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第3讲机械能-- 机械能守恒定律


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湖北省武昌实验中学 高一培优

第 3 讲 机械能-----机械能守恒定律
一、知识要点 1.势能:① 重力势能 ② 引力势能 ③ 弹性势能 3.判断机械能守恒方法
(1)用作功来判断:① 系统内只有重力或弹簧弹力做功;② 系统内 W 其它=0; ③ 系统内物体相互作用 W+W’=0 (2)用能量转化来判断 例如:系统的选取非常重要 M m M M m

2.机械能:E= Ek+ Ep+ E ? p

m1

m2

m M m

4.机械能守恒定律:表达式 ? E=0, ? Ek+ ? Ep+ ? E ? =0 p

E1=E2

二、应用分类 应用Ⅰ、有关重力势能的计算 【例 1】如图所示,质量为 m 的小球从离桌面 H 高处的 A 点由静止开始下落,桌面离地面的高度 为 h. A (1)若以 A 点所在水平面为参考平面,求小球在 A、B、C 各点的机械能、动能? H (2)若以桌面所在水平面为参考平面,情况又如何? B (3)若以地面为参考平面呢?
h C

【自我体验 1】将一物体从地面竖直上抛,物体上抛运动过程中所受的空气阻力恒定,设物体在地 面的重力势能为零,请用图像大致画出物体从抛出到落回原地的过程中, 物体的机械能 E 与物体离地 面高度 h 的关系. 应用Ⅱ、机械能守恒中的连接体问题 在用机械能守恒定律解连接体问题时,一定要注意下面几个问题 一、何选取系统 应用机械能守恒定律必须准确的选择系统.系统选择得当,机械能守恒;系统选择不得当,机械能不 守恒.对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果. 【例 2】如图所示,长为 2L 的轻杆 OB,O 端装有转轴,B 端固定一个质量为 m 的小球 B,OB 中点 A 固定一个质量为 m 的小球 A, OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位 若 置的过程中,求: (1)A、B 球摆到最低点的速度大小各是多少? (2)轻杆对 A、B 球各做功多少?(3)轻杆对 A、B 球所做的总功为多少?

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二、如何选取物理过程 机械能守恒定律也是一条过程规律,在使用时必须选取具体的物理过程,确定初、末状态.选取 物理过程必须遵循两个基本原则,一要符合求解要求,二要尽量使求解过程简化.有时可选全过程, 而有时则必须将全过程分解成几个阶段,然后再分别应用机械能守恒定律求解. 【例 3】如图所示,质量均为 m 的小球 A、B、C,用两条长均为 L 的细线相连,置于高为 h 的光 滑水平桌面上. L ? h ,A 球刚跨过桌面.若 A 球、B 球下落着地后均不再反弹,则 C 球离开桌边缘 时的速度大小是多少?
C B A

三、利用机械能守恒定律的另一表达式 ?E K ? ?E P ? 0 解题 在运用机械能守恒定律 Ek1 ? E p1 ? Ek 2 ? E p 2 时,必须选取零势能参考面,而且在同一问题中必 须选取同一零势能参考面. 但在某些机械能守恒的问题中, 运用 Ek1 ? E p1 ? Ek 2 ? E p 2 求解不太方便, 而运用 ?E K ? ?E P ? 0 较为简单.运用 ?EK ? ?EP ? 0 的一个最大优点是不必选取零势能参考面, 只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可. 【例 4】 如图所示,一固定的斜面, ? ? 30 ,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一软弱的细线跨过
0

定滑轮,两边分别与 AB 连接,A 的质量为 4m, B 的质量为 m,开始时将 B 按在地面上不动,然后放开手, 让 A 沿斜面下滑而 B 上升,物块 A 与斜面间无摩擦,设当 A 沿斜面下滑 s 距离后,细线突然断了,求物块 B 上升的最大距离 H.

