2],其表达式为:
WT f (a,τ ) = f (t ),ψ a ,τ = 1 a



+∞

?∞

f (t )ψ * (

t ?τ )dt a

(3)

由以上定义,我们可以看出小波变换和傅立叶变换一样, 也是一种积分变换。 WT f (a,τ ) 为小波变换系数。它不同于傅立 叶变化的地方是,小波基具有尺度 a 和平移τ两个参数,所以 函数经过小波变换,就意味着将一个时间函数投影到二维的时 间-尺度相平面上。 这样有利于提取信号函数的某些本质特征。 为了分析非平稳信号频率随时间的变化,我们可以作出 小波时间频率谱(TFS),它很好地解决了 Fourier 分析中信 号在时域和频域不能同时表达的问题。

Cψ = ∫

+∞

?∞

ψ (ω ) dω < ∞ ω
2

(1)

则称 Ψ (t ) 为一个基本小波或小波母函数。式(1)为小 波函数的可容许条件。将小波母函数 Ψ (t ) 进行伸缩和平移, 收稿日期:2006-9-20 作者简介:孙 涛 武汉理工大学土木工程与建筑学院 (430070) 图1

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《中 国 水 运》理 论 版

第4卷

记为 c1 (t ) = h1 (t ) ;否则令 s1 (t ) = h1 (t ) ,重复上述运算,第 k 步,sk (t ) = hk (t ) .记 m (t ) = uk (t ) + vk (t ) ,uk (t ) 和 vk (t ) 分别为 k
2

下包络, hk +1 (t ) = sk (t ) ? mk (t ) .重复以上操作, 令 sk (t ) 的上、 直 到 hk +1 (t ) 满 足 条 件 ① 和 ② 时 得 到 一 个 IMF , 记 为 图2 1 是 一 个 混 频 信 号
c1 (t ) = hk +1 (t ) .作计算 r (t ) = s (t ) ? c1 (t ) ,对 r (t ) 重复以上过



S1 , 其 表 达 式 为 (4)

?2sin(0.1t ) t ∈ [1,300] S (t ) = ? ?sin(0.2t ) t ∈ (300, 600]

程,依次得到第二个 IMF c2 (t ) ,第三个 IMF c3 (t ) ,……, EMD 分 直到 r (t ) 为一单调信号或其值小于预先给定的值时, 解结束。由此得 s (t ) 的分解式: 2.Hilbert 变换和 Hilbert 谱 对 任 一 时 间 序 列 X (t ) , 其 Hilbert 变 换 Y (t ) 定 义 为
Y (t ) = X (τ ) 1 P dτ π ∫ t ?τ

在对信号实施 CWT(Morlet 函数为小波函数)后,在尺 度方向上检测每个采样点上小波变换因子的最大值,记录该 最大值对应的尺度, 最后将记录的尺度变换为频率值, 尺度 a 与频率 v 的关系可用下式表示: v = 式中

ω0
a

s (t ) = ∑ ci (t ) + r (t ).
i=1

n

(6)

(5)

ω0

为 母 小 波 的 频 率 ( Morlet 母 小 波 的 频 率

。.以频率值为纵坐标,采样序列为横坐标作 ω0 = 0.8102Hz ) 图就可以得到小波时间频率谱(TFS) ,如图 2 所示, 信号在 [1,300]上,频率集中在 0.015Hz 左右;在(300,600) 上,频率集中在 0.030Hz 左右,这与信号的属性完全一致。 TFS 更能直观地展示信号频率随时间变化的情形,而利用 Fourier 变换,这些信息是无法获取的。 三、Hilbert-Huang 变换 1.EMD Hilbert-Huang 变换的核心是经验模态分解(EMD : Empirical Mode Decomposition),把复杂的信号分解成从高频到 低频的的若干个固有模态函数(IMF:Intrinsic Mode Function)。 IMF 需具有以下两个特点:① 其极值点(极大值和极小值)数 目与跨零点数目相等或最多相差一个;② 由其局部极大值构成 的上包络和其局部极小值构成的下包络平均值为 0。 EMD 的步骤[4]如下:对任意信号 s(t),首先求出 s(t) 的上包络 u0 (t ) 和下包络 v0 (t ) ,记上、下包络的均值曲线为

(7)

式中, 为柯西主值。 P 则对应于 X (t ) 的解析信号 Z (t ) 为:

Z (t ) = X (t ) + iY (t ) = a (t ) e

iθ(t )

