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04第七章 第四节 直线、平面平行的判定及性质


第 七 章 立 体 几 何

第 四 节 直线 、 平面 平行 的判 定及 性质

高考成功方案第一步

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和
理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间 图形的平行关系的简单命题.

1.下列命题中,正确的是

(

)

A.若a∥b,b?α,则a∥α
B.若a∥α,b?α,则a∥b C.若a∥α,b∥α,则a∥b D.若a∥b,b∥α, a?α,则a∥α 解析:由直线与平面平行的判定定理知选项D正确. 答案:D

2.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线 与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 C.平行 B.相交 D.不确定 ( )

解析:由线面平行的性质定理知,这条直线与这两个
平面的交线平行. 答案:C

3.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面 α和β平行的是 A.α和β都垂直于平面γ ( )

B.α内不共线的三点到β的距离相等
C.l,m是平面α内的直线,且l∥β,m∥β D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α, m∥β,l∥β

解析:利用面面平行的判定方法及平行的转化可知D正确.
答案:D

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结 论是________(只填序号).

①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;
③AD1∥DC1,④AD1∥平面BDC1. 解析:借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线,

故③错误.
答案:①②④

5.已知α,β是两个不同平面,m,n是两条不同直线.

给出下列命题:
①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m∥α,α∩β=n, 则m∥n; ③若m⊥α,m⊥β,则α∥β. 其中不正确的是________.(填写你认为恰当的序号)



解析:①正确;②错误,m与n可能异面;③正确. 答案:②

1.直线与平面平行的判定与性质 判定

定义
图形

定理

性质

b?α 条件 a∩α=?

a∥α a∥α a?β α∩β=b

a?α
b∥a

结论

a∥α

b∥α

a∩α=?

a∥b

2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a?β,b?β 条件 α∩β= ? α∥β a∩b=P a∥α,b∥α α∥β 定理 性质

α∥β α∩γ=a β∩γ=b
a∥b

α∥β
a?β

结论

a∥α

[做一题] [例1] 如图,在正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E、F、G、M、N分别
是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的 中点,求证:(1)MN∥平面CDD1C1; (2)平面EBD∥平面FGA.

[自主解答]

(1)连接 BC1,DC1,

∵四边形 BCC1B1 为正方形,N 为 B1C 的中点,

∴N 在 BC1 上,且 N 为 BC1 的中点. 又∵M 为 BD 的中点, 1 ∴MN 綊 DC1. 2 又 MN?平面 DCC1D1,DC1?平面 DCC1D1, ∴MN∥平面 CDD1C1.

(2)连接EF,则EF綊AB. ∴四边形ABEF为平行四边形, ∴AF∥BE. 又∵FG∥B1D1,B1D1∥BD, ∴FG∥BD. 又∵AF∩FG=F,BE∩BD=B, ∴平面EBD∥平面FGA.

[悟一法] 1.判定直线与平面平行的常用方法: (1)利用判定定理:关键是找平面内与已知直线平行的直

线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作
出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对 边或过已知直线作一平面找其交线.

(2)利用面面平行的性质定理:当两平面平行时,其中 一个平面内的任一直线平行于另一平面.

2.判定平面与平面平行的常用方法:
(1)利用面面平行的判定定理及推论 (2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ)

[通一类] 1. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,

设Q是CC1上的点,问:1当点Q在什么位
置时,平面D1BQ∥平面PAO?

解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下: ∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点, ∴QB∥PA.

∵P、O分别为DD1、DB的中点,
∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO, QB?平面PAO,PA?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,

又D1B∩QB=B,D1B、QB?平面D1BQ,
∴平面D1BQ∥平面PAO.

[做一题] [例2] (2012· 盐城模拟)如图,P为

?ABCD所在平面外一点,M,N分别为
AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l. (1)判断BC与l的位置关系,并证明你的 结论; (2)判断MN与平面PAD的位置关系,并

证明你的结论.

[自主解答]

(1)结论:BC∥l,

因为AD∥BC,BC?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因为BC?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l, 所以BC∥l.

(2)结论:MN∥平面PAD. 设Q为CD的中点,如图所示,连接NQ,MQ,

则NQ∥PD,MQ∥AD.
又因为NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D, 所以平面MNQ∥平面PAD. 又因为MN?平面MNQ, 所以MN∥平面PAD.

[悟一法]

利用线面平行的性质,可以实现由线面平行到线
线平行的转化.解题时,若遇到线面平行这一条件, 就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平 面.这样就可以由性质定理实现平行转化.

[通一类] 2. 如图,已知四边形ABCD是 平行四边形,点P是平面ABCD 外一点,M是PC的中点,在DM

上取一点G,过G和AP作平面交
平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

证明:如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点.

又∵M是PC的中点,∴MO∥PA.
又∵MO?平面BDM, PA?平面BDM, ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,

∴AP∥GH.

[做一题] [例3] 已知,平面α∥平面β,AB、CD夹在α、β之间,A、

C∈α,B、D∈β,E、F分别为AB、CD的中点,
求证:EF∥α,EF∥β.

