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中考数学压轴题汇编——函数与几何综合


中考压轴题汇编(一)

——函数与几何综合的压轴题
1.(2004 安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD 都垂直于 x 轴,垂足分别为 B、 D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知:A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证:E 点在 y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过 A,E,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变, 再将 DC 水平向右移动 k(k>0)个单位, 此时 AD 与 BC 相交于 E′点, 如图②,求△AE′C 的面积 S 关于 k 的函数解析式. y y

B O E

D x

B O E′

D x

C(1,-3) C (1+k, -3)

A (2,-6) 图①

A (2,-6) 图②

[解]


(1) (本小题介绍二种方法,供参考)

方法一:过 E 作 EO′⊥x 轴,垂足 O′∴AB∥EO′∥DC

EO? DO? EO? BO? ? , ? AB DB CD DB
EO? EO? ? ?1 AB DC DO? EO? EO? 2 ,∴ DO? ? ? ? DB ? ? 3 ? 1 DB AB AB 6

又∵DO′+BO′=DB ∴

∵AB=6,DC=3,∴EO′=2 又∵

∴DO′=DO,即 O′与 O 重合,E 在 y 轴上 方法二:由 D(1,0) ,A(-2,-6) ,得 DA 直线方程:y=2x-2① 再由 B(-2,0) ,C(1,-3) ,得 BC 直线方程:y=-x-2 ② 联立①②得 ?

?x ? 0 ? y ? ?2

∴E 点坐标(0,-2) ,即 E 点在 y 轴上 (2)设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(a≠0)过 A(-2,-6) ,C(1,-3)

?4a ? 2b ? c ? ?6? ? E(0,-2)三点,得方程组 ? a ? b ? c ? ?3? ?c ? ?2? ?
解得 a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程 y=-x2-2 (3) (本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当 DC 水平向右平移 k 后,过 AD 与 BC 的交点 E′作 E′F⊥x 轴垂足为 F。

E ?F E ?F ? ? 1 得:E′F=2 AB DC E ?F DF 1 方法一:又∵E′F∥AB ? ,∴ DF ? DB ? AB DB 3 1 1 1 2 S△AE′C= S△ADC- S△E′DC= DC ? DB ? DC ? DF ? DC ? DB 2 2 2 3 1 = DC ? DB =DB=3+k 3
同(1)可得: S=3+k 为所求函数解析式 方法二:∵ BA∥DC,∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′ ?

1 1 BD ? E?F ? ? 3 ? k ? ? 2 ? 3 ? k 2 2

∴S=3+k 为所求函数解析式. 证法三:S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理:S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴ S?AE?C ?

2 2 1 S梯形ABCD ? ? ? AB ? CD ? ? BD ? 3 ? k 9 9 2

∴S=3+k 为所求函数解析式. 2. (2004 广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点 M(1,0)为圆心、直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交于 A、D 两点. (1)求点 A 的坐标; (2)设过点 A 的直线 y=x+b 与 x 轴交于点 B.探究:直线 AB 是否⊙M 的切线?并对你 的结论加以证明; (3)连接 BC,记△ABC 的外接圆面积为 S1、⊙M 面积为 S2,若

S1 h ? ,抛物线 S2 4

y=ax2+bx+c 经过 B、M 两点,且它的顶点到 x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式.

[解](1)解:由已知 AM= 2 ,OM=1,

在 Rt△AOM 中,AO=

AM 2 ? OM 2 ? 1 ,

∴点 A 的坐标为 A(0,1) (2)证:∵直线 y=x+b 过点 A(0,1)∴1=0+b 即 b=1 令 y=0 则 x=-1 ∴B(—1,0) , AB= BO ? AO ? 1 ? 1 ?
2 2 2 2

∴y=x+1

2

在△ABM 中,AB= 2 ,AM= 2 ,BM=2

AB 2 ? AM 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? BM 2
∴△ABM 是直角三角形,∠BAM=90° ∴直线 AB 是⊙M 的切线 (3)解法一:由⑵得∠BAC=90° ,AB= 2 ,AC=2 2 , ∴BC=

AB 2 ? AC 2 ? ( 2 ) 2 ? (2 2 ) 2 ? 10

∵∠BAC=90° ∴△ABC 的外接圆的直径为 BC, ∴ S1 ? (

BC 2 10 2 5 ) ?? ? ( ) ?? ? ? 2 2 2 AC 2 2 2 2 ) ?? ? ( ) ? ? ? 2? 2 2

y A

而 S2 ? (

B D

M · C

x

?

5 S1 h h 2? ? 即   ? ,     h ? 5 ? S2 4 , 2? 4

设经过点 B(—1,0) 、M(1,0)的抛物线的解析式为: y=a(+1) (x-1)(a≠0)即 y=ax2-a,∴-a=± , 5,∴a=± 5 2 2 ∴抛物线的解析式为 y=5x -5 或 y=-5x +5 解法二: (接上) 求得∴h=5 由已知所求抛物线经过点 B(—1,0) 、M(1、0) ,则抛物线的对称 轴是 y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,± 5) 2 ∴抛物线的解析式为 y=a(x-0) ± 5 又 B(-1,0) 、M(1,0)在抛物线上,∴a± 5=0, a=± 5 ∴抛物线的解析式为 y=5x2-5 或 y=-5x2+5 解法三: (接上)求得∴h=5 因为抛物线的方程为 y=ax2+bx+c(a≠0)

? ?a ? b ? c ? 0 ?a=-5 ?a ? 5 ? ? ? ? 由已知得 ?a ? b ? c ? 0    解得?b ? 0   或   ? 0 ?b ? 4ac ? b 2 ?c ? 5 ?c ? ?5 ? ? ? ? ?5  ? 4a ?
∴抛物线的解析式为 y=5x2-5 或 y=-5x2+5.

3.(2004 湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点 P(1,-1)为圆心,2 为半径作圆,交 x 轴于 A、B 两点,抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 过点 A、B,且顶点 C 在⊙P 上.
2

(1)求⊙P 上劣弧 AB 的长; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否存在一点 D,使线段 OC 与 PD 互相平分?若存在,求出点 D 的坐标;若不存 在,请说明理由. y



[解]

(1)如图,连结 PB,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M. A B O x · P(1,-1)

在 Rt△PMB 中,PB=2,PM=1, ∴∠MPB=60° ,∴∠APB=120°

AB 的长=



120 ? 4? ?? ? 2 ? 180 ? 3

C y

(2)在 Rt△PMB 中,PB=2,PM=1,则 MB=MA= 3 . 又 OM=1,∴A(1- 3 ,0) ,B(1+ 3 ,0) , 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上, 则 C(1,-3). 点 A、B、C 在抛物线上,则 A O

M

B

x · P(1,-1)

?0 ? a(1 ? 3 ) 2 ? b(1 ? 3 ) ? c ? ? 2 ?0 ? a(1 ? 3 ) ? b(1 ? 3 ) ? c ?? 3 ? a ? b ? c ? ?

?a ? 1 ? 解之得 ?b ? ?2 ?c ? ? 2 ?

C

?抛物线解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 2
(3)假设存在点 D,使 OC 与 PD 互相平分,则四边形 OPCD 为平行四边形,且 PC∥OD.