【自我体验 2】如图所示,在光滑水平地面上放一质量为 m1、高为 a 的光滑长方体木块,长 L>a 的光滑轻杆斜靠在
木块右上侧上,轻杆上端固定一个质量为 m2 的小重物,下端 O 点用光滑小铰链连在地面上,铰链可自由转动.开始 时系统静止, 而后轻杆连同小重物一起绕 O 点开始转动并将木块推向左方运动, 试求当杆转过角度 θ 时, 木块的速度?

m2 L m1

a

O

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应用Ⅲ、机械能守恒定律与圆周运动结合 【例 5】 如图所示, 质量为 m 的小球用长为 L 的细线系住悬于 A 点, B 是过 A 点的竖直线, A、 AE=L/2, 过 E 作水平线 EF,在 EF 上钉一钉子 P,将小球拉起使悬线伸直并水平,由静止释放小球,若小球能 绕钉子 P 在竖直面内做圆周运动,且绳子承受的最大拉力为 9mg.求钉子安放的范围 EP(不计绳与 钉子碰撞时能量损失) .
A

E

F P

B

【自我体验 3】如图所示,游乐列车由许多节车厢组成.列车全长为 L,圆形轨道半径为 R, 远 (R 大于一节车厢的高度 h 和长度 l,但 L >2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿 着圆周运动,在轨道的任何地方都不能脱轨.试问:在没有任何动力的情况下,列车在水平轨道上应 具有多大初速度 v0,才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上?
R V0

应用Ⅳ、液体、绳索、链条问题 【例5】如图所示容器两端开口,小口处横截面积为 S1,大口处横截面积为 S2,内盛液体,当液体 从下口中流出时到达液面高度差为 h 时,小口处液体的流速为多大?(一切阻力不计)

【自我体验4】如图所示,将一根长 L=0.4m 的金属链条拉直放在倾角 θ=30° 的光滑斜面上,链条 下端与斜面下边缘相齐,由静止释放后,当链条刚好全部脱离斜面时,其速度大小为_____m/s.(g 取 10 m/s2)
L

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提升精练 1.如图,两物体重分别为 G1 和 G2,两弹簧劲度系数分别为 k1、k2,弹簧两端与物体和 地面相连,用竖直向上的力缓慢向上拉 G2,最后平衡时拉力 F=G1+2G2,求该过程系统的 重力势能增量.

G2 G1

2.质量不计的直角形支架两端分别连接质量为 m 和 2m 的小球 A 和 B。支架的两直角边长度分别 为 2l 和 l,支架可绕固定轴 O 在竖直平面内无摩擦转动,如图所示.开始时 OA 边处于水平位置,由 静止释放,则 ( A.A 球的最大速度为 )
O 2l l B 2m A m

2 6( 2 ? 1) gl 3

B.A 球的速度最大时,两小球的总重力势能为零 C.A 球的速度最大时,两直角边与竖直方向的夹角为 45° D.A、B两球的最大速度之比v1∶v2=2∶1

3.在地球表面发射卫星,当卫星的速度超过某一速度时,卫星就会脱离地球的引力,不再绕地球 运行,这个速度叫做第二宇宙速度.已知地球对物体的万有引力势能可表示为 U(r)=-

GMm ≤0,r r

为物体离地心的距离.设地球半径为 r0,地球表面重力加速度为 g0,忽略空气阻力的影响,试根据所 学的知识,推导第二宇宙速度的表达式(用 r0、 g0 表示) .

4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为 30° 的光滑斜面上的物体 m1 连接 , 另一端和套在光滑 竖直杆上的物体 m2 连接 ,设定滑轮到竖直杆的距离为?3 m,又知物体 m2 由静止从 AB 连线为水平 的位置开始下滑 1m 时,m1 和 m2 受力恰好平衡,如图.求: A (1)m2 下滑过程中的最大速度. B m1 θ (2)m2 沿竖直杆能够下滑的最大距离. (g=10m/s2)
C m2 30°

5.如图所示,露天娱乐场的空中列车由多节质量均为 m 的相同车厢组成,列车先沿光滑水平轨 道行驶,然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道,若列车全长 L=4πR,R 远大于每一节车厢 的长度和高度,整个列车刚好能通过光滑圆轨道,两节车厢间的相互作用力远小于一节车厢的重力, 求第一节车厢到达最高点时对轨道的压力.