[自主解答]

当AB和CD共面时,经过AB、CD的平面

与α、β分别交于AC、BD. ∵α∥β,∴AC∥BD. 又∵AE=EB,CF=FD, ∴EF∥AC. ∵AC?α,EF?α,∴EF∥α, 同理EF∥β.

当AB和CD异面时,如图在CD与E所确定的平面内,
过点E作C′D′∥CD与α、β分别交于点C′、D′.

经过相交直线AB和C′D′作平面分别交α、β于AC′、BD′. ∵α∥β,∴AC′∥BD′,又AE=EB,

∴C′E=ED′.
∵C′D′∥CD, ∴经过C′D′和CD作平面与α、β分别交于C′C和D′D. ∵α∥β,∴C′C∥D′D.在平行四边形C′D′DC中, ∵C′E=ED′,CF=FD,∴EF∥D′D.

∵D′D?β,EF?β,∴EF∥β,同理EF∥α.

本例中,当AB、CD异面时,连接AD,设AD中点为G, 求证:平面EFG∥平面α. 证明:连接BD,则EG∥BD, 又BD?平面β,EG?平面β,∴EG∥β. 又β∥α,EG?平面α,∴EG∥α. 同理:FG∥α.又EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面α.

[悟一法] 把面面平行转化为线线平行,关键是作辅助平面, 通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行转化为线线 平行,注意作平面时要有确定平面的依据.

[通一类]

3.(2012· 徐州模拟)如图所示,在三棱柱
ABC-A1B1C1中, A1A⊥平面ABC,若D 是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一 点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确 定点E的位置;若不存在,请说明理由.

解:存在点E,且E为AB的中点. 下面给出证明: 取BB1的中点F,连接DF, 则DF∥B1C1.

∵AB的中点为E,连接EF,
则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线, ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.

[热点分析]
从近两年的高考试题来看,直线与平面平行的判定, 以及平面与平面平行的判定是高考的热点,题型既有选择 题、填空题,也有解答题,难度为中等偏高;主要考查线 面平行的判定,考查线∥线?线∥面?面∥面的转化思想, 并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.

[考题印证] (2011· 山东高考)在如图所示的几

何体中,四边形ABCD为平行四边
形,∠ACB=90°,EA⊥平面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC,AB=2EF. 若M是线段AD的中点,求证:

GM∥平面ABFE.

[一题多解]————————————(条条大道通罗马)
[法一] 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC, ∠ACB=90° , 所以∠EGF=90° , △ABC∽△EFG. (3分)

由于AB=2EF,因此BC=2FG. 1 连接AF,由于FG∥BC,FG=2BC,?(6分)

在?ABCD中,M是线段AD的中点,则AM∥BC, 1 且AM=2BC,因此FG∥AM且FG=AM,? 所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA. 又FA?平面ABFE,GM?平面AB 所以GM∥平面ABFE.? (8分) (10分) (11分) (12分)

[法二] 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,
∠ACB=90°, ∴∠EGF=90°, △ABC∽△EFG,? 由于AB=2EF,所以BC=2FG. 取BC的中点N,连接GN, 因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.? (3分)

(6分)

在?ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,

则MN∥AB.?
∵MN∩GN=N, ∴平面GMN∥平面ABFE.? 又GM?平面GMN, ∴GM∥平面ABFE.?

(8分)

(10分)

(12分)

1.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点, 当A、B分别在α、β内运动时,那么所有的动点C ( A.不共面 )

B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时 才共面 D.不论A、B如何移动都共面

解析:根据平行平面的性质,不论A、B如何运动,动点 C均在过C且与α,β都平行的平面上.

答案:D

2.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条 件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为不同 直线,α、β为不重合平面),则此条件为________. m?α l∥m l⊥β α⊥β ? ? ? ?l∥α;② ? ? ? ? ? ?l∥α. ? ? l∥m m∥α ? ? ? ?l∥α; ? ?





解析:线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面 内的一条直线平行,故此条件为:l?α.

答案:l?α

3.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 底面是正方形,侧棱垂直于底面,E、F、 G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的

中点,N是BC的中点,点M在四边形
EFGH及其内部运动,则M满足条件 ________时,有MN∥平面B1BDD1.

解析:取B1C1的中点P, 连接NP、PF、FH,

易证平面HNPF∥平面BDD1B1,
故只需M位于FH上就有MN? 平面HNPF,也就有MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈线段HF

4.如图,在矩形ABCD中, AD⊥平面ABE,AE=EB = BC,F为CE上的点,且

BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE; (2)求证:AE∥平面BFD.

证明:(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面ABE,则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE,∴AE⊥BF. ∴AE⊥平面BCE. (2)依题意可知:G是AC的中点. ∵BF⊥平面ACE,∴CE⊥BF.BC∩BF=B

又BC=BE,∴F是EC的中点.
在△AEC中,连接FG,则FG∥AE. 又AE?平面BFD,FG?平面BFD,∴AE∥平面BFD.

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