又 PC∥y 轴,∴点 D 在 y 轴上,∴OD=2,即 D(0,-2). 又点 D(0,-2)在抛物线 y ? x ? 2 x ? 2 上,故存在点 D(0,-2) ,
2

y C Q F O O2 B

使线段 OC 与 PD 互相平分. 4.(2004 湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC 的直角 顶点 C(0, 3 )在 y 轴的正半轴上,A、B 是 x 轴上是两点,且 OA∶OB=3∶1,以 OA、OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E,交 BC 于 点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. O1 (1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; A (2)请猜想:直线 EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想. (3)在△AOC 中,设点 M 是 AC 边上的一个动点,过 M 作 MN∥AB 交 OC 于点 N.试问:在 x 轴上是否存在点 P,使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

E

y

[解]

(1)在 Rt△ABC 中,OC⊥AB,
M

E
N 3 1 2 4

C
Q

∴△AOC≌△COB. 2 OB. ∴OC =OA· ∵OA∶OB=3∶1,C(0, 3 ), ∴ ( 3) ? 3OB? . OB ∴OB=1.∴OA=3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c.
2

F O2 B x

A

O1 P O

? 3 , ?a ? ? 3 ?9a ? 3b ? c ? 0, ? 2 ? ? 3, 则 ?a ? b ? c ? 0, 解之,得 ?b ? ? 3 ? ? ?c ? 3. ?c ? 3. ? ?
∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y ? ? (2)EF 与⊙O1、⊙O2 都相切. 证明:连结 O1E、OE、OF. , ∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90° ∴四边形 EOFC 为矩形. ∴QE=QO. ∴∠1=∠2. ∵∠3=∠4,∠2+∠4=90° , ∴EF 与⊙O1 相切. 同理:EF 理⊙O2 相切.

3 2 2 x ? 3x ? 3. 3 3

(3)作 MP⊥OA 于 P,设 MN=a,由题意可得 MP=MN=a. ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO.

MN CN ? . AO CO a 3?a ∴ ? . 3 3
∴ 解之,得 a ?

3 3 ?3 . 2 3 3 ?3 . 2

此时,四边形 OPMN 是正方形. ∴ MN ? OP ? ∴ P(?

3 3 ?3 , 0). 2

考虑到四边形 PMNO 此时为正方形, ∴点 P 在原点时仍可满足△PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故 x 轴 上 存 在 点 P 使 得 △PMN 是 一 个 以 MN 为 一 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 且

P(?

3 3 ?3 , 0) 或 P(0, 0). 2
15 23 , ),P 是以 AC 为对角线的 4 8

5.(2004 湖北宜昌)如图,已知点 A(0,1)、C(4,3)、E(

矩形 ABCD 内部(不在各边上)的—个动点,点 D 在 y 轴,抛物线 y=ax2+bx+1 以 P 为顶点. (1)说明点 A、C、E 在一条条直线上; (2)能否判断抛物线 y=ax2+bx+1 的开口方向?请说明理由; (3)设抛物线 y=ax2+bx+1 与 x 轴有交点 F、 G(F 在 G 的左侧), GAO 与△ FAO 的面积差为 △ 3, 且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点. 这时能确定 a、 的值吗?若能, b 请求出 a、 b 的值;若不能,请确定 a、b 的取值范围. (本题图形仅供分析参考用)
1 [解] (1) 由题意, A(0, C(4, 1)、 3)确定的解析式为: y= x+1. 2 15 1 23 23 将点 E 的坐标 E( , )代入 y= x+1 中,左边= ,右 4 2 8 8
Y D A B O X C P

边=

1 15 23 × +1= , 2 4 8 1 x+1 上,即点 A、C、E 在一条直线上. 2

∵左边=右边,∴点 E 在直线 y=

(2)解法一:由于动点 P 在矩形 ABCD 内部,∴点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标,而点 A 与点 P 都在抛物线上,且 P 为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下

解法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 1<

4a — b 2 ,且 P 在矩形 ABCD 内部,∴ 4a

4a — b 2 b2 b2 <3,由 1<1— 得— >0,∴a<0,∴抛物线的开口向下. 4a 4a 4a

(3)连接 GA、FA,∵S△GAO—S△FAO=3



1 1 GO·AO— FO·AO=3 2 2

∵OA=1,∴

GO—FO=6. 设 F(x1,0) 、G(x2,0) ,则 x1、x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且 x1<x2,又 ∵a<0,∴x1·x2=
1 <0,∴x1<0<x2, a b ∴— =6, a
Y D A B F O G X C P E

∴GO= x2,FO= —x1,∴x2—(—x1)=6,
b 即 x2+x1=6,∵x2+x1= — a

∴b= —6a, ∴抛物线解析式为:y=ax2—6ax+1, 其顶点 P 的坐标为(3, 1—9a), ∵顶点 P 在矩形 ABCD 内部, ∴1<1—9a< 3, ∴—
2 <a<0. 9

y=ax2—6ax+1 由方程组 y=
6a ?

1 x+1 2

得:ax2—(6a+

1 )x=0 2

∴x=0 或 x=

1 2 =6+ 1 . a 2a

当 x=0 时,即抛物线与线段 AE 交于点 A,而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点,则 有:0<6+
15 1 1 2 ≤ ,解得:— ≤a<— 4 12 9 2a 1 2 <a<— 12 9

综合得:—

∵b= —6a,∴

1 4 <b< 2 3

6.(2004 湖南长沙)已知两点 O(0,0)、B(0,2),⊙A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点 O、 C,⊙A 被 y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为 3∶1,直线 l 与⊙A 切于点 O,抛物线的顶点 在直线 l 上运动. (1)求⊙A 的半径; (2)若抛物线经过 O、C 两点,求抛物线的解析式; (3)过 l 上一点 P 的直线与⊙A 交于 C、E 两点,且 PC=CE,求点 E 的坐标; (4)若抛物线与 x 轴分别相交于 C、F 两点,其顶点 P 的横坐标为 m,求△PEC 的面积关 y 于 m 的函数解析式.

[解]

(1)由弧长之比为 3∶1,可得∠BAO=90?

再由 AB=AO=r,且 OB=2,得 r= 2 (2)⊙A 的切线 l 过原点,可设 l 为 y=kx

0

x

任取 l 上一点(b,kb),由 l 与 y 轴夹角为 45? 可得: b=-kb 或 b=kb,得 k=-1 或 k=1, ∴直线 l 的解析式为 y=-x 或 y=x 又由 r= 2 ,易得 C(2,0)或 C(-2,0) 由此可设抛物线解析式为 y=ax(x-2)或 y=ax(x+2) 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a=1 ∴抛物线为 y=x2-2x 或 y=x2+2x ……6 分 (3)当 l 的解析式为 y=-x 时,由 P 在 l 上,可设 P(m,-m)(m>0) 过 P 作 PP′⊥x 轴于 P′,∴OP′=|m|,PP′=|-m|,∴OP=2m2, 又由切割线定理可得:OP2=PC· PE,且 PC=CE,得 PC=PE=m=PP′7 分 ∴C 与 P′为同一点,即 PE⊥x 轴于 C,∴m=-2,E(-2,2)…8 分 同理,当 l 的解析式为 y=x 时,m=-2,E(-2,2) (4)若 C(2,0),此时 l 为 y=-x,∵P 与点 O、点 C 不重合,∴m≠0 且 m≠2, 当 m<0 时,FC=2(2-m),高为|yp|即为-m, ∴S=

2(2 ? m)(?m) ? m 2 ? 2m 2
?m 2 ? 2m(m ? 0或m ? 2)
2 ?? m ? 2m(0 ? m ? 2)

同理当 0<m<2 时,S=-m2+2m;当 m>2 时,S=m2-2m; ∴S= ? 又若 C(-2,0),

? m 2 ? 2m(m ? ?2或m ? 0) 此时 l 为 y=x,同理可得;S= ? 2 ? ? m ? 2m(?2 ? m ? 0)

y l B E P P′ (-2,0)C O C(2,0) x F C O P P P (2,0) C F x l y

A

A

F

7.(2006 江苏连云港)如图,直线 y ? kx ? 4 与函数 y ? 点,且与 x、y 轴分别交于 C、D 两点.

