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2015年北京市西城区高三二模数学(理)试题Word版带解析


北京市西城区 2015 年高三二模试卷 数

学(理科)

2015.5

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x≤3} ,则 A ? B ? ( )

(A) (?1,3) (B) (1,3] (C) [1,3) (D) [?1,3] 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x ? 3} ,所以 A ? B ? (1,3] ,故选 B. 2.已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) , b ? (2,3) , c ? (?2, k ) ,若 (a ? b)//c ,则实数 k = ( (A) 4 (B) ?4 (C) 8 【考点】平面向量的线性运算 【难度】1 【答案】D 【解析】 (D) ?8

)

得 k ? ?8 .故选 D.

? ? ? ? ? 4 k , a ? b ? (1, 4) ,由 (a ? b) ? c ,所以有 ? 1 ?2
x ?1

3. 设命题 p :函数 f ( x) ? e 下列命题中真命题是( ) (A) p ? q (C) (?p) ? (?q)

在 R 上为增函数;命题 q :函数 f ( x) ? cos( x ? π) 为奇函数. 则 (B) (?p) ? q (D) p ? (?q )

【考点】简单的逻辑联结词 【难度】1 【答案】D 【解析】 因 f ( x) ? e x ?1 在 R 上是增函数,故 p 命题为真; 而 f ( x) ? cos( x ? ? ) ? ? cos x 为偶函数,故 q 命题为假, 则 ? q 为真,从而 p ? (?q) 为真命题,选 D. 4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ?{1, 2,3} ,则输出的 s 属于(



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(A) {1, 2} (B) {1, 3} (C) {2, 3} (D) {1,3,9} 【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A 【解析】 当 n=1 时,经过判断后重新赋值得到 n=3,所以输出的 s=1; 当 n=2 时经过判断后重新赋值得 n=9,此时输出 s=2; 当 n=3 时,判断为是,直接输出 s=1, 所以 s 的集合为{1,2}. 5. 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y(万元)与

x 满足函数关系 y ? 4 x2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x 为(
(A) 3 (C) 5 【考点】均值不等式的应用 【难度】2 【答案】B 【解析】 设年平均花费为 y ,则 (B) 4 (D) 6



y?

4 x 2 ? 64 16 16 ? 4( x ? ) ? 2 x? ? 32, x x x

当且仅当 x ?

16 x ? 4 时取到,故选 B. x ,即

6.数列 {an } 为等差数列,满足 a2 ? a4 ? ? ? a20

? 10 ,则数列 {an } 前 21 项的和等于(



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(A)

21 2

(B) 21

(C) 42

(D) 84

【考点】等差数列 【难度】1 【答案】B 【解析】 由等差数列的性质知 ? a2 ? a4 ??? a20 ? ? 5(a2 ? a20 ) ? 10 , 所以 (a1 ? a21 ) ? (a2 ? a20 ) ? 2 ,所以 S 21 ?

21(a1 ? a21 ) ? 21 2


选B 7.若“ x ? 1 ”是“不等式 2 x ? a ? x 成立”的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? 3 (B) a ? 3 (C) a ? 4 (D) a ? 4 【考点】充分条件与必要条件 【难度】2 【答案】A 【解析】 不等式 2 ? a ? x 即 2 ? x ? a 。
x x

令 f ( x) ? 2x ? x ,此函数为增函数, 因 f (1) ? 3 ,欲符合题意,只须 a ? 3 ,选 A 8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB =

2, BC = AA1 = 1 ,点 M 为 AB1 的中点,点 P 为对角线 AC1 上


的动点,点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 MP + PQ 的最小值为( (A)

2 2

(B)

3 2

(C)

3 4

(D) 1

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】C 【解析】 对角线 AC1 上动点 P 到底面 ABCD 上的 Q 点的最小值为 P 点在底面 ABCD 上的投影, 即点 Q 在直线 AC 上,且始终满足 PQ ? AC ,故只需把 ?AB1C1 绕 AC1 旋转, 使 ?AB1C1 和

?ACC1 平铺在一个平面内,如图。

由垂线段最短知,由 M 向 AC 引垂线与 AC1 的交点即为满足条件的点 P 。 求得

?B1 AC1 ? ?CAC1 ?