式中, a (t ) 和 θ (t ) 分别称为

信号 X (t ) 的瞬时振幅和瞬时相位,按下式计算:
a (t ) = X 2 (t ) + Y 2 (t ) , θ (t ) = arctan (Y (t ) / X (t ))

由瞬时相位可得到信号的瞬时频率: 对通过 EMD 方法得到的各阶 IM F 分量 ci (t ) 分别进行 Hilbert 变换,可得到各分量的瞬时振幅和瞬时频率,它们都是 时间的函数,能很好地反映数据的瞬时性。如果把振幅显示在 时间-频率平面上,就可以得到原信号的 Hilbert 谱,Hilbert 谱 能够清晰地刻画一个数据序列在时间上的变化规律。 为验证 HHT 方法的有效性,利用四个余弦信号与一个 指数趋势项相加作为仿真信号 S2 进行分解,该信号由以下方 程表示:
S ( t ) = cos ( 20π t ) + cos ( 50π t ) + cos (100π t ) + cos (120π t ) + e2t (9)

ω (t ) = d θ (t ) / dt

(8)

m0 (t ) ,即: m0 (t ) =

u0 (t ) + v0 (t ) ,记 2

h1 (t ) = s (t ) ? m0 (t ) 。

判断 h1 (t ) 是否满足条件①和②,若满足,则得到第一个 IMF,

图3

EMD 分解示意图 法是按不同的时间尺度分解信号,先分解出高频,再分解出

对该信号进行 EMD 分解。如图 3 所示,可知,EMD 方

第 11 期

孙 涛等:小波变换和希尔伯特——黄变换在时频分析中的应用

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低频,次低频,最后得到趋势项。EMD 分解是信号本身所决 定的一个自适应分解过程,能很快地提取信号特征并分解出 信号的分量,分解出的四个 IMF 分量和趋势量正是仿真信号 的五个原始信号, 表明了分解的可靠性、 高效性, 体现了 IMF 分量本身的物理含义。 四、小波变换和希尔伯特-黄变换实例比较 信号 S 由一频率为 30 Hz 余弦信号信号和一频率为 120 Hz 正 弦 信 号 叠 加 而 成 。 该 信 号 由 方 程 表 示 为

图 4 为该信号经过 CWT 后的尺度图,可以看出该信号 由一高频和一低频信号组成,而图 5 则更清晰地显示出两个 信号的频率。通过上面两个图形我们还可以发现 Hilbert 谱的 大部分能量都集中在一定的时间和频率范围内,而 Morlet 谱 的能量在频率范围内分布较广,这是由于 Morlet 小波引起的 能量泄漏造成的。 五、结论 通过对上述三个信号分别进行小波变换和 Hilbert-Huang 变换,以及对小波谱与 Hilbert 谱分析的比较, 我们可以得出如下结论: 1.CWT 是良好的时间、频率同时分析工具,它能解决 Fourier 分析中信号在时域和频域不能同时表达的问题; EMD 依据信号本身的固有特性进行分解,保证了信号分解后的非 平稳特性,具有自适应性强和高效的优点。 2.HHT 方法是一种更具适应性的时频局部分析方法, 它没有固定的先验基底,是自适应的;瞬时频率定义为相位 函数的导数,不需要整个波来定义局部频率,因而可以实现 从低频信号中分辨出奇异信号,这比小波有了明显的进步。 参考文献 [1] 高志,余啸海.Matlab 小波分析工具箱原理与应用.北京. 国防工业出版社.2004. [2] J.Slavic , I.Simonovski , damping identification using a continuous wavelet transform: application to real data.Journal of sound and vibration 262.2003.291-307. [3] 卢小泉,刘宏德.分析化学中的小波分析技术.北京.化学 工业出版社.2005.10. [4] 李书进,虞晖,瞿伟廉.基于 Hilbert-Huang 变换的结构 损伤诊断.武汉理工大学学报.2004.8.

S (t ) = cos(2π 30t ) + sin(2π 120t )

(10)

图4

图5

In time frequency analysis application
Sun Tao Liu Jingjing Kong Fan Wan Ping
Abstracts:Introduced simply when the frequency analysis elementary theory, applies separately the wavelet transformation and the Hilbert - yellow transformation in middle several non-steady signal analyses,carries on the two a simple comparison, finally draws the conclusion. Keyword:When frequency analysis Wavelet transformation Hilbert - yellow transformation


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