m ( x ? 0, m ? 0) 的图像交于 A、B 两 x

(1)若 ?COD 的面积是 ?AOB 的面积的 2 倍,求 k 与 m 之间的函数关系式; (2)在(1)的条件下,是否存在 k 和 m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P(2,0) .若存 在,求出 k 和 m 的值;若不存在,请说明理由.
y

[解](1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) (其中 x1 ? x2 , y1 ? y 2 ),
C A

由 S ?COD ? 2S ?AOB ,得 S ?COD ? 2 ( S ?AOD ? S ?BOD ) ∴

1 1 1 OD y · · ? 2 ( · · 1 ? · · 2 ), OC ? 2 ( y1 ? y 2 ) , OC OD OD y 2 2 2
2 2

B O P D
x

又 OC ? 4 ,∴ ( y1 ? y 2 ) ? 8 ,即 ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 8 , m m 由 y ? 可得 x ? ,代入 y ? kx ? 4 可得 y 2 ? 4 y ? km ? 0 y x ∴ y1 ? y 2 ? 4 , y1 ? y 2 ? ?km , 2 ∴ 16 ? 4km ? 8 ,即 k ? ? . m 又方程①的判别式 ? ? 16 ? 4km ? 8 ? 0 , ∴所求的函数关系式为 k ? ?


y

C

A

2 (m ? 0) . m B (2)假设存在 k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P(2,0) . O M N D P 则 AP ? BP ,过 A 、 B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 、 N . ∵ ?MAP 与 ?BPN 都与 ?APM 互余,∴ ?MAP ? ?BPN . AM MP ∴Rt ?MAP ∽Rt ?NPB ,∴ . ? PN NB y1 2 ? x1 m m ∴ ,∴ ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0 , ∴ ( ? 2)( ? ? 2) ? y1 y 2 ? 0 , x2 ? 2 y2 y1 y2
即 m 2 ? 2m( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? ( y1 y 2 ) 2 ? 0 ② 由(1)知 y1 ? y 2 ? 4 , y1 ? y 2 ? 2 ,代入②得 m 2 ? 8m ? 12 ? 0 , ? m?6 ?m ? 2 2 ? 1 ∴ m ? 2 或 6 ,又 k ? ? ,∴ ? 或? k?? , m ?k ? ?1 ? 3 ?

x

? m?6 ?m ? 2 ? 1. ∴存在 k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P(2,0) ,且 ? 或? k ? ?1 ? k ? ? ? 3 ?
8.(2004 江苏镇江)已知抛物线 y ? mx ? (m ? 5) x ? 5(m ? 0) 与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) 、
2

B( x2 , 0) ( x1 ? x2 ) ,与 y 轴交于点 C,且 AB=6.
(1)求抛物线和直线 BC 的解析式. (2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线 BC. (3)若 ? P 过 A、B、C 三点,求 ? P 的半径.

(4)抛物线上是否存在点 M,过点 M 作 MN ? x 轴于点 N,使 ?MBN 被直线 BC 分成面 积比为 1 ? 3 的两部分?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解](1)由题意得: x1 ? x2 ?
2

m?5 ?5 , x1 ? x2 ? , x2 ? x1 ? 6. m m
2

? m ? 5 ? 20 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 36, ? ? 36, ? ? m ? m ?
解得 m1 ? 1, m2 ? ? . 经检验 m=1,∴抛物线的解析式为: y ? x ? 4 x ? 5.
2

y

5 7

?5 2 或:由 mx ? (m ? 5) x ? 5 ? 0 得, x ? 1 或 x ? m
? m > 0,

O

x

?1 ?

?5 ? 6,? m ? 1. m

?抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 4 x ? 5.
由 x ? 4 x ? 5 ? 0 得 x1 ? ?5, x2 ? 1.
2

∴A(-5,0) ,B(1,0) ,C(0,-5). 设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? b,

则?

?b ? ?5, ?b ? ?5, ?? ?k ? b ? 0. ?k ? 5.

∴直线 BC 的解析式为 y ? 5 x ? 5. (2)图象略. (3)法一:在 RtD AOC 中,? OA ? OC ? 5,??OAC ? 45?.

??BPC ? 90? .
又 BC ? OB ? OC ?
2 2

26,

∴ ? P 的半径 PB ? 法二:

26 ?

2 ? 13. 2

由题意,圆心 P 在 AB 的中垂线上,即在抛物线 y ? x ? 4 x ? 5 的对称轴直线 x ? ?2 上,
2

设 P(-2,-h) (h>0) , 连结 PB、PC,则 PB ? (1 ? 2) ? h , PC ? (5 ? h) ? 2 ,
2 2 2 2 2 2

由 PB ? PC ,即 (1 ? 2) ? h ? (5 ? h) ? 2 ,解得 h=2.
2 2
2 2 2 2

? P(?2, ?2),?? P 的半径 PB ? (1 ? 2) 2 ? 2 2 ? 13 .
法三: 延长 CP 交 ? P 于点 F. ? CF 为 ? P 的直径,??CAF ? ?COB ? 90?. 又 ?ABC ? ?AFC,?D ACF ~ D OCB.

?

CF AC AC ? BC ? ,? CF ? . BC OC OC
2 2 2 2

又 AC ? 5 ? 5 ? 5 2, CO ? 5, BC ? 5 ? 1 ?

26, ?

? CF ?

5 2 ? 26 ? 2 13. 5

?? P 的半径为 13.
(4)设 MN 交直线 BC 于点 E,点 M 的坐标为 (t , t ? 4t ? 5), 则点 E 的坐标为 (t ,5t ? 5).
2

若 SD MEB : SD ENB ? 1 : 3, 则 ME : EN ? 1: 3.

4 ? EN : MN ? 3 : 4,? t 2 ? 4t ? 5 ? (5t ? 5). 3
解得 t1 ? 1 (不合题意舍去) t2 ? ,

5 ? 5 40 ? , ? M ? , ?. 3 ?3 9 ?

若 SD MEB : SD ENB ? 3 : 1, 则 ME : EN ? 3 : 1.

? EN : MN ? 1 : 4,? t 2 ? 4t ? 5 ? 4(5t ? 5).
解得 t3 ? 1 (不合题意舍去) t4 ? 15, ? M ?15, 280 ? . ,

? 5 40 ? ?存在点 M,点 M 的坐标为 ? , ? 或(15,280). ?3 9 ?

9. 如图,⊙M 与 x 轴交于 A、B 两点,其坐标分别为 A ( ?3,) 、 B (1,) ,直径 CD⊥x 轴于 0 0 N,直线 CE 切⊙M 于点 C,直线 FG 切⊙M 于点 F,交 CE 于 G,已知点 G 的横坐标为 3. (1) 若抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? m 经过 A、B、D 三点,求 m 的值及点 D 的坐标. (2) 求直线 DF 的解析式. (3) 是否存在过点 G 的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于 4?若 存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.