?
6



故在 Rt ?AMQ 中, AM ?

3 3 ? , ?MAQ ? ,所以 MQ ? 。选 C 4 2 3
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D A D1 M A1 Q B P B1

C Q C1 A P M

C

C1 B1

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

10i ? ________. 3?i

【考点】复数综合运算 【难度】1 【答案】 1 ? 3i 【解析】

10i 10i(3 ? i) 10i(3 ? i) ? ? ? 1 ? 3i 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10
10.双曲线 C: 【考点】双曲线 【难度】1 【答案】 e ? 【解析】 由

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为____;渐近线的方程为_____________. 8 4

6 2 , y?? x 2 2

x2 y 2 ? ? 1 可得 a ? 2 2, b ? 2, c ? 2 3 8 4

所以 e ?

c 6 b 2 ? , 渐近线 y ? ? x ? ? x a 2 a 2

11.已知角 ? 的终边经过点 (?3, 4) ,则 cos? ? _________; cos 2? ? _________. 【考点】三角函数的定义;倍角公式 【难度】1 【答案】 ?

3 7 ;? 5 25
3 , 5

【解析】由三角函数定义知 cos ? ? ?
2 所以 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?

7 25 12.如图, P 为 ? O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与 ? O 相交于点 B ,C ,且 PC ? 2PA , D
为 PC 的中点, AD 的延长线交 ? O 于点 E . 若 PB ?

3 4

,则 PA ? ____; AD ? DE ? _____.

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【考点】圆 【难度】2 【答案】 【解析】 由切割线定理 PA2 ? PB?PC ? 2PB?PA ,

3 9 ; 2 8

3 , PC ? 3 , 2 再由相交弦定理 AD?DE ? BD?DC , 3 3 因 D 是 PC 的中点,所以 DC ? , BD ? PD ? PB ? , 2 4 9 故 AD ?DE ? BD ?DC ? 。 8
所以 PA ? 13. 现有 6 人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种. (用 数字作答) 【考点】排列与排列的运用 【难度】2 【答案】288 【解析】
4 分三步来完成:先安排除甲乙外的其他四人,有 A4 种;

再安排甲,因不能站在两端,故有 3 种不同的办法; 最后安排乙,因不能和甲相邻,故有 4 种不同的办法,
4 所以共有 A4 ? 3? 4 ? 288 种不同的排法。

14. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 2, 射线 OP 从 OA 出发, 绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD , O 为 AD 的中点, 在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论: 1 f (π) ? 3 ; ○ 3 2 π π π ○ 2 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 4 ; 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) π ? 0. ○ 3 任意 x1 , x2 ? ( , π) ,且 x1 ? x2 ,都有 x1 ? x2 2 其中所有正确结论的序号是_________.

【考点】函数综合
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【难度】2 【答案】①② 【解析】

①当 ?AOP ?

?
3

时,OP 与 AM 相交于点 M,

计算得 S? AOM ? ②因为

3 ,故①正确 2

?
2

?x和

?
2

? x 互补,

所以由对称性得 f ( 所以 f (

?

?
2

? x) ? f (

?

? x) ? f ( ? x) 恰好是正方形的面积, 2 2 2 ? x) ? 4 ,②正确

?

③因 f ( x ) 在定义域上是增函数, 所以
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 不成立,③错误。 x1 ? x2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中, 角 A , B ,C 所对的边分别为 a , b ,c , 已知 a ? 7 ,b ? 3 , 7 sin B ? sin A ? 2 3 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由正弦定理 得

a sin A

?

b sin B



,即 7 sin B ? 3sin A , sin A sin B 又因为 7 sin B ? sin A ? 2 3 , 解得 sin A ?

7

?

3

3 2



因为 ?ABC 为锐角三角形, 所以 A ?

π . 3
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(Ⅱ)解:在 ?ABC 中, 由余弦定理 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc





1 2

?

9 ? c2 ? 7 6c

,即 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 ,

解得 c ? 1 或 c ? 2 . 当 c ? 1 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

??

7 ? 0, 14

所以角 B 为钝角,不符合题意,舍去. 当 c ? 2 时,因为 cos B ? 且b ? c ,b ? a , 所以 ?ABC 为锐角三角形,符合题意.

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

?

