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第4讲 导数的实际应用


第4章

第4讲

导数的实际应用

一、选择题 1. 把一 条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面 积和最小,则分法为( A.10,90 ) B.30,70 C.40,60 D.50,50 ) D.3π 6πS )

2.圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的高为( A. S 3π B. 3πS C. 6πS 3π

3.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积为最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 16 3 C. cm 3 20 3 D. cm 3 ) 3 D. R 4

4.内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R B.2 R 4 C. R 3

5.某公司租地建仓库,每月土地租用费 y1 与仓库到车站的距离成反比.而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比, 如果要在距离车站 10 公里处建仓库, 这两项的费用 y1, y2,分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 公里处 C.3 公里处 B.4 公里处 D.2 公里处 )

6.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,

?400x-1x2 ? 2 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)=? ? ?80000
大时,每年生产的产品是( A.100 C.2 00 二、填空题 ) B.150 D.300

?0≤x≤400? ?x>400?

,则总利润最

7. 某宾馆有 50 个房间供游客居住, 当每个房间定价为每天 180 元时, 房间会全部住满; 房间单价每增加 10 元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费 20 元的各种维护费用,要使宾馆利润最大,房间应定价________元.

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8.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面的一边比 高长 0.5 m,则当高为_ _______米时,容器的面积最大. 9.如右图所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个 全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个 正六棱柱容器的底面边长为________时,其容积最大.

2 10.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1200+ x2(万元),已知 75 产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为 ________件时总利润最大. 三、解答题 11.某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2- 10x3(单位:万元),成本 函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么?

12.(2008· 江苏 )某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的 顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20 km,CB=10 km, 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边 界),且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺 设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短.

亲爱的同学请写上你的学习心得

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第4章

第4讲

导数的实际应用

一、选择题 1. 把一 条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面 积和最小,则分法为( A.10,90 C.40,60 ) B.30,70 D.50,50

[解析] 设一段长为 x,另一段长为 100-x, 100-x 2 1 2 x 1 s=( )2+( ) = [x +(100-x)2] = (2x2-200x+10000), 4 4 16 16 1 S′= (4x-200)令 S′=0,得 x=50.选 D. 16 [答案] D 2.圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的高为( A. C. S 3π 6πS 3π B. 3πS D.3π 6πS )

[解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h,两底面积和为 2πr2. S-2πr2 S=2πr2+2πrh,h= 2πr rS-2πr3 S-6πr2 又 V=πr h= ,V′= ,令 V′=0 2 2
2

得 S=6πr2,h=2r,r= [答案] C

S 6π

∴h=2

S 6πS = ,选 C. 6π 3π

3.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积为最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3

)

16 3 C. cm 3

1 [解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2,其体积为 V= πx(202-x2)(0<x<20), 3

3

π 20 3 20 3 V′= (400-3x2),令 V′=0,得 x1= ,x2=- (舍去), 3 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0,当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值,选 D. 3 [答案] D 4.内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 B.2 R 3 D. R 4 )

[解析] 设圆锥高为 h,底面半径为 r,则 R2=(b-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2, π π 2πR 2 π 3 ∴V= r2h= h(2Rh-h2)= h- h, 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2,令 V′=0,h= R. 3 3 [答案] C 5.某公司租地建仓库,每月土地租用费 y1 与仓库到车站的距离成反比.而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比, 如果要在距离车站 10 公里处建仓库, 这两项的费用 y1, y2,分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 公里处 C.3 公里处 [答案] A 6.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, B.4 公里处 D.2 公里处 )

?400x-1x2 ? 2 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)=? ?80000 ?
大时,每年生产的产品是( A.100 C.2 00 [解析] 由题意得,总成本函数为 C=C(x)=20000+100x,所以总利润函数为 P=P(x)=R (x)-C(x) ) B.150 D.300

?0≤x≤400? ?x>400?

,则总利润最

?300x-x -20000 ? 2 =? ?60000-100x ?