[解] (1)

∵抛物线过 A、B 两点,

∴ ( ?3) ? 1 ?

m ,m=3. ?1
2

y D F

∴抛物线为 y ? ? x ? 2 x ? 3 . 又抛物线过点 D,由圆的对称性知点 D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为 ( ?1, ) . 4 (2) 由题意知:AB=4. ∵CD⊥x 轴,∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得:NA·NB=ND·NC, ∴NC× 4=2×2. ∴NC=1. ∴C 点坐标为 ( ?1, 1) . ? 设直线 DF 交 CE 于 P,连结 CF,则∠ CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF 是切线, ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得 CP=8. ∴P 点坐标为 ( 7, 1) ? 设直线 DF 的解析式为 y ? kx ? b
M N A C (第 27 题图) y D O
B

G

E

x

F M
3 2

N A C
4

O
B
1

x PE

G

?? k ? b ? 4 则? ? 7 k ? b ? ?1

5 ? ?k ? ? 8 ? 解得 ? ? b ? 27 ? ? 8

5 27 ∴直线 DF 的解析式为: y ? ? x ? 8 8
(3) 假设存在过点 G 的直线为 y ? k 1 x ? b1 , 则 3 k 1 ? b1 ? ?1 ,∴ b1 ? ?3 k 1 ? 1 .
? y ? k 1 x ? 3k 1 ? 1 由方程组 ? 得 x 2 ? ( 2 ? k 1 ) x ? 4 ? 3k 1 ? 0 y ? ?x 2 ? 2x ? 3 ?

由题意得 ?2 ? k 1 ? 4 ,∴ k 1 ? ?6 . 当 k 1 ? ?6 时, ? ? ?40 ? 0 , ∴方程无实数根,方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在. 10.(2004 山西)已知二次函数 y ?

1 2 ,并与 x 轴交 x ? bx ? c 的图象经过点 A(-3,6) 2

于点 B(-1,0)和点 C,顶点为 P. (1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象; (2)设 D 为线段 OC 上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点 D 的坐标; (3)在 x 轴上是否存在一点 M,使以 M 为圆心的圆与 AC、PC 所在的直线及 y 轴都相 切?如果存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解]

(1)解:∵二次函数 y ?

1 2 ,B(-1,0) x ? bx ? c 的图象过点 A(-3,6) 2
y

?9 ? 2 ? 3b ? c ? 6 ? 得? ?1 ? b ? c ? 0 ?2 ?
∴这个二次函数的解析式为: y ?

?b ? ? 1 ? 解得 ? 3 ?c ? ? 2 ?

1 2 3 x ?x? 2 2

O

x

由解析式可求 P(1,-2) ,C(3,0) 画出二次函数的图像 (2)解法一:易证:∠ACB=∠PCD=45° 又已知:∠DPC=∠BAC ∴△DPC∽△BAC



DC PC ? BC AC 4 3

易求 AC ? 6 2, PC ? 2 2, BC ? 4 ∴ OD ? 3 ?

∴ DC ?

4 5 ? 3 3

∴ D? ,0?

?5 ?3

? ?

解法二:过 A 作 AE⊥x 轴,垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于 F. 亦可证△AEB∽△PFD、 ∴

PE EB . ? PF FD 2 3
∴ OD ?

易求:AE=6,EB=2,PF=2

∴ FD ?

2 5 ?1 ? 3 3

∴ D? ,0?

?5 ?3

? ?

(3)存在. (1° )过 M 作 MH⊥AC,MG⊥PC 垂足分别为 H、G,设 AC 交 y 轴于 S,CP 的延长 线交 y 轴于 T ∵△SCT 是等腰直角三角形,M 是△SCT 的内切圆圆心, ∴MG=MH=OM 又∵ MC ?

2OM 且 OM+MC=OC

∴ 2OM ? OM ? 3, 得OM ? 3 2 ? 3 ∴ M 3 2 ? 3, 0

?

?
2OM ?

(2° )在 x 轴的负半轴上,存在一点 M′ 同理 OM′+OC=M′C, OM ? ? OC ? 得 OM ? ? 3 2 ? 3

∴M′ ?3 2 ? 3, 0

?

?

即在 x 轴上存在满足条件的两个点.

y
A

6 5 4 3 2 M′ E -3 -2 1 B -1 0 -1 -2 P T H F M 1 D2 G C 3 x S

11.(2004 浙江绍兴)在平面直角坐标系中,A(-1,0) ,B(3,0). (1)若抛物线过 A,B 两点,且与 y 轴交于点(0,-3) ,求此抛物线的顶点坐标; (2)如图,小敏发现所有过 A,B 两点的抛物线如果与 y 轴负半轴交于点 C,M 为抛 物线的顶点,那么△ACM 与△ACB 的面积比不变,请你求出这个比值; (3)若对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E,F,与 y 轴交于点 C,过 C 作 CP∥x 轴交 l 于点 P,M 为此抛物线的顶点.若四边形 PEMF 是有一个内角为 60° 的 菱形,求次抛物线的解析式. y [解] (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,顶点坐标为(1,-4). (2)由题意,设 y=a(x+1) (x-3) ,即 y=ax2-2ax-3a, ∴ A(-1,0) ,B(3,0) ,C(0,-3a) ,M(1,-4a) ,

1 ∴ S△ACB= × ? 3a =6 a , 4× 2
而 a>0, ∴ S△ACB=6A、 作 MD⊥x 轴于 D, 又 S△ACM=S△ACO +SOCMD -S△AMD=

A

O

B x

C M

1 1 1 · 3a+ (3a+4a) 1· - · 4a=a, 2· 2 2 2

∴ S△ACM:S△ACB=1:6. (3)①当抛物线开口向上时,设 y=a(x-1)2+k,即 y=ax2-2ax+a+k,

有菱形可知 a ? k = k ,a+k>0,k<0, ∴ ∴ k= ?

a , 2
a , ∴ 2
EF ? 2 .

y=ax2-2ax+

记 l 与 x 轴交点为 D, 若∠PEM=60° ,则∠FEM=30° ,MD=DE· tan30° =

6 , 6



k=-

6 6 ,a= , 6 3
1 2 6 6x2 ? 6x ? . 3 3 6



抛物线的解析式为 y ?

若∠PEM=120° ,则∠FEM=60° ,MD=DE· tan60° =

6 , 2



k=-

6 ,a= 6 , 2 6x2 ? 2 6x ? 6 . 2



抛物线的解析式为 y ?

②当抛物线开口向下时,同理可得

y??

1 2 6 6 2 6x2 ? 6x ? , y ? ? 6x ? 2 6x ? . 3 3 6 2

12.(2005 北京)已知:在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? 4k 的图象与 x 轴交 于点 A,抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 O、A 两点。
2

(1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)设抛物线的顶点为 D,以 D 为圆心,DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。 若将劣弧沿 x 轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D 内,它所在的圆恰与 OD 相切,求⊙D 半径的 长及抛物线的解析式; (3)设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在 x 轴上方的部分上是否存 在这样的点 P,使得 ∠POA ?

4 ∠OBA ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明 3

理由。

[解]

(1)解法一:∵一次函数 y ? kx ? 4k 的图象与 x 轴交于点 A

∴点 A 的坐标为(4,0) ∵抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 O、A 两点
2

? c ? 0,16a ? 4b ? 0

?b ? ?4a
解法二:∵一次函数 y ? kx ? 4k 的图象与 x 轴交于点 A ∴点 A 的坐标为(4,0) ∵抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 O、A 两点
2

∴抛物线的对称轴为直线 x ? 2

?x ? ?

b ?2 2a ?b ? ?4a
(2)由抛物线的对称性可知,DO=DA ∴点 O 在⊙D 上,且∠DOA=∠DAO 又由(1)知抛物线的解析式为 y ? ax ? 4ax
2

∴点 D 的坐标为( 2 , ? 4a ) ①当 a ? 0 时,

如图 1, 设⊙D 被 x 轴分得的劣弧为 OmA , 它沿 x 轴翻折后所得劣弧为 OnA , 显然 OnA 所在的圆与⊙D 关于 x 轴对称,设它的圆心为 D' ∴点 D'与点 D 也关于 x 轴对称 ∵点 O 在⊙D'上,且⊙D 与⊙D'相切 ∴点 O 为切点 ∴D'O⊥OD ∴∠DOA=∠D'OA=45° ∴△ADO 为等腰直角三角形







? OD ? 2 2
∴点 D 的纵坐标为 ?2

? ?4a ? ?2 ?a ? 1 ,b ? ?4a ? ?2 2

∴抛物线的解析式为 y ? ②当 a ? 0 时, 同理可得: OD ? 2 2 抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 x ? 2x 2

1 2 x ? 2x 2

1 2 1 x ? 2x 或 y ? ? x2 ? 2x 2 2 4 (3)抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P,使得 ∠POA ? ∠OBA 3
综上,⊙D 半径的长为 2 2 ,抛物线的解析式为 y ? 设点 P 的坐标为(x,y) ,且 y>0 ①当点 P 在抛物线 y ?