7 ?0, 14

1 1 3 3 3 S ? bc sin A? ?3?2? ? ? ABC 2 2 2 2 . 所以 的面积 16. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、 乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量 (单位: 台) , 并根据这 10 个卖场的销售情况, 得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的 “星级卖场” . (Ⅰ)当 a=b=3 时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m,乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n, 比较 m,n 的大小关系; (Ⅱ)在这 10 个卖场中,随机选取 2 个卖场,记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求 X 的分 布列和数学期望; (Ⅲ)若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达到最小值. (只需写 出结论) 【考点】概率综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , 10
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10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? 33 ? 33 ? 43 ? 26.5 . 10 由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数 m ? 5 , 乙型号电视机的“星级卖场”的个数 n ? 5 , 所以 m ? n . (Ⅱ)解:由题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,
乙组数据的平均数为 且 P( X ? 0) ?
0 2 1 C5 C5 2 C1 5 5 C5 , ? P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C10 9 C10 9

P( X ? 2) ?

2 0 C5 C5 2 ? , 2 C10 9

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

2 9

5 9

2 9

2 5 2 所以 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 9 9 9
(Ⅲ)解:只需让 b 最接近平均数即可满足题意,故当 b=0 时, s 2 达到最小值. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , DE ? AB 于点 E, 将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? DC ,如图 2. (Ⅰ)求 证 : A1E ? 平 面 B C D E ;

? C (Ⅱ)求 二 面 角 E ? A 的余弦值; 1 B
(Ⅲ)判断在线段 EB 上是否存在一点 P,使平面 A1 DP ⊥平面 A1 BC ? 若存在,求出

EP 的值;若不存在,说明理由. PB

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 DE ? BE , BE //DC , 所以 DE ? DC ,
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又因为 A1D ? DC , A1D ? DE ? D , 所以 DC ? 平面 A1 DE , 所以 DC ? A1E . 又 因 为 A1 E ? D E , DC ? DE ? D , 所 以 A1E ? 平 面 B C D E . (Ⅱ)解:因为 A1E ? 平 面 B C D E , DE ? BE , 所以 A1E, DE, BE 两两垂直, 以 EB, ED, EA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 如图建立空间直角坐标系,

易知 DE ? 2 3 , 则 A1 (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , C(4, 2 3, 0) , D(0, 2 3, 0) , 所以 BA1 ? (?2, 0, 2) , BC ? (2, 2 3, 0) . 平面 A1 BE 的一个法向量为 n ? , (0,1, 0) 设平面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 由 BA1 ? m ? 0 , BC ? m ? 0 ,得 ?

??? ?

??? ?

?

? ?

??? ? ??

??? ? ??

? ??2 x ? 2 z ? 0, ? ?2 x ? 2 3 y ? 0.

令 y ? 1 , 得 m ? (? 3,1, ? 3) .

??

? ? ? 7 ? ? ? 所以 cos ? m, n ?? ?? . ? ??
m?n | m|?| n| 7
由图,得二面角 E ? A1 B ? C 的为钝二面角,
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所以二面角 E ? A1 B ? C 的余弦值为 ?

7 7

.

(Ⅲ)结论:在线段 EB 上不存在一点 P ,使平面 A1DP ? 平面 A1 BC . 解:假设在线段 EB 上存在一点 P ,使平面 A1DP ? 平面 A1 BC . 设 P(t , 0, 0) ( 0≤t≤2 ) , 则 A1P ? (t , 0, ?2) , A1D ? (0, 2 3, ?2) , 设平面 A1 DP 的法向量为 p ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ?

????

? ?

???? ? ? ??? ? ? ? ? ?2 3 y1 ? 2 z1 ? 0, 由 A1D ? p ? 0 , A1P ? p ? 0 ,得 ? ? ?tx1 ? 2 z1 ? 0.
令 x1 ? 2 ,得所以 p?(2,
?? ?

t ,t ) . 3

因为平面 A1DP ? 平面 A1 BC , 所以 m ? p ? 0 ,即 2 3 ? 解得 t ? ?3 . 因为 0≤t≤2 , 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得平面 A1DP ? 平面 A1 BC . 18. (本小题满分 13 分) 1? x 已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . 1 ? ax 2 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f ( x ) 的单调区间;
4 1

? ? ? ?

t 3

? 3t ? 0 ,

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对于任意的实数 x , 都有 | f ( x) |≤ m 成立. 【考点】导数的综合运用 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 1 1? x (Ⅰ)解:当 a ? ? 时,函数 f ( x) ? , 1 2 4

1?

