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2013学年第一学期普陀区高三文理科合卷


2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
班级 考生注意: 姓名 学号 2013.12

1.答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 考试号填写清楚, 并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? .

2. 设 e1 、 e2 是平面内两个不平行的向量,若 a ? e1 ? e2 与 b ? me1 ? e2 平行,则实数

m?

.

3. 在△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ? 则b ? . .

?
3



4. 在 ( x ? 3)n 的展开式中,若第 3 项的系数为 27 ,则 n ? 5. 函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期 T ? 6. 函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 的反函数 f
?1

.

( x) ?

.

7. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 , S7 为 .

? 70 ,则数列 {an } 的通项公式

1 * (n? N ) , 则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? n ?? 2n 5 1 9. 若函数 f ( x) ? x ? ,则不等式 2 ? f ( x) ? 的解集为 . x 2
8. 数列 {an } 中, 若 a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? 10. 【理科】如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 ,若直线 B1C 与 底面 ABCD 所成的角的大小为 arctan 2 ,则正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 侧面积为 .

.

第 10 题

o s 11. 【理科】 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 an ? 1 ? n c

n? * (n? N ) , 则 S 2014 ? 2

.

12. 已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , 在 U 中 任 取 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为

A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , 余 下 的 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为 CU A ? {b1 , b2 , b3 , b4 } , 若
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a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则集合 A 的取法共有
13.

种.

【理科】正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距 离 为 1 , 点 D 是 线 段 BC 的 中 点 , 过 D 作 球 O 的 截 面 , 则 截 面 面 积 的 最 小 值 为 .

14.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a , x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

,若方程 f ( x) ? x ? 0 有 .

且仅有两个解,则实数 a 的取值范围是

第 13 题

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只 有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分, 否则一律得零分. 15. 若 f ( x ) 和 g ( x) 都是定义在 R 上的函数,则“ f ( x ) 与 g ( x) 同是奇函数或偶函数”是 “ f ( x) ? g ( x) 是偶函数”的????????????????????????( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.
|a?b| ? ( A) 2

( B ) 必要非充分条件. ( D ) 既非充分又非必要条件


16. 若 a 和 b 均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是???????????(

| ab | .

b a ( B) ? ? 2 . a b
(D)

1 1 (C ) ( a ? b)( ? ) ? 4 . a b
17.将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

? 个单位, 再向上平移 1个单位后得到的函数对应的表达 4


2 式为 y ? 2 sin x ,则函数 f ( x ) 的表达式可以是???????????????(

( A) 2 sin x .

( B ) 2 cos x .

(C ) sin 2 x .

( D ) cos 2 x .

18. 若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OA i ? OB ? OA ? OB . 给出下列说法: ① | OA 1 |?| OA 2 |? ? ?| OA n |?| OA | ; ② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;
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A

O

B
第 18 题

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③点 A 、 Ai 在一条直线上; ④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是????????????????????????????( )

( A) 1个.

( B ) 2 个.

(C ) 3 个.

( D ) 4 个.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 设复数 z ? (a 2 ? 4 sin 2 ? ) ? 2(1 ? cos? ) ? i , 其中 a ? R , ? ? (0 , ? ) ,

i 为虚数单位.若 z 是方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个根,且 z 在复平面内对应的点在第一象限,
求 ? 与 a 的值.

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20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x (1) 【理科】求函数 f ( x ) 的最大值,并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下球 状液体,其中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴? (2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管的 距离为 h (单位:厘米) ,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函

mm ) 数.(注: 1cm ? 1000
3 3

第 21 题

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22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N .
*
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不 存在,请说明理由; (3)若 1 ? r 线上.

? s 且 r , s ? N * ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直

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23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ,如果对任意 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ? kx ? ? kf ? x ? ( k ? 2 ,

k ? N * )成立,则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数.
(1)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 1 ? log 1 x ,求 f 2 2 的
2

?

?

值; (2) 【理科】已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点; (3) 已知函数 f ? x ? 为 k 阶缩放函数, 且当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ?0,1? , 求 f ? x?
n ?1 在 0, k ? ? ( n ? N )上的取值范围.

2 x ? x 2 ,求证:

?

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