1 2 x ? 2 x 上时(如图 2) 2

∵点 B 是⊙D 的优弧上的一点

1 ∠A D O? 45? 2 4 ? ∠P O A ∠O B A 60? ? ? 3 ? ∠O B A ?
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E

? tan ∠POE ? y ? tan 60? x ? y ? 3x ?

EP OE

? y ? 3x ? x1 ? 4 ? 2 3 ? x2 ? 0 ? ? 由? 解得: ? (舍去) ,? 1 2 ? ?y ? x ? 2x ? y1 ? 6 ? 4 3 ? y2 ? 0 2 ?
∴点 P 的坐标为 4 ? 2 3, 6 ? 4 3 ②当点 P 在抛物线 y ? ?

?

?

1 2 x ? 2 x 上时(如图 3) 2

同理可得, y ?

3x

? y ? 3x ? x1 ? 4 ? 2 3 ? x2 ? 0 ? ? 由? 解得: ? (舍去) ,? 1 2 ? y1 ? ?6 ? 4 3 ? y2 ? 0 ?y ? ? x ? 2x ? 2 ?
∴点 P 的坐标为 4 ? 2 3, ? 6 ? 4 3

?

? ?

综上,存在满足条件的点 P,点 P 的坐标为

?4 ? 2

3, 6 ? 4 3 或 4 ? 2 3, ? 6 ? 4 3

? ?

13.(2005 北京丰台)在直角坐标系中,⊙ O1 经过坐标原点 O,分别与 x 轴正半轴、y 轴正 半轴交于点 A、B。 (1)如图,过点 A 作⊙ O1 的切线与 y 轴交 于 点 C , 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 为

y B O1 O C A x

12 3 , ?ABC ? ,求直线 AC 的解析式; sin 5 5
(2)若⊙ O1 经过点 M(2,2) ,设 ?BOA 的 内切圆的直径为 d,试判断 d+AB 的值是否会 发生变化,如果不变,求出其值,如果变化, 求其变化的范围。

[解]

12 5 3 设 OA ? 3k ( k ? 0),? ?AOB ? 90? ,sin ?ABC ? 5
(1)如图 1,过 O 作 OG??B 于 G,则 OG ?

? AB ? 5k,OB ? 4 k
?OA ? OB ? AB ? OG ? 2 S ?AOB ,? 3k ? 4 k ? 5 ?
? OA ? 3,OB ? 4,AB ? 5

12 ,? k ? 1 5

? A (3,0)
??A O B? 90? ,?AB 是⊙ O1 的直径

? AC 切⊙ O1 于 A,? BA?AC,??BAC ? 90?
在 Rt?ABC 中

AB 4 25 ? ,? BC ? BC 5 4 9 ? OC ? BC ? OB ? 4 ? cos ?ABC ?

9 ? C(0, ? ) 4
设直线 AC 的解析式为 y ? kx ? b ,则

?3k ? b ? 0 ? 9 ? ?b ? ? 4 ?

?k ?

3 9 ,b ? ? 4 4 3 9 x? 4 4

?直线 AC 的解析式为 y ?

(2)结论: d ? AB 的值不会发生变化 设 ?AOB 的内切圆分别切 OA、OB、AB 于点 P、Q、T,如图 2 所示
y B M O1 Q P O A N x T

图2

? BQ ? BT,AP ? AT,OQ ? OP ? ? BQ ? BT ? OB ?

d 2

d d , AP ? AT ? OA ? 2 2 d d ? AB ? BT ? AT ? OB ? ? OA ? ? OA ? OB ? d 2 2
则 d ? AB ? d ? OA ? OB ? d ? OA ? OB 在 x 轴上取一点 N,使 AN=OB,连接 OM、BM、AM、MN

? M (2,2),? OM 平分 ?AOB,? OM ? 2 2
? ?B O M? ?M O N? 45? ,? AM ? BM 又 ? ?MAN ? ?OBM , OB ? AN

? ?B O M? ?A N M??B O M? ?A N M? 45? , ?A N M? ?M O N , ? OM ? NM , ?OMN ? 90?
? OA ? OB ? OA ? AN ? ON ? OM 2 ? MN 2 ? 2 ? OM ? 2 ? 2 2 ? 4

? d ? AB 的值不会发生变化,其值为 4。

14.(2005 福建厦门)已知:O 是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数 y =

k (k>0)上的 x

点,过点 P 作直线 PA⊥OP 于 P,直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A(a,0)(a>m). 设 n4 △OPA 的面积为 s,且 s=1+ . 4 (1)当 n=1 时,求点 A 的坐标; (2)若 OP=AP,求 k 的值; n4 (3 ) 设 n 是小于 20 的整数,且 k≠ ,求 OP2 的最小值. 2

[解]

过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,则 PQ=n,OQ=m

5 (1) 当 n=1 时, s= 4 2s 5 ∴ a= = n 2 (2) 解 1: ∵ OP=AP PA⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形 a ∴ m=n= 2 n4 1 ∴ 1+ = ·an 4 2 即 n4-4n2+4=0 ∴ k2-4k+4=0 ∴ k=2 解 2:∵ OP=AP PA⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴ m=n 设△OPQ 的面积为 s1

s 则:s1= 2 1 1 n4 ∴ ·mn= (1+ ) 2 2 4 即:n4-4n2+4=0 ∴ k2-4k+4=0 ∴ k=2 (3) 解 1:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP 设:△OPQ 的面积为 s1,则 s1 PO2 = s AO2 1 k2 k n2+ 2 2 n 即: 4 = n n4 1+ 4 (1+ )2 4 4 n2 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 (k-2) (2k-n4)=0 n4 ∴k=2 或 k= (舍去) 2 ∴当 n 是小于 20 的整数时,k=2. k2 ∵ OP2=n2+m2=n2+ 2 n 又 m>0,k=2, ∴ n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n=1 时,OP2=5 当 n=2 时,OP2=5 4 4 85 当 n=3 时,OP2=32+ 2=9+ = 3 9 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时, 即当 n=4、5、6、…、19 时,OP2 得值分别是: 4 4 4 4 42+ 2、52+ 2、62+ 2、…、192+ 2 4 5 6 19 ∵192+ 4 4 4 >182+ 2>…>32+ 2>5 192 18 3

∴ OP2 的最小值是 5. k2 解 2: ∵ OP2=n2+m2=n2+ 2 n

22 =n2+ 2 n 2 =(n- )2 +4 n 2 当 n= 时,即当 n= 2时,OP2 最小; n 又∵n 是整数,而当 n=1 时,OP2=5;n=2 时,OP2=5 ∴ OP2 的最小值是 5. 解 3:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ PQ OQ = QA PQ n m = a-m n 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 (k-2) (2k-n4)=0 n4 ∴k=2 或 k= (舍去) 2 解 4:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ s1 OQ2 = 2 s-s1 PQ 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 (k-2) (2k-n4)=0 n4 ∴k=2 或 k= (舍去) 2 解 5:∵ PA⊥OP, PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴ OP OQ = OA OP