其定义域为 {x ? R | x ? ?2}. 求导,得 f ?( x) ?

4

x

? x 2 ? 2 x ? 4 ?( x ? 1) 2 ? 3 ? ? 0, 1 2 2 1 2 2 4(1 ? x ) 4(1 ? x ) 4 4 所以函数 f ( x ) 在区间 (??, ?2) , (?2, 2) , (2, ??) 上单调递减.
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(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x ) ?

1? x 的定义域为 R . 1 ? ax 2

求导,得 f ?( x) ?

ax 2 ? 2ax ? 1 (1 ? ax 2 ) 2



令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ?

1 a

? 0 , x2 ? 1 ? 1 ?

1 a

?1,

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)
+ ↗

?


所以函数 f ( x ) 在 (??, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. 又因为 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax 2

?0;

当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax 2

?0,

所以当 x≤1 时, 0≤f ( x)≤f ( x1 ) ;当 x ? 1 时, f ( x2 )≤f ( x) ? 0 . 记 M ? max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } ,其中 max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } 为 两数 | f ( x1 ) | , | f ( x2 ) | 中最大的数, 综上,当 a ? 0 时,存在实数 m ? [ M , ??) , 使得对任意的实数 x ,不等式 | f ( x) | ≤m 恒成立. 19. (本小题满分 14 分)

x2 y2 设 F1 , F2 分别为椭圆 E: 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a b 点 A 为椭圆 E 的左顶点,点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 .
(Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q , 若以 PQ 为直径的圆经过点 F1 ,证明: | OP |? 2 . 【考点】圆锥曲线综合
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【难度】4 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且
c 6 ? , a 3

解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3
x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

(Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为

则 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F P ? 1

y0 , x0 ? c

直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

y0 , x0 ? c y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

当 x ? 0 时, y ?

? y0c ? y0c ), ,即点 Q(0, x0 ? c x0 ? c y0 , c ? x0

所以直线 F1Q 的斜率为 k F1Q ?

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 ,所以 PF1 ? FQ 1 . 所以 kF1P ? kF1Q ?
2 2

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0
2

化简,得 y0 ? x0 ? (2a ? 4) , 又因为 P 为椭 圆 E 上一点,且在第一象限内,
2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , 所以 2 a 4 ? a2

1 ○

○ 2

由○ 1○ 2 ,解得 x0 ?

1 2 a2 , y0 ? 2 ? a , 2 2

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所以 | OP | ? x0 ? y0 ?
2 2 2

1 2 (a ? 2) 2 ? 2 , 2

因为 a 2 ? b2 ? 4 ? 2a 2 ,所以 a 2 ? 2 , 所以 | OP |? 2 . 20. (本小题满分 13 分)
? * a1 , a2 ,L , an ,L , 无穷数列 P : 满足 ai ? N , 且 ai ≤ai ?1 (i ? N ) . 对于数列 P , 记 Tk ( P) = min{n | an≥k} (k ? N* ) ,

其中 min{n | an≥k} 表示集合 {n | an≥k} 中最小的数. (Ⅰ)若数列 P: 1,3, 4,7, L ,写出 T1 (P), T2 (P),L , T5 (P) ; (Ⅱ)若 Tk (P) = 2k - 1 ,求数列 P 前 n 项的和; (Ⅲ)已知 a20 = 46 ,求 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) 的值. 【考点】数列综合应用 【难度】5 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解: T1 ( P) = 1 , T2 ( P) = 2 , T3 ( P) = 2 , T4 ( P) = 3 , T5 ( P) = 4 . (Ⅱ)解:由题意, T1 ( P) = 1 , T2 ( P) = 3 , T3 ( P) = 5 , T4 ( P) = 7 , 因为 T2 ( P) = 3 ,且 Tk ( P) = min{n | an≥k} , 所以 a3≥2 ,且 a2 ? 2 . 同理,由 T3 ( P) = 5 ,且 Tk ( P) = min{n | an≥k} , 得 a5≥3 ,且 a4 ? 3 . 以此类推,得 a7≥4 , a6 ? 4 ; L ; a2n?1≥n , a2 n?2 ? n ; L
* ? 因为 ai ≤ai ?1 (i ? N ) , ai ? N ,