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知识要点 3
s1 s1=s2 s2

N2

N2

例题参考解答

E E0

【例 1】 解答: (1) A=0, kA=0; B=0, kB=mgH; C=0, kC=mg E E E E E E (H+h) (2)EA= mgH,EkA=0;EB= mgH,EkB=mgH;EC= mgH,EkC= mg(H+h) (3)EA= mg(H+h) kA=0;EB= mg(H+h) kB=mgH; ,E ,E E EC= mg(H+h) kC=mg(H+h) ,E 【自我体验 1】见右图
O

h

【例 2】析与解:有学生分别选 A、B 球及地球为一系统,有机械能守恒定律得到:

mgl ?
由上两式得: v A ?

1 2 mv A 2

mg 2l ?

1 2 mv B 2

2gl , vB ? 4gl

上述解法其实是不对的,错在何处呢?是系统选择错误.事实上,小球 A(B)与地球单独组成 的系统机械能并不守恒,这是因为轻杆往下摆的过程中,轻杆分别对 A、B 球做了功(注意轻杆可以 产生切向力,不象轻绳,只能产生法向力) .对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解,当然出错.那 么,应该选择什么系统呢?应选 A、B 球及地球所组成的系统,机械能是守恒的. (1) 选 A、B 及地球为一系统,此系统中只有动能和重力势能发生转化,系统机械能守恒,有:

1 mv 2 A

,2

?

1 ,2 mv B ? mgl ? mg 2l 2




vB ? 2v A
由①②式可得: v A ? 1.2gl , vB ?
, ,

4.8gl

(2)由上不难得到: v A ? v A
,

vB ? vB
,

即 A、B 间的轻杆对 B 球做正功,对 A 球做负功. 轻杆对 A 球做功为: W A ?

1 1 ,2 2 mv A ? mv A ? ?0.4mgl 2 2

同理可得,轻杆对 B 球做功为: WB ? 0.4mgl (3)轻杆对 A、B 所做总功为 0. 体会:从(2)不难看出轻杆对小球 B 做了正功,对 A 球做了负功.从(3)可得到,A、B 两球及轻 杆这一系统,并没有机械能与其他形式能量的转化,故机械能守恒.A、B 间轻杆的作用之一是实现 了 A 球与 B 球之间机械能的传递. 【例 3】析与解:本题描述的物理过程是:A 球下落带动 B、C 球运动.A 球着地前瞬间,A、B、 C 三球速率相等,且 B、C 球均在桌面上.因 A 球着地后不反弹,故 A、B 两球间线松弛,B 球继续

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运动并下落,带动小球 C,在 B 球着地前瞬间,B、C 两球速率相等.故本题的物理过程应划分为两 个阶段:从 A 球开始下落到 A 球着地瞬间;第二个阶段,从 A 求着地后到 B 球着地瞬间. 第一个阶段,选三个球及地球为系统,机械能守恒,则有: mgh ? 第二个阶段,选 B、C 两球及地球为系统,机械能守恒,则有:

1 2 (3m)v1 2



mgh ?
由① 解得: v2 ? ②

1 1 2 2 (2m)v2 ? (2m)v1 2 2



5 gh 3

【例 4】析与解:取 A、B 及地球为系统: ?E K ? ??E P

1 (4m ? m)v 2 ? 4mg ? s ? sin 30 0 ? mgs 2
对 B:

① ③

0 ? v 2 ? 2(? g )h



H ?S?h

由①②③得: H ? 1.2 s 【自我体验 2】解:设杆和水平面成 ? 角时,木块速度为 v,水球速度为 vm,杆上和木块接触点 B 的 速度为 vB,因 B 点和 m 在同一杆上以相同角速度绕 O 点转动,所以有:
vm L ?L = = = vB ? OB l / sin ?