∴ OP2=OQ·OA 化简得:2n4+2k2-k n4-4k=0 (k-2) (2k-n4)=0 n4 ∴k=2 或 k= (舍去) 2 15.(2005 湖北黄冈课改)如图,在直角坐标系中,O 是原点,A、B、C 三点的坐标分别 为 A(18,0) ,B(18,6) ,C(8,6) ,四边形 OABC 是梯形,点 P、Q 同时从原点出发, 分别坐匀速运动,其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动,速度为每秒 1 个单位,点 Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。 (1)求出直线 OC 的解析式及经过 O、A、C 三点的抛物线的解析式。

(2)试在⑴中的抛物线上找一点 D,使得以 O、A、D 为顶点的三角形与△ AOC 全等,请 直接写出点 D 的坐标。 (3)设从出发起,运动了 t 秒。如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位,试写出点 Q 的坐标,并 写出此时 t 的取值范围。 (4)设从出发起,运动了 t 秒。当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 OABC 的周长 的一半,这时,直线 PQ 能否把梯形的面积也 y 分成相等的两部分, 如有可能, 请求出 t 的值; 如不可能,请说明理由。

[解] (1) ∵O、 两点的坐标分别为 O ?0,0 ? , C
C ?8,6 ? 设 OC 的解析式为 y ? kx ? b ,将两点 坐标代入得: Q A O P

C(8,6)

B(18,6)

A(18,0) x

k?

3 3 , b ? 0 ,∴ y ? x 4 4

∵A,O 是 x 轴上两点,故可设抛物线的解析式为 y ? a?x ? 0??x ? 18? 再将 C ?8,6 ? 代入得: a ? ? ∴y??

3 40

3 2 27 x ? x 40 20

(2)D ?10,6?

?3 ? ? 3 ? 2 2 (3)当 Q 在 OC 上运动时,可设 Q ? m, m ? ,依题意有: m ? ? m ? ? ?2t ? ?4 ? ? 4 ?
∴m ?

2

8 ?8 6 ? t ,∴Q ? t , t ? , ?0 ? t ? 5? 5 ?5 5 ?

当 Q 在 CB 上时,Q 点所走过的路程为 2t ,∵OC=10,∴CQ= 2t ?10 ∴Q 点的横坐标为 2t ? 10 ? 8 ? 2t ? 2 ,∴Q ?2t ? 2,6? , ?5 ? t ? 10 ? (4)∵梯形 OABC 的周长为 44,当 Q 点 OC 上时,P 运动的路程为 t ,则 Q 运动的路程为

?22 ? t ?
△OPQ 中,OP 边上的高为: ?22 ? t ? ? , S ?OPQ ?

3 5

1 3 t ?22 ? t ? ? 2 5

梯形 OABC 的面积=
2

1 ?18 ? 10 ? ? 6 ? 84 ,依题意有: 1 t ?22 ? t ? ? 3 ? 84 ? 1 2 2 5 2
∵△= 22 ? 4 ? 140 ? 0 ,∴这样的 t 不存在
2

整理得: t ? 22t ? 140 ? 0

当 Q 在 BC 上时,Q 走过的路程为 22 ? t ,∴CQ 的长为: 22 ? t ? 10 ? 12 ? t ∴梯形 OCQP 的面积=

1 1 ? 6?22 ? t ? 10 ? t ? =36≠84× 2 2

∴这样的 t 值不存在 综上所述,不存在这样的 t 值,使得 P,Q 两点同时平分梯形的周长和面积 16.(2005 湖北荆门)已知:如图,抛物线 y ?

1 2 2 3 x ? x ? m 与 x 轴交于 A、B 两点, 3 3

与 y 轴交于 C 点,∠ACB=90° , (1)求 m 的值及抛物线顶点坐标; (2)过 A、B、C 的三点的⊙M 交 y 轴于另一点 D,连结 DM 并延长交⊙M 于点 E,过 E 点的⊙M 的切线分别交 x 轴、y 轴于点 F、G,求直线 FG 的解析式;

? (3)在(2)条件下,设 P 为 CBD 上的动点(P 不与 C、D
重合) ,连结 PA 交 y 轴于点 H,问是否存在一个常数 k,始 终满足 AH· AP=k,如果存在,请写出求解过程;如果不存 在,请说明理由.

y D M · F B E G x

[解]
0.

(1)由抛物线可知,点 C 的坐标为(0,m) ,且 m<

A

O C

设 A(x1,0) ,B(x2,0).则有 x1·2=3m x 又 OC 是 Rt△ABC 的斜边上的高,∴△AOC∽△COB ∴

OA OC ? OC OB


? x1 ? m ? ,即 x1·2=-m2 x ?m x2

∴-m2=3m,解得 m=0 或 m=-3 而 m<0,故只能取 m=-3 这时, y ?

1 2 2 3 1 x ? x ? 3 ? ( x ? 3) 2 ? 4 3 3 3

故抛物线的顶点坐标为( 3 ,-4) (2)解法一:由已知可得:M( 3 ,0) ,A(- 3 ,0) ,B(3 3 ,0) ,

C(0,-3) ,D(0, 3) ∵抛物线的对称轴是 x= 3 ,也是⊙M 的对称轴,连结 CE ∵DE 是⊙M 的直径, ∴∠DCE=90° ,∴直线 x= 3 ,垂直平分 CE, ∴E 点的坐标为(2 3 ,-3)



OA OM 3 ? ? ,∠AOC=∠DOM=90° , OC OD 3

∴∠ACO=∠MDO=30° ,∴AC∥DE ∵AC⊥CB,∴CB⊥DE 又 FG⊥DE, ∴FG∥CB 由 B(3 3 ,0) 、C(0,-3)两点的坐标易求直线 CB 的解析式为:

y=

3 x -3 3 3 x +n,把(2 3 ,-3)代入求得 n=-5 3

可设直线 FG 的解析式为 y=

故直线 FG 的解析式为 y=

3 x -5 3

解法二:令 y=0,解

1 2 2 3 x ? x -3=0 得 3 3

x1=- 3 ,x2=3 3 即 A(- 3 ,0) ,B(3 3 ,0) 根据圆的对称性,易知: :⊙M 半径为 2 3 , M( 3 ,0)

在 Rt△BOC 中,∠BOC=90° ,OB=3 3 , ,OC=3 ∴∠CBO=30° ,同理,∠ODM=30° 。 而∠BME=∠DMO,∠DOM=90° ,∴DE⊥BC ∵DE⊥FG, ∴BC∥FG ∴∠EFM=∠CBO=30°

在 Rt△EFM 中,∠MEF=90° ,ME=2 3 ,∠FEM=30° , ∴MF=4 3 ,∴OF=OM+MF=5 3 , ∴F 点的坐标为(5 3 ,0)

在 Rt△OFG 中,OG=OF· tan30° =5 3 × ∴G 点的坐标为(0,-5) ∴直线 FG 的解析式为 y=

3 =5 3

3 x -5 3

(3)解法一: 存在常数 k=12,满足 AH· AP=12 连结 CP 由垂径定理可知 AD ? AC , ∴∠P=∠ACH (或利用∠P=∠ABC=∠ACO) 又∵∠CAH=∠PAC, ∴△ACH∽△APC
? ?

y D H A O C G M · P F B E x

AC AP ∴ ? AH AC

即 AC2=AH· AP

在 Rt△ AOC 中,AC2=AO2+OC2=( 3 )2+32=12 (或利用 AC =AO· AB= 3 × 3 =12 4 ∴AH· AP=12 解法二: 存在常数 k=12,满足 AH· AP=12 设 AH=x,AP=y 由相交弦定理得 HD· HC=AH· HP 即 (3 ?
2

x 2 ? 3 )(3 ? x ? 3) ? x( y ? x)

化简得:xy=12 即 AH· AP=12 17.(2005 浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,⊙C 与 y 轴相切于 D

点,与 x 轴相交于 A(2,0) 、B(8,0)两点,圆心 C 在第四象限. (1)求点 C 的坐标; (2)连结 BC 并延长交⊙C 于另一点 E,若线段 BE 上有一点 P,使得 .. AB2=BP· BE, 能否推出 AP⊥BE?请给出你的结论, 并说 明理由; (3) ..BE 上是否存在点 Q,使得 AQ2=BQ· 在直线 EQ?若 存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,也请说明理由.