所以 a1 = a2 = 1 , a3 = a4 = 2 , L , a2n?1 ? a2n ? n , L

n- 1 n + 1 ( n + 1) 2 . )+ = 2 2 4 n n 2 + 2n 当 n 为偶数时, a1 + a2 + L + an = 2(1 + 2 + L + ) = . 2 4
当 n 为奇数时, a1 + a2 + L + an = 2(1 + 2 + L +

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? (n ? 1)2 , n为奇数, ? ? 4 所以数列 {an } 前 n 项的和 Sn ? ? 2 ? n ? 2n , n为偶数. ? ? 4
(Ⅲ)解法一:考察符合条件的数列 P 中,若存在某个 i (1≤i≤19) 满足 ai < ai+ 1 ,对应可得

Tk ( P) ,及

s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) .
因为 Tk ( P) = min{n | an≥k} ,所以 Tai + 1 ( P) = i + 1 . 下面将数列 P 略作调整,仅将第 ai 的值增加 1,具体如下: 设 ai?= ai + 1,对于任何 j ( j ? i) 令 a? ,可得数列 P ?及其对应数列 Tk ( P? ), j = aj 根据数列 Tk ( P? ) = Tj ( P) ( j ? ai ) 的定义,可得 Tai + 1 ( P? ) = i ,且 Tj ( P? 显然 Tai + 1 ( P? ) = Tai + 1 (P) - 1 .

1) .

ⅱ 所以 sⅱ = a1 + a2 + L + a20 + T1 (Pⅱ ) + T2 (P ) + L + T46 (P? )
= a1 + a2 + L + ai- 1 + (ai + 1) + ai+ 1 + L + a20 + T1 (P) + T2 (P) + L + (Tai + 1 - 1) + Tai + 2 + L + T46 (P)

= a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) = s .
即调整后的 s ?= s ,

? 如果数列 {an } 还有存在相邻两项不相等,继续做以上的操作,
最终一定可以经过有限次的操作,使得 {an } 中的每一项变为相等, 且操作中保持 s 的不变,而当 a1 = a2 = L = a20 = 46 时, T1 ( P) = T2 ( P) = L = T46 ( P) = 1 , 所以 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) = 966 . 解法二:将问题一般化,下面求 s ? a1 ? a2 ? ? ? an ? T1 (P) ? T2 (P) ? ? ? Tan (P) . 当 n ? 1 时, T1 ( P) ? 1, T2 ( P) ? 1,?, Ta1 (P) ? 1,故 s ? a1 ? a1 ? 1 ? 2a1 . 当 n ? 2 时, T1 ( P) ? 1, T2 ( P) ? 1,?, Ta1 (P) ? 1, Ta1 ?1 ( P) ? 2, Ta1 ? 2 (P) ? 2,?, Ta2 (P) ? 2 , 故 s ? a1 ? a2 ? a1 ? 1 ? (a2 ? a1 ) ? 2 ? 3a2 . 猜想 s ? (n ? 1)an . 下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,由以上叙述可知,命题成立.
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(2)假设当 n ? k 时,命题成立,即 s ? (k ? 1)ak . 当 n ? k ? 1 时, 若 ak ?1 ? ak ,则

s ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ? ? ? Tak (P)
? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 2)ak ?1 ,命题成立.

若 ak ?1 ? ak ,则

s ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ? ? ? Tak (P) ? Tak ?1 (P) ? Tak ?2 (P) ? ? ? Tak ?1 (P)

? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ? ? ? Tak (P) ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? ? ? (k ? 1) ????? ? ?????? ?
共( ak ?1 ? ak ) 个

? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? ? ? (k ? 1) ????? ? ?????? ?
共( ak ?1 ? ak ) 个

? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 1)(ak ?1 ? ak ) ? (k ? 2)ak ?1 ,命题成立.

由(1)和(2) ,得 s ? (n ? 1)an (n ? N* ) . 所以当 a20 = 46 时, s = (20 + 1)? 46

966 .

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