L sin ? .B 点在瞬间的速度水平向左,此速度可看作两速度的合成,即 B 点绕 O 转动速度 v⊥= vB 及 l

B 点沿杆方向向 m 滑动的速度 v∥,所以 vB = vsin ? .故 vm = vB

L L sin ? = v sin2 ? .因从初位置到末 l l

位置的过程中只有小球重力对小球、轻杆、木块组成的系统做功,所以在上述过程中机械能守恒:
2mgL(sin? ? sin ? ) 1 1 2 mgL(sin ? ? sin ? )= mvm ? Mv2 综合上述得 v = l 2 2 Ml 2 ? mL2 sin4 ?

【例 5】设 EF 所在水平面为零势能面 恰能做完整圆周运动的球半径为 R1 根据机械能守恒定律

mg

L 1 ? mgR1 ? mv12 2 2



由圆周运动知识有

mg ? m
L 3

v2 R1



由① ②式得 则 AP=L- R1=

R1 ? 2L 3

A

EP 的最小值为

EP ? (

2L 2 L 2 7 ) ?( ) ? L 3 2 6

E

· P



F

B

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当绳子拉力恰为最大值时球的速度为 v2

T ? mg? m
mg

2 v2 R2

L 1 2 ? mv 2 ? mgR 2 2 2

联立以上两式求得 R2 ?

L 6

EP 的最大值为

EP' ? (

5L 2 L 2 2 ) ?( ) ? L 6 2 3
7 2 L~ L 6 3

综合得钉子安放的范围 EP 为

【自我体验 3】解:当游乐车灌满整个圆形轨道时,游乐车的速度最小,设此时速度为 v,游乐车的 质量为 m,则据机械能守恒定律得:

1 2 m 1 mv 0 ? 2?R gR ? mv 2 2 L 2
要游乐车能通过圆形轨道,则必有 v>0,所以有

v0 ? 2R

?g
L

【例 6】以大口所在处的⊿m 水为研究对象,根据机械能守恒定律有 (等效将水从最上面移至出口处)

?mgh ?

1 1 2 ?mv12 ? ?mv 2 2 2

又质量相等

?m ? ?s1v1t ? ?s2 v2t

联立求得

v1 ?

2 ghs2 s2 ? s1
代入数据得 v ?

【自我体验4】由机械能守恒有

mg

L 1 sin 30 0 ? mv 2 2 2

gL sin 30 0 ? 2 m/s

提升精练参考答案 1.解:未施力 F 时两弹簧的压缩量分别为 施力 F 平衡后,二者在原长基础上分别伸长为
' x2 ?

x1 ?

G1 ? G2 k1

x2 ?

G2 k2

G1 ? 2G2 ? G2 G1 ? G2 ? k2 k2

x1' ?

G1 ? 2G2 ? (G1 ? G2 ) G2 ? k1 k1

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故系统重力势能增加 ?E P ? G1 ( x1 ? x1 ) ? G2 ( x2 ? x2 ) ? (
' '

G1 G2 ? )(G1 ? 2G2 ) k1 k 2

2.ACD 3.解:卫星从发射到脱离地球引力的过程中机械能守恒.设卫星以 v0 的速度从地面附近发射时能脱 离地球的引力,则其在地面时的能量为: E0=

1 GMm 2 m v0 ? (? ) 2 r0

由题意知 E0 ≥0 即

1 GMm 2 m v0 ? (? ) ≥0 2 r0

又因为在地球表面时,物体的重力等于万有引力,有:

G

Mm r0
2

? m g0


解得第二宇宙速度 v0 满足:v0≥ 2 g 0 r0


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