[解]

(1) C(5,-4) ; ( 2 ) 能 。 连 结 AE , ∵BE 是 ⊙O 的 直 径 ,

∴∠BAE=90° . 在△ABE 与△PBA 中,AB2=BP·BE , 即 ∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90° 即 AP⊥BE . , (3)分析:假设在直线 EB 上存在点 Q,使 AQ2=BQ· EQ. Q 点位置有三种情况: ①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点 C 即点 Q; ②若无两条等长,且点 Q 在线段 EB 上,由 Rt△EBA 中的射影定理知点 Q 即为 AQ⊥EB 之垂足; ③若无两条等长,且当点 Q 在线段 EB 外,由条件想到切割线定理,知 QA 切⊙C 于点 A. 设 Q( t , y (t ) ),并过点 Q 作 QR⊥x 轴于点 R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三 角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程: ① 当点 Q1 与 C 重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有 AQ12=BQ1· 1 , EQ ∴Q1(5, -4)符合题意; ② 当 Q2 点在线段 EB 上, ∵△ABE 中,∠BAE=90° ∴点 Q2 为 AQ2 在 BE 上的垂足, ∴AQ2=
AB ? AE BE ? 48 10
AB BP ? BE AB

, 又

= 4.8(或

24 ). 5

∴Q2 点的横坐标是 2+ AQ2· ∠BAQ2= 2+3.84=5.84, cos

又由 AQ2· ∠BAQ2=2.88, sin ∴点 Q2(5.84,-2.88), ?或?

? ? 146 72 ?? , ? ?? ? ? 25 25 ??

③方法一:若符合题意的点 Q3 在线段 EB 外, 则可得点 Q3 为过点 A 的⊙C 的切线与直线 BE 在第一象限的交点. 由 Rt△ Q3BR∽Rt△ EBA,△ EBA 的三边长分别为 6、8、10, 故不妨设 BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, 由 Rt△ ARQ3∽Rt△ EAB 得 即
AR EA ? RQ 3 AB



6 ? 3t 4t 18 ? 得 t= , 8 6 7
3 4

〖 注 : 此 处 也 可 由 tg?Q AR ? tg?AEB ?
3

列得方程

4t 3 Q ? ; 或由 AQ32 = Q3B· 3E=Q3R2+AR2 列得方程 3t ? 6 4
5t ?10 ? 5t ? ? ?4t ? ? ?3t ? 6? )等等〗
2 2

∴Q3 点的横坐标为 8+3t= 即 Q3(

110 72 , Q3 点的纵坐标为 , 7 7

110 72 , ). 7 7
4 32 . x ? 3 3

方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE 过 B(8, 0), C(5, -4), ∴直线 BE 的解析式是 y ? 设 Q3( t ,

4t 32 ? ),过点 Q3 作 Q3R⊥x 轴于点 R, 3 3

∵易证∠Q3AR =∠AEB 得 Rt△ AQ3R∽Rt△ EAB,

4 32 t? AB 3 3 ?6 , ? ∴ , 即 3 AR EA t ?2 8 110 72 110 72 ∴t= ,进而点 Q3 的纵坐标为 ,∴Q3( , ). 7 7 7 7
RQ

方法三:若符合题意的点 Q3 在线段 EB 外,连结 Q3A 并延长交 y 轴于 F, ∴∠Q3AB =∠Q3EA, tg?OAF ? tg?Q AB ? tg?AEB ?
3

3 4

,

3 3 ,点 F 的坐标为(0, ? ), 2 2 3 3 ∴可得直线 AF 的解析式为 y ? x ? , 4 2 4 32 又直线 BE 的解析式是 y ? x ? , 3 3 110 72 ∴可得交点 Q3( , ). 7 7
在 R t△ OAF 中有 OF=2× = 18.(2005 上海长宁)如图 1,抛物线关于 y 轴对称,顶点 C 坐标为(0,h )(h>0), 交 x 轴于点 A(d,0) 、B(-d,0) (d>0) 。 (1)求抛物线解析式(用 h、d 表示) ; (2)如图 2,将 ABC 视为抛物线形拱桥,①~⑤拉杆均垂直 x 轴,垂足依次在线段 AB 的 6 等分点上。h=9 米。 (i )求拉杆⑤DE 的长度; (ii)若 d 值增大,其他都不变,如图 3。拉杆⑤DE 的长度会 y 改变吗?(只需写结论) C F (3)如图 4,点 G 在线段 OA 上,OG=kd(比例系数 k 是常数, 0≤k≤1) ,GF⊥x 轴交抛物线于点 F。试探索 k 为何值时, x O B G A tg∠FOG= tg∠CAO?此时点 G 与 OA 线段有什么关系? 图4 [解] (1)用顶点式,据题意设 y=ax2+h 代入 A(d,0)得 a= ? ∴y= ?

3 4

h d2

h 2 x +h d2 9 2 x +9 d2

(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得 y= ? 据题意 OE=

2 2 d,设 D( d,yD) 3 3 9 2 点 D 在抛物线上,yD= ? 2 ( d)2+9=5,∴DE=5 米。 d 3
(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。 (3)OG=kd,∴点 F 坐标可设(kd,yF)代入 y= ? yF= h(1-k2) tg∠FOG= tg∠CAO ,

h 2 x +h ,得: d2

h(1 ? k 2 ) h = kd d

1? k 2 ?1 k
k?

k 2 ? k ? 1 ? 0 解得 k1 ?

5 ?1 5 ?1 (∵0<k<1,舍) k2 ? 2 2

5 ?1 ,此时点 G 是线段 OA 的黄金分割点。 2

19.(2006 上海金山)已知:抛物线经过 A(2,0) 、B(8,0) 、C(0, (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 P,把△APB 翻折,使点 P 落在线段 AB 上 (不与 A、 重合)记作 P , B , 折痕为 EF,设 A P / = x,PE = y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (3)当点 P / 在线段 AB 上运动但不与 A、B 重合 时,能否使△EF P / 的一边与 x 轴垂直?若 能,请求出此时点 P / 的坐标;若不能,请你说明理由。 O
/

16 3 ) 3

C

[解]

(1)设 y ? a( x ? 2)( x ? 8)

把 (0,

16 3 ) 代入得 3

a?

3 3 3 2 10 3 16 3 x ? x? 3 3 3

∴y?

3 ( x ? 2)( x ? 8) 3

即y?

(2)顶点 P( 5,?3 3 ) AP=AB=BP=6 ∴

?PAP ' ? 60 0
'

作 P G ? AP 于 G,则 AG ?

3 1 x x , P 'G ? 2 2

又 P E ? PE ? y , EG ? 6 ?
'

1 x? y 2

在 Rt?P EG 中, (
'

3 2 1 x ) ? (6 ? x ? y ) 2 ? y 2 2 2



x 2 ? 6 x ? 36 y? 12 ? x
'

(0 ? x ? 6)
则 6 ? y ? 2x

(3)若 EP ? x 轴

6?

x 2 ? 6 x ? 36 ? 2x 12 ? x
'

x1 ? 12 ? 6 3 , x 2 ? 12 ? 6 3 (舍去)

∴ P (14 ? 6 3 ,0) 若 FP ? x 轴
'

则6 ? y ?