2

?0≤x≤400?, ?x>400?.

4

?300-x ? 而 P′(x)=? ? ?-100

?0≤x≤400?, ?x>400?,

令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时,P 最大. [答案] D 二、填空题 7. 某宾馆有 50 个房间供游客居住, 当每个房间定价为每天 180 元时, 房间会全部住满; 房间单价每增加 10 元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费 20 元的各种维护费用,要使宾馆利润最大,房间应定价________元. [解析] 设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润 l(x)=(50- x-180 1 1 )(x-20)=- x2 +70x+1360,令 l′(x)=- x+70=0,解得 x= 10 10 5

350.l(x)只有一个极值,且为极大值,所以 x=350 为最大值点. [答案] 350 8.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面的一边比 高长 0.5 m,则当高为_ _______米时,容器的面积最大. [解析] 设容器的高为 x 米,则 V=x(x+0.5)(3.2-2x), 4 V′=-6x2+4.4x+1.6=0,解 15x2-11x-4=0,x=1(x=- 舍去). 15 [答案] 1 9.如右图所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个 全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个 正六棱柱容器的底面边长为________时,其容积最大. [分析] 本小题主要考查正六棱柱的概念与性质,以及函数的相关 知识,考查学生运用导数知识解决实际问 题的能力. [解析] 设被切去的全等四边形的一边长为 x(如图所示)则正六棱柱的底面边 长为 1- 2x,高为 3x,所以正六棱柱的体积 V=6× 9 化简得 V= (4x3-4x2+x). 2 9 又 V′= (12x2-8x+1), 2 1 1 由 V′=0,得 x= 或 x= . 2 6 1 ∵当 x∈(0 , )时,V′>0,V 是增函数; 6 1 1 当 x∈( , )时,V′<0,V 是减函数. 6 2 3 1 (1-2x)2× 3x(0<x< ), 4 2

5

1 2 ∴当 x= 时,V 有最大值,正六棱柱的底面边长为 . 6 3 [答案] 2 3

2 10.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1200+ x2(万元),已知产品单价的平方与 75 产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为________件时总利 润最大. [答案] 25 三、解答题 11.某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2- 10x3(单位:万元),成本 函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么? [解] (1)P(x)=R(x)-C(x) =-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*,且 1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x) =-30x2+60x+3275(x∈N*,且 1≤x≤19). (2)P′(x)=-30x2+90x+3240 =-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P′(x)=0 时,x=12, ∴当 0<x<12 时,P′(x)>0, 当 x>12 时,P′(x)<0, ∴x=12 时,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305. 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减, 所以单调减区间为[1,19],且 x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少. 12.(2008· 江苏 )某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的 顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20 km,CB=10 km, 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边

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界),且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP, 设排污管道的总长为 y km. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短. [解] 本小题主要考查函数最值的应用. (1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB, 若∠BAO=θ(rad), OA= 则 又 OP=10-10 tanθ, 所以 y=OA+OB+OP= 10 10 + +10-10tanθ, cosθ cosθ AQ 10 10 = , OB= 故 , cos θ cosθ cosθ

20-10sinθ π 所求函数 关系式为 y= +10(0<θ< ) cosθ 4 ②若 OP=x(km),则 OQ=10-x,所以 OA=OB= ?10-x?2+102= x2-20x+200 所求函数关系式为 y=x+2 x2-20x+200(0<x<10) (2)选择函数模型①, -10cos· cosθ-?20-10sinθ??-sinθ? y′= cos2θ = 10?2sinθ-1? cos2θ

1 π π 令 y′=0 得 sinθ= ,因为 0<θ< ,所以 θ= , 2 4 6 π π π 当 θ∈(0, )时,y′<0,y 是 θ 的减函数;当 θ∈( , )时,y′>0,y 是 θ 的增函数, 6 6 4 π 10 3 所以当 θ= 时,ymin=10+10 3.这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 km 6 3 处.

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