1 x 2
(舍去)

x 2 ? 6 x ? 36 1 6? ? x 12 ? x 2
∴ P (6 3 ? 4,0)
'

x 3 ? 6 3 ? 6 , x 4 ? ?6 3 ? 6

若 EF ? x 轴, 显然不可能。 ∴ P (14 ? 6 3 ,0)
'

或 P (6 3 ? 4,0)
'
2

20. (2006 湖北十堰) 已知抛物线 C1 :y ? ? x ? 2mx ? n m , 为常数, m≠ 0 , ? 0 ) ( 且 n n 的顶点为 A ,与 y 轴交于点 C ;抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 y 轴对称,其顶点为 B ,连接

AC , BC , AB .
注:抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ≠ 0 ? 的顶点坐标为 ? ?
2

?

b 4ac ? b 2 ? , ?. 4a ? ? 2a

(1)请在横线上直接写出抛物线 C2 的解析式:________________________; (2)当 m ? 1时,判定 △ABC 的形状,并说明理由; (3)抛物线 C1 上是否存在点 P ,使得四边形 ABCP 为菱形?如果存在,请求出 m 的值; 如果不存在,请说明理由.

y

[解]

(1) y ? ? x ? 2mx ? n .
2

(2)当 m ? 1时, △ABC 为等腰直角三角形. 理由如下: 如图:?点 A 与点 B 关于 y 轴对称, 点 C 又在 y 轴上,

··············3 分 ··········· ··· ·········· ···

O

x

? AC ? BC .
过点 A 作抛物线 C1 的对称轴交 x 轴于 D ,过点 C 作 CE ? AD 于 E .

, ?当 m ? 1时,顶点 A 的坐标为 A ?11 ? n ? ,?CE ? 1 .
又?点 C 的坐标为 ? 0,n ? ,

? AE ? 1 ? n ? n ? 1 .? AE ? CE .
从而∠ECA ? 45 ,?∠ACy ? 45 .
?
?

由对称性知∠BCy ? ∠ACy ? 45 ,?∠ACB ? 90 .
?

?

? ABC 为等腰直角三角形. △
(3)假设抛物线 C1 上存在点 P ,使得四边形 ABCP 为菱形,则 PC ? AB ? BC . 由(2)知, AC ? BC ,? AB ? BC ? AC . 从而 △ABC 为等边三角形.

?∠ACy ? ∠BCy ? 30? .

?四边形 ABCP 为菱形,且点 P 在 C1 上,?点 P 与点 C 关于 AD 对称.
? PC 与 AD 的交点也为点 E ,因此∠ACE ? 90? ? 30? ? 60? .

?点 A,C 的坐标分别为 A ? m,m 2 ? n ?,C ? 0,n ? ,
? AE ? m2 ? n ? n ? m2,CE ? m .
在 Rt△ACE 中, tan 60 ?
?

AE m 2 ? ? 3. CE m

? m ? 3 ,? m ? ? 3 .

故抛物线 C1 上存在点 P ,使得四边形 ABCP 为菱形,此时 m ? ? 3 .

y

21.(2006 湖北宜昌)如图,点 O 是坐标原点,点 A(n,0)是 x 轴上一动点(n<0)以 AO o 为一边作矩形 AOBC,点 C 在第二象限,且 OB=2OA.矩形 AOBC 绕点 A 逆时针旋转 90 得矩形 AGDE.过点 A 的直线 y=kx+m 交 y 轴于点 F,FB=FA.抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、F、G 且和直线 AF 交于点 H,过点 H 作 HM⊥x 轴,垂足为点 M. (1)求 k 的值; (2)点 A 位置改变时,△AMH 的面积和矩形 AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.

[解]

(1)根据题意得到:E(3n,0) G(n,-n) ,
y C D E G A B F O x

当 x=0 时,y=kx+m=m,∴点 F 坐标为(0,m) ∵Rt△AOF 中,AF2=m2+n2, ∵FB=AF, ∴m2+n2=(-2n-m)2, M 化简得:m=-0.75n, 对于 y=kx+m,当 x=n 时,y=0, ∴0=kn-0.75n, ∴k=0.75 H (2)∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、F、G,

?0 ? 9n 2 a ? 3nb ? c ? 2 ∴ ?? n ? n a ? nb ? c ?? 0.75 ? c ? 1 1 解得:a= ,b=- ,c=-0.75n 4n 2 1 2 1 ∴抛物线为 y= x - x-0.75n 4n 2
1 2 1 ? x ? x ? 0.75 n ?y ? 解方程组: ? 4n 2 ? y ? 0.75 x ? 0.75 n ?

得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n ∴H 坐标是: (5n,3n) ,HM=-3n,AM=n-5n=-4n, ∴△AMH 的面积=0.5×HM×AM=6n2; 而矩形 AOBC 的面积=2n2,∴△AMH 的面积∶矩形 AOBC 的面积=3:1,不随着点 A 的 位置的改变而改变. 22.(2005 黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的斜边 AB 在 x 轴上,AB=25, 3 顶点 C 在 y 轴的负半轴上,tan∠ACO= ,点 P 在线段 OC 上,且 PO、PC 的长(PO<PC)是 4 关于 x 的方程 x2-(2k+4)x+8k=O 的两根. (1)求 AC、BC 的长; (2)求 P 点坐标; (3)在 x 轴上是否存在点 Q,使以点 A、C、P、Q 为顶点的 四边形是梯形?若存在,请直接写出直线 PQ 的解析式; 若不存在,请说明理由.

[解] (1)∵ ∠ACB=900,CO⊥AB,∴ ∠ACO=∠ABC.
3 ∴ tan∠ABC= , 4 Rt△ABC 中,设 AC=3a,BC=4a 则 AB=5a,5a=25 ∴ a=5 ∴ AC=15, BC=20 1 1 (2)∵ S△ABC= AC· BC= OC· AB, ∴ OC=12 2 2 ∴ PO+PC=4+2k=12. ∴ k=4 2 ∴ 方程可化为 x -12x+32=O.解得 x1=4,x2=8 ∵ PO<PC. ∴ PO=4. ∴ P(O,-4) 4 4 (3)存在,直线 PQ 解析式为:y=- x-4 或 y=-4 3 27 23.(2006 黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,线段 OA、 OB 的长(0A<OB) 是方程 x2-18x+72=0 的两个根,点 C 是线段 AB 的中点,点 D 在线段 OC 上,OD=2CD. (1)求点 C 的坐标; (2)求直线 AD 的解析式; (3)P 是直线 AD 上的点,在平面内是否存在点 Q,使以 0、A、P、Q 为顶点的四边形是菱 形?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] (1)OA=6,OB=12
点 C 是线段 AB 的中点,OC=AC 作 CE⊥x 轴于点 E.

1 1 ∴ OE= OA=3,CE= OB=6. 2 2 ∴ 点 C 的坐标为(3,6) (2)作 DF⊥x 轴于点 F OD 2 △OFD∽△OEC, = ,于是可求得 OF=2,DF=4. OC 3 ∴ 点 D 的坐标为(2,4) 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b. 把 A(6,0),D(2,4)代人得 ?

?6k ? b ? 0 ? 2k ? b ? 4

解得 ?

? k ? ?1 ?b ? 6

∴ 直线 AD 的解析式为 y=-x+6 (3)存在. Q1(-3 2,3 2) Q2(3 2,-3 2) Q3(3,-3) Q4(